中考數(shù)學復習 專題05 一次方程（組）及其應用（12個高頻考點）（舉一反三）（學生版+解析）

專題05一次方程（組）及其應用（12個高頻考點）（舉

一反三）

【考點1方程的相關(guān)概念】......................................................................1

【考點2方程的解】.............................................................................2

【考點3等式的性質(zhì)】..........................................................................2

【考點4解一元一次方程】......................................................................3

【考點5含絕對值符號的一元一次方程】.........................................................4

【考點6解二元一次方程（組）】................................................................4

【考點7同解方程（組）】......................................................................5

【考點8解三元一次方程組】....................................................................5

【考點9由實際問題抽象出一次方程】...........................................................5

【考點10一元一?次方程的應用】..................................................................6

【考點11二元一次方程（組）的應用】...........................................................7

【考點12三元一次方程組的應用】................................................................8

【要點1方程的相關(guān)概念】

1.含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2.只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方

程。使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3.含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一

次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

4.方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有兩個方程，這樣

的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組

的解。

【考點1方程的相關(guān)概念】

[例1]（2022?云南曲靖?一模）若方程/ad_3ya+b=2是關(guān)于X、），的二元一次方程，則

外的值為（）

A-B.2D.1

9

【變式1-1]（2022?浙江杭州?模擬預測）下列方程組是二元一次方程組的是（）

x-y=1x2-x-2=0

C.D.

A?噂3"d.xy=2,y=x+1

【變式1-2]（2022?上海楊浦?二模）下列方程中，二元一次方程的是（）

A.xy=1B.%2-1=0C.x-y=1D.x+^=1

【變式1-3］（2022?貴州?一模）已知關(guān)于工的方程（好一4）x2+（k-2）x=k+6是一元一次

方程，則方程的解為（）

A.-2B.2C.-6D.-1

【考點2方程的解】

【例2】（2022?山東聊城中考真題）關(guān)于％,y的方程組的解中％與y的和

不小于5,則k的取值范圍為（）

A./c>8B.k>8C.k<8D.k<8

【變式2-1］（2022?廣西?中考真題）方程3x=2x+7的解是（）

A.x=4B.x=-4C.x=7D.x=-7

【變式2-2］（2022?廣西?中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學中常用的方法.例如“已知

3a-b=2,求代數(shù)式6a-2b-1的值.〃可以這樣解：6a-2b-1=2（3Q-b）-1=2X

2-1=3.根據(jù)閱讀材料,解決問題：若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解.

則代數(shù)式4a2+4ab+b?+4a+2b—1的值是.

【變式2-3】（2022?浙江?寧波外國語學校一模）若是二元一次方程組二:的解,

則一次函數(shù)y=ax+匕的圖象不經(jīng)過第象限.

【要點2等式的性質(zhì)】

性質(zhì)1：若a=b,則a士c二b±c。等式兩邊加（或減）同^一人數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。

性質(zhì)2：若a=b,則ac=bc;：=%=#0）。等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，

結(jié)果仍相等。

【考點3等式的性質(zhì)】

【例3】（2022?青海?中考真題）下列說法中，正確的是（）

A.若ac=尻，則Q=bB.若。2=匕2,則。

C.若g=2,則Q=bD.若—=6,則％=2

cc3

【變式3-1］（2022?山東濱州?中考真題）在物理學中，導體中的電流I跟導體兩端的電壓U,

導體的電阻R之間有以下關(guān)系：/=9去分母得//?=①那么其變形的依據(jù)是（）

A.等式的性質(zhì)1B.等式的性質(zhì)2C.分式的基本性質(zhì)D.不等式的性質(zhì)2

【變式3-2］（2022?四川?梓潼縣教育研究室二模）有.8個球編號是①至⑧，其中有6個球

一樣重，另外兩個都輕1克，為了找出這兩個輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④

重，笫二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重.那么，兩個輕球

的編號是（）

A.③④B.③⑥C.③⑤D.④⑤

【變式3-3］（2022?福建?中考真題）推理是數(shù)學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則

推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯誤.

例如，有人聲稱可以證明"任意一個實數(shù)都等于0〃，并證明如下：

設任意一個實數(shù)為4,令x=

等式兩邊都乘以x,得/=①

等式兩邊都減TH2,得為2一?九2=771X-TH?.②

等式兩邊分別分解因式，得（％+m）（x-m）=-m）.（3）

等式兩邊都除以x-m,得x+m=m.④

等式兩邊都減加，得x=0.⑤

所以任意一個實數(shù)都等于0.

以上推理過程中，開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應的序號是.

解方程的一般步驟］

1.解一元一次方程的一般步驟

①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為lo

2、解二元一次方程組的方法

①代入消元法；②加減消元法。

代人消元法：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出

來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入

消元法，簡稱代入法。

加減消元法：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方

程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加

減消元法，簡稱加減法。

【考點4解一元一次方程】

【例4】（2022?貴州黔西?中考真題）小明解方程等一1二平的步驟如下：

解：方程兩邊同乘6,得3a+l）-l=2a-2）①

去括號，得3%+3-1=2%-2②

移項，得3%-2%=-2-3+1（^）

合并同類項，得工=-4④

以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）

A.①B.②C.③D.④

【變式4-1］（2022?海南?中考真題）若代數(shù)式x+1的值為6,則x等于（）

A.5B.-5C.7D.-7

【變式4-2］（2022?云南昆明?二模）某校圖書閱覽室按如圖所示的規(guī)律擺放桌椅（矩形表

示桌子，圓點表示椅子），八年級（3）班42人到這個閱覽室參加讀書活動恰好坐滿，需要

桌子張.

【變式4-3］（2022?河北邯鄲?三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程寧+#=3時，發(fā)現(xiàn)正

整數(shù)#被污染了；

⑴嘉淇猜#是2,請解一元一次方程若二+2=3；

⑵若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？

【考點5含絕對值符號的一元一次方程】

【例5】（2022?江蘇揚州?一模）若|x|+|x-4|=8,則;r的值為（）

A.-2B.6C.-2或6D.以上都不對

【變式5-1］（2022?重慶南開中學三模）若關(guān)于％的方程+1只有一個負根，則a的

取值范圍是

【變式5-2］（2022?河北邢臺?模擬預測）對關(guān)于％的方程|x-l|+|x+2|=a（1）

考慮如下說法：①當a取某些值時，方程（1）有兩個整數(shù)解；

②對某個有理數(shù)a，方程（1）有唯一的整數(shù)解；

③當a不是整數(shù)時，方程（1）沒有整數(shù)解；

④不論a為何值時，方程（1）至多有4個整數(shù)解.

其中正確的說法的序號是

【變式5-3］（2022?廣東?佛山市南海外國語學校三模）已知c為實數(shù)，討論方程區(qū)-1|-僅-

2|+2氏-3|=c解的情況.

【考點6解二元一次方程（組）】

【例6】（2022?湖南株洲,中考真題）對于一元一次方程組P二］一收，將①式代入②

U+2y=7（2）

式，消去y可以得到（）

A.x+2x-l=7B.x+2%—2=7

C.x+x-1=7D.x+2%4-2=7

x-2y=3

【變式6-1］（2022?山東淄博?中考真題）解方程組：1,313

-x+-y=—

124174

【變式6-2］（2022?河北唐山?一模）對于任意的實數(shù)％,y,規(guī)定運算“團〃如下：x0y=ax+by.

⑴當Q=3,6=4時，求1目的值；

（2）若5回3=16,2回（-3）=-2,求a與b的值.

【變式6-3]（2022?四川綿陽?二模）若整數(shù)4,y滿足方程組無二：二：，且一2三工44,

%Hy,則m的最大值為（）

A.0B.-1C.-2D.-3

【考點7同解方程（組）】

【例7】（2022?浙江杭州?模擬預測）若關(guān)于x,y的二元一次方程組｛輯二北;^和

二為有相同的解，

求：（1）這兩個方程組的解;

（2）代數(shù)式（2a+6）2。2。的值.

[變式7-1]（2022?上海楊浦?二模）若關(guān)于％的方程4m4-x=20的解與方程2x-3=x+1

的解相同，則m的佰為

【變式7-2]（2022?河北模擬預測）若方程^=0與方程”+牛二號的解相同，則

a的值為（）

A.aB.絲C.一2D.-史

16161616

【變式7-3】（2022?浙江杭州?模擬預測）已知方程組=：；的解是｛;二則關(guān)于

x,y的方程組，°，“一?['=右的解是

（Q2a-1）4-y=c2----------------

【考點8解三元一次方程組】

【例8】（2022?江蘇南京中考模擬）已知「二:工已：。，那么x：y：2為（）

o1

A.2：（-1）：3B.6：1：9C.6：（-1）：9D.一;）：1

【變式8-1】（2022?廣東東莞?中考模擬）已知《二名；及M），町ZH0,求號交的

值.

【變式8-2]（2022仁壽玄長平初級中學校（四川省仁壽第一中學校南校區(qū)初中部）一模）

已知：胃=j2=：,求代數(shù)式a+b+c的值.

a+b3c+a4b+c5

【變式8-3]（2022?河北?模擬預測）設出,。2，…,Q2014是從這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，

若+Qz+…+。2014=69,（。1+I）2+（。2+1）＞+…+（。2014+1）2=4001,則

。1，。2,…，。2014中為。的個數(shù)?

【考點9由實際問題抽象出一次方程】

【例9】（2022?貴州六盤水?中考真題）我國“。/一41型”導彈俗稱"東風快遞〃，速度可達到

26馬赫（1馬赫=340米/秒），則“。/一41型"導彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的

目標？設飛行“分鐘能打擊到目標，可以得到方程（）

A.26X340X60%=12000B.26X340x=12000

26X340X26X340X60X

C.=12000D.=12000

1000100G

【變式9-1］（2022?江蘇南通?中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不

足四十五；人出七，余三.問人數(shù)、羊價各幾何？〃其大意是：今有人合伙買羊，若每人出

5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢。問人數(shù)、羊價各是多少？若設人數(shù)為x,則可

列方程為.

【變式9-2】（2022?山東口照?中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，其中

有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木

長幾何？’'意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木

頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程

組正確的是（）

（y-x=4.5（x-y=4.5

（2x-y=1（2x-y=1

x-y=4.5［y-x=4.5

U；-x=lD.x_X=1

22

【變式9-3］（2022?廣東深圳?中考真題）張三經(jīng)營了一家草場，草場里面種植上等草河下

等草.他賣五捆.上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)

減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù).設上等草一捆為無根，下等草一捆為y根，則下列方

程正確的是（）

-11=7x+11=7y15x-11=7y（7x-11=5>

A，（7y-25=5xB，（7x+25=5yC，（7%-25=5yD，（5%-25=7y

【考點10一元一次方程的應用】

【例10】（2022?湖南岳陽?中考真題）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原

文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀?？大意?

今有100頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：

城中有多少戶人家？在這個問題中，城中人家的戶數(shù)為（）

A.25B.75C.81D.90

【變式10-1】（2022?山東東營?中考真題）植樹節(jié)當天，七年級1班植樹300棵，正好占這

批樹苗總數(shù)的一七年級2班植樹棵數(shù)是這批樹苗總數(shù)的g則七年級2班植樹的棵數(shù)是（）

A.36B.60C.100D.180

【變式10-2】（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）某公司專業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，6月初（當月月歷如

圖）接到一份求購5000件該產(chǎn)品的訂單，要求本月底完成，7月1日按期交貨.

□—?二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

2627282930

經(jīng)盤點目前公司已有該產(chǎn)品庫存2855件，補充原材料后，從本月7日開始生產(chǎn)剩余數(shù)量的

該產(chǎn)品，已知該公司除周六、周口正常休息外，每天的生產(chǎn)量相同.但因受高溫天氣影響，

從本月10日開始，每天的生產(chǎn)量比原來減少了25件，截止到17日生產(chǎn)結(jié)束，庫存總量達

3830件.如果按照10日開始的生產(chǎn)速度繼續(xù)生產(chǎn)該產(chǎn)品，能否按期完成訂單？請說明理

由.如果不能，請你給該公司生產(chǎn)部門提出?個合理的建議，以確保能按期交貨.

【考點11二元一次方程（組）的應用】

【例11】（2022?浙江衢州?中考真題）某班環(huán)保小組收集廢舊電池，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表.問1

節(jié)5號電池和1節(jié)7號電池的質(zhì)量分別是多少？設1節(jié)5號電池的質(zhì)量為x克，1節(jié)7號電

池的質(zhì)量為y克，列方程組，由消元法可得％的值為（）

5號電池（節(jié)）7號電池（節(jié)）總質(zhì)量（克）

第一天2272

第二天3296

A.12B.16C.24D.26

【變式11-1】（2022?黑龍江?中考真題）國家"雙減"政策實施后，某校開展了豐富多彩的社

團活動.某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和

圍棋（兩種都購買）共花費360元.其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買

方案？（）

A.5B.6C.7D.8

【變式11-2】（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準備將生產(chǎn)的

粽子裝入4、3兩種食品盒中，4種食品盒每盒裝8個粽子，3種食品盒每盒裝10個粽子，

若現(xiàn)將200個粽子分別裝入4、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同

的分裝方式有（）

A.2種B.3種C.4和1D.5種

【變式11-3】（2022?內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古?中考真題）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念

品.若購進4種紀念品10件，8種紀念品5件，需要1000元；若購進4種紀念品5件，B

種紀念品3件，需要550元.

（1）求購進A、8兩種紀念品的單價；

（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀

念品的數(shù)量不少于8種紀念品數(shù)量的6倍，且購進8種紀念品數(shù)量不少于20件，那么該商

店共有幾種進貨方案？

⑶若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件8種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的

各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤.

【考點12三元一次方程組的應用】

【例12】（2022?重慶市開州區(qū)德陽初級中學模擬預測）在剛剛結(jié)束的端午節(jié)中，商家為了

實現(xiàn)銷售額提升拓展途徑.某商家推出了三種禮盒進行售賣，某商家將甜味粽、肉餡粽、咸

鴨蛋共22個，搭配為力，B,C三種禮盒各一個，其中力盒中有2個甜味粽，3個肉餡粽，1個

咸鴨蛋；8盒中甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之和等于肉餡粽的數(shù)量，甜味粽與咸鴨蛋的數(shù)量之比

為3:2；C盒中有1個甜味粽，3個肉餡粽，2個咸鴨蛋.經(jīng)核算，A盒的成本為45元，B盒的

成本為75元（每種禮盒的成本為該盒中甜味粽、肉餡粽、咸鴨蛋的成本之和），則。盒的成

本為元.

【變式12-1】（2022?北京平谷?二模）明明和麗麗去書店買書，若已知明明買了4、8兩本

書共花費100.5元，麗麗買了A、C兩本書共花費88.5元，則B書比。書貴元；

若又知以C兩本書的總價錢恰好等于A書的價錢，則A、8、C三本書的總價錢為.

【變式12-2]（2022?重慶南開中學三模）端午節(jié)將至，某商店推出“情有獨粽〃“我最出粽”"年

年高粽"三種粽子，定價分別為7元/個、8元/個、9元/個：甲、乙、丙、丁四人分別去該

商店采購了一些粽子，買完后發(fā)現(xiàn)，"情有獨粽"買的數(shù)量甲、乙相同，丙、丁也相同；"我

最出粽"買的數(shù)量甲、丁相同，乙、丙也相同；"年年高粽〃買的數(shù)量甲、丙相同，乙、丁也

相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了100元，丙一共花了97元，若每人買的每種粽子

數(shù)量都不超過10個，則丁花了元.

【變式12-3]（2022?重慶巴蜀中學三模）現(xiàn)有A、B、C三個容器裝有不同濃度的三種鹽水，

其濃度之比為1:2:3.若將A容器中的鹽水取出20kg倒入8容器中，將。容器中的鹽水取出

10kg也倒入8容器中，再將A容器中剩下的的鹽水倒入。容器中，這時發(fā)現(xiàn)B容器和C容

器中的鹽水濃度一樣.又若在原C容器鹽水中加入與原C容器相同濃度的鹽水25kg后，其

溶質(zhì)正好是原A容器鹽水取出5kg鹽水后溶質(zhì)的3倍.則原A容器鹽水質(zhì)量的3倍與原C

容器鹽水質(zhì)量之和比原8容器鹽水質(zhì)量的4倍多kg.

專題05一次方程（組）及其應用（12個高頻考點）（舉

一反三）

【考點1方程的相關(guān)概念】......................................................................1

【考點2方程的解】.............................................................................2

【考點3等式的性質(zhì)】..........................................................................2

【考點4解一元一次方程】......................................................................3

【考點5含絕對值符號的一元一次方程】.........................................................4

【考點6解二元一次方程（組）】................................................................4

【考點7同解方程（組）】......................................................................5

【考點8解三元一次方程組】....................................................................5

【考點9由實際問題抽象出一次方程】...........................................................5

【考點10一元一?次方程的應用】..................................................................6

【考點11二元一次方程（組）的應用】...........................................................7

【考點12三元一次方程組的應用】................................................................8

【要點1方程的相關(guān)概念】

1.含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2.只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方

程。使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3.含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一

次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

4.方程組中有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有兩個方程，這樣

的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組

的解。

【考點1方程的相關(guān)概念】

[例1]（2022?云南曲靖?一模）若方程“2。一＞一3ya+b=2是關(guān)于X、），的二元一次方程，則

外的值為（）

A.-B.2C.-D.1

92

【答案】A

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解出。、匕的值即可求

出ab的值.

【詳解】解：???方程工2。-。一3尸^=2是關(guān)于工、y的二元一次方程

(2a-b=1

Ia+b=1

解得:

故選:A.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義和解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方

程組是解答本題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2022?浙江杭州?模擬預測）下列方程組是二元一次方程組的是（）

(4x—y=—1x-y=1x2-x-2=0

[y=2x+3

,3x+y=0xy=2,y=x+1

【答案】A

【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可.由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的

方程組叫做二元一次方程組，即可求解.

【詳解】解：A、是二元一次方程組，故本選項符合題意；

B、有一個方程不是整式方程，則原方程不是二元一次方程組，故本選項符合題意；

C、有?個方程的未知數(shù)的次數(shù)是2,則原方程不是二元一次方程組，故本選項符合題意；

D、有一個方程的未知數(shù)的次數(shù)是2,則原方程不是二元一次方程組，故本選項符合題意；

故答案為：A

【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，緊扣二元一次方程組的定義"由兩個二元一

次方程組成的方程組〃是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?上海楊浦?二模）下列方程中，二元一次方程的是（）

A.xy=1B.x2—1=0C.x—y=1D.%=1

【答案】C

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得答案.

【詳解】解：A.含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一

次方程，不符合題意；

B.含有1個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符

合題意；

C.含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1的整式方程，屬于二元一次方程，符合題

意；

D.是分式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意.

故選：C.

【點睛】此題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有

2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程.

【變式1-3]（2022?貴州?-■模）已知關(guān)于x的方程（1-4）x2+（k-2）x=k+6是一元一次

方程，則方程的解為（）

A.-2B.2C.-6D.-1

【答案】D

【分析】利用一元一次方程的定義確定出我的值，進而求出攵的值即可.

【詳解】解：???方程儀2一4注2+（攵-2%=攵+6是關(guān)于工的一元一次方程，

.k2-4=0

一屋-2Ho'

解得：k=-2,方程為-4.B-2+6,

解得：x=-l,

故選：

【點睛】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的

定義是解本題的關(guān)鍵.

【考點2方程的解】

【例2】（2022?山東聊城中考真題）關(guān)于％,y的方程組產(chǎn);晨3的解中％與y的和

不小于5,則k的取值范圍為（）

A./c>8B./<>8C.k<8D.k<8

【答案】A

【分析】由兩式相減，得到％+y=/c-3,再根據(jù)x與y的和不小于5列出不等式即可求

解.

【詳解】解：把兩個方程相減，可得％+y=k—3,

根據(jù)題意得：/c-3>5,

解得：k>8.

所以k的取值范圍是kN8.

故選:A.

【點睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2022?廣西?中考真題）方程3x=2x+7的解是（）

A.x=4B.x=-4C.x=7D.x=-7

【答案】C

【分析】先移項再合并同類項即可得結(jié)果；

【詳解】解：3A=2A+7

移項得，3X-2A=7；

合并同類項得，x=7；

故選：c.

【點睛】本題主要考查解?元?次方程，掌握?元?次方程的求解步驟是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2022?廣西?中考真題)閱讀材料：整體代值是數(shù)學中常用的方法.例如“已知

3a-b=2,求代數(shù)式6Q-2b-1的值.”可以這樣解：6a-2b-1=2(3Q-b)-1=2X

2-1=3.根據(jù)閱讀材料，解決問題：若％=2是關(guān)于/的一元一次方程g+匕=3的解，

則代數(shù)式4a2+4ab+廬+4a+2b-1的值是.

【答案】14

【分析】先根據(jù)x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+6=3,再把所求

的代數(shù)式變形為(2a+b)2+2(2a+b)-1,把2a+b=3整體代入即可求值.

【詳解】解：?.3=2是關(guān)于x的一元一次方程以+匕=3的解，

2Q+b=3,

2

/.4Q2+4ab+b+4a+2b—1

=(2a+b)?+2(2a+b)-1

=32+2x3-1

=14.

故答案為：14.

【點睛】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用

完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2022?浙江?寧波外國語學校一模)若是二元一次方程組的解,

則一次函數(shù)y=ax+匕的圖象不經(jīng)過第象限.

【答案】二

【分析】將后小產(chǎn)〃代入二元一次方程組求出〃、力的值，再把。、匕的值代入y=Qx+b,

得到一次函數(shù)解析式，根據(jù)人力的符號判定一次函數(shù)圖象不經(jīng)過的象限.

【詳解】?「｛；二;是二元一次方程二;的解，

.?.｛0+?=3解得，｛/=3

a-b=4b=-1

/.y=3.r-l,

.??一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一，三，四象限，

??.一次函數(shù)y=ax+匕的圖象不經(jīng)過第二象限.

故答案為：二.

【點睛】本題主要考查了方程組的解，解方程組，一次函數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握方

程組解的定義和性質(zhì)，解方程組的一般方法，一次函數(shù)的性質(zhì).

【要點2等式的性質(zhì)】

性質(zhì)1:若a=b,則a±c二b±c。等式兩邊加(或減)同一人數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等。

性質(zhì)2:若a=b,則ac=bc;=^c=#0）o等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，

結(jié)果仍相等。

【考點3等式的性質(zhì)】

【例3】（2022?青海?中考真題）下列說法中，正確的是（）

A.若ac=be,則a=bB.若十=乂，則Q=8

C.若士=2,則Q=bD.若一％x=6,則％=2

cc3

【答案】C

【分析】直接利用等式的基本性質(zhì)以及結(jié)合絕對值的性質(zhì)分析得出答案.

【詳解】解：A、若ac=bc,當"0,則故此選項錯誤；

B、若Q2=/）2,則a=±b,故此選項錯誤;

C、若巴=匕貝ija=b,故此選項正確；

CC

D、若一：％=6,則％=-18,故此選項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，正確把握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式3-1］（2022?山東濱州?中考真題）在物理學中，導體中的電流I跟導體兩端的電壓U,

導體的電阻K之間有以下關(guān)系：/=占去分母得//?=〃，那么其變形的依據(jù)是（）

A.等式的性質(zhì)1B.等式的性質(zhì)2C.分式的基本性質(zhì)D.不等式的性質(zhì)2

【答案】B

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案.

【詳解】解：/=告去分母得/R=U,其變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2,

故選：B.

【點睛】本題考杳了等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數(shù)，等式仍

然成立.

【變式3-2］（2022?四川?梓潼縣教育研究室二模）有8個球編號是①至⑧，其中有6個球

一樣重，另外兩個都輕1克，為了找出這兩個輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④

重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重.那么，兩個輕球

的編號是（）

A.③④B.③⑥C.③⑤D.④⑤

【答案】D

【分析】根據(jù)第一次①+②比③+④重，可得③與④中至少有一個輕球，再由第二次

⑤+⑥比⑦+⑧輕，可得⑤與⑥至少有一個輕球，然后第三次①+③+⑤和②+④+⑧一

樣重，可得④是輕球，即可求解.

【詳解】解：???第一次①十②比③+④重，

.??③與④中至少有一個輕球，

???第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕，

⑤與⑥至少有一個輕球，

???第三次①+③+⑤和②+④+⑧一樣重，

???④是輕球，

.??另一個輕球為⑤，

.??兩個輕球的編號是④⑤.

故選：D

【點睛】本題考查的是推理與論證，靈活應用等式性質(zhì)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](2022?福建?中考真題)推理是數(shù)學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則

推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯誤.

例如，有人聲稱可以證明"任意一個實數(shù)都等于0"，并證明如下：

設任意一個實數(shù)為x,令x=m,

等式兩邊都乘以長得小=7nx.①

等式兩邊都減zu?,得/一機2=m刀一瓶2.②

等式兩邊分別分解因式，得(x+m)(x-77i)=m(%-m).③

等式兩邊都除以x-zn,得x+m=m.④

等式兩邊都減小，得x=0.⑤

所以任意一個實數(shù)都等于0.

以上推理過程中，開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應的序號是.

【答案】@

【分析[根據(jù)等式的性質(zhì)2即可得到結(jié)論.

【詳解】等式的性質(zhì)2為：等式兩邊同乘或除以同一個不為。的整式，等式不變，

第④步等式兩邊都除以x-m,得x+m=m,前提必須為x-mo0,因此錯誤；

故答案為：④.

【點睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【要點3解方程的一般步驟】

1.解一元一次方程的一般步驟

①去分母；②去括號：③移項；④合并同類項：⑤系數(shù)化為lo

2、解二元一次方程組的方法

①代入消元法；②加減消元法。

代人消元法：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出

來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入

消元法，簡稱代入法。

加減消元法：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方

程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加

減消元法，簡稱加減法。

【考點4解一元一次方程】

【例4】（2022?貴州黔西,中考真題）小明解方程等-1=平的步驟如下：

解：方程兩邊同乘6,得3a+l）-l=2a-2）①

去括號，得3X+3-1=2%-2（2）

移項，得3%一2%=-2-3+1③

合并同類項，得％=-4④

以上解題步驟中，開始出錯的一步是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】A

【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進行檢查，即可得出答案.

【詳解】解：方程兩邊同乘6,得3（%+1）-6=2（%—2）①

.??開始出錯的一步是①，

故選:A.

【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項是

解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?海南?中考真題）若代數(shù)式％+1的值為6,則x等于（）

A.5B.-5C.7D.-7

【答案】A

【分析】根據(jù)代數(shù)式3+1的值為6列方程計算即可.

【詳解】???代數(shù)式》+1的值為6

x+1=6,解得久=5

故選：A

【點睛】此題考查了解一元一次方程，根據(jù)題意列方程是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2022?云南昆明?二模）某校圖書閱覽室按如圖所示的規(guī)律擺放桌椅（矩形表

示桌子，圓點表示椅子），八年級（3）班42人到這個閱覽室參加讀書活動恰好坐滿，需要

桌子張.

一張桌子二張桌子三張桌子

【答案】18

【分析】根據(jù)擺放規(guī)律得出桌子數(shù)與座位數(shù)的關(guān)系式，進而求解即可.

【詳解】解：設桌子數(shù)為n,根據(jù)桌子擺放的規(guī)律，可得座位數(shù)為2〃+6,

???學生人數(shù)為42人，且剛好坐滿，

2/1+6=42,解得：n=18,

需要桌子18張，

故答案為：18.

【點睛】本題考查圖形類規(guī)律探究、解一元一次方程，理解題意，找到擺放規(guī)律是解答的關(guān)

鍵.

【變式4-3](2022?河北邯鄲?三模)嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程等+#=3時\發(fā)現(xiàn)正

整數(shù)#被污染了；

⑴嘉淇猜#是2,請解一元一次方程節(jié)匚+2=3；

⑵若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？

【答案】⑴x=1

(2)2

【分析】(1)由題意得方程等+2=3,按解一元一次方程的一般步驟求解即可；

(2)設被污染的正整數(shù)為相，得方程與+m=3,求解得％=手，再根據(jù)解是正整數(shù)

求解即可.

(1)

解：等+2=3,

去分母，得3%-1+4=6；

移項，合并同類項，得3x=3；

系數(shù)化為1，得￥=1.

(2)

解?：設被污染的正整數(shù)為相，

則有掾+m=3,

解之得，％=誓，

???誓是正整數(shù)，且，〃為正整數(shù)，

m=2.

【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

【考點5含絕對值符號的一元一次方程】

【例5】（2022?江蘇揚州一模）若|x|+|x-4|=8,則x的值為（）

A.-2B.6C.-2或6D.以上都不對

【答案】C

【分析】根據(jù)x的取值范圍壯0、0<壯4、公>4三種情況進行討論，根據(jù)絕對值的意義進行

化簡即可.

【詳解】解：當壯。時，占次|+|X-4|=8可得：j+4-.r=8,解得：x=-2；

當0〈碎4時，由|汨+次-4|=8可得：x+4-x=8,解得：x無解；

當x>4時，由|x|+-4|=8可得：A+A-4=8,解得：x=6；

所以x=?2或6,

故選：C

【點睛】本題考查絕對值及解方程，理解絕對值的意義是正確解答的前提，根據(jù)絕對值的意

義進行化簡是解決問題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2022?重慶南開中學三模）若關(guān)于％的方程|X|=QX+1只有一個負根，貝Ja的

取值范圍是

【答案】

【分析】分別確定x為正，x為負時。的取值，然后即可確定。的范圍.

【詳解】解：當x>0時，方程是：x=ax+1

解得：”=根據(jù)題意得：1一。>0,

解得：a<l,此時有正根，

則Q>1時有負根，

當％V0時，-x=ax+1,

解得：x=——,根據(jù)題意l+a>0,

l+a

解得：Q>-

綜上所述；Q>1時，方程|%|=QX+1只有一個負根.

故答案是：Ct>1.

【點睛】本題主要考查了絕對值方程的解法，正確去掉絕對值符號，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2022?河北邢臺?模擬預測）對關(guān)于％的方程|x-1|+|%+2|=Q（1）

考慮如下說法：①當Q取某些值時，方程（1）有兩個整數(shù)解；

②對某個有理數(shù)Q，方程（1）有唯一的整數(shù)解；

③當a不是整數(shù)時，方程（1）沒有整數(shù)解；

④不論a為何值時，方程（1）至多有4個整數(shù)解.

其中正確的說法的序號是

【答案】①③④

【分析】根據(jù)題意，當2時：原式=1—x—X—2=Q,即％=-等：當一2VXV1時：

原式=l-x+x+2=a,x為-2Vx<1中的任意實數(shù)Q=3；當x31時；原式二%—1一%+

2=a,即％=學；進而代入每個序號中，即可求解.

【詳解】解：當發(fā)（一2時；原式=1一%—x—2=Q,即工=一等；

當一2Vxe1時；原式=1一%+%+2=Q,即a=3,%為-2<xVl中的任意實數(shù)；

當％）1時；原式=%—1+%+2=a,即％=與之

???①例如：Q=S時，x=-等=一？或x=?=2,故當a取某些值時，方程有兩個整數(shù)解.

故①正確；

②例如：a=5時，％=-半=一3或%=”=2,對某個有理數(shù)。，方程的整數(shù)解不止一

個，故②錯誤；

③???%=-等或％=號，只有a+1與a-1為整數(shù)時，T才能為整數(shù)；即只有。為整數(shù)時，

T才能為整數(shù)，故當Q不是整數(shù)時，方程沒有整數(shù)解，故③正確；

④■.,當?shù)凇兑?時，x=-誓；當一2VXV1時；%為-2V%V1中的任意實數(shù)，在此范圍的整數(shù)

有2個；當%>1時，欠=學：

???不論a為何值時，方程至多有4個整數(shù)解，