專題33 實際問題與一元一次方程【十五大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）2023-2024學年七年級數(shù)學上冊舉一反三系列（人教版）

專題3.3實際問題與一元一次方程【十五大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1行程問題】.............................................................................1

【題型2工程問題】.............................................................................5

【題型3配套問題】.............................................................................7

【題型4銷售盈虧問題】........................................................................11

【題型5比賽積分問題】........................................................................15

【題型6方案選擇問題】........................................................................20

【題型7數(shù)字問題】............................................................................24

【題型8幾何問題】............................................................................28

【題型9和差倍分問題】........................................................................33

【題型10比例分配問題】........................................................................36

【題型11古代問題】............................................................................38

【題型12日歷問題】............................................................................40

【題型13年齡問題】............................................................................45

【題型14電費和水費問題】......................................................................47

【題型15其他問題】............................................................................51

,

【題型1行程問題】

【例1】（2023秋?陜西渭南?七年級?？计谥校┮惠v出租車從4地出發(fā)，在一條東西走向的街道上往返，每次

行駛的路程（向東記為正）記錄如下：（6<x<16,單位：km）

第一次第二次第三次第四次

1

Xx-42(6-x)

-2X

（1）寫出這輛出租車每次行駛的方向：第一次向；第二次向；第三次向；第四次向

（2）若％=10,求經(jīng)過連續(xù)4次行駛后，這輛出租車在A地的什么方向，距離4地有多遠？

（3）求這輛出租車4次行駛的總路程（結(jié)果用含力的式子表示）：若這輛出租車4次行駛的總路程是47km,

求這輛出租車第四次行駛/多少千米？

【答案】（1）東；西；東；西

（2）出租車在4地的東邊3km處

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⑶傲-16)km,出租車第四次行駛的路程是16km

【分析】(1)根據(jù)x的取值范圍判斷四個代數(shù)式的正負，根據(jù)向東為正，向西為負，即可求解；

(2)將四個代數(shù)式相加，將％=10代入求值，根據(jù)向東為正，向西為負，即可求解；

(3)將四個代數(shù)的絕對值相加即可表示出總路程，根據(jù)總路程為47km列方程求出x,即可求解.

【詳解】(1)解：因為6cx<16,

所以x>0,<0,x-4>0,2(6-x)<0,

所以第一次向東；第二次向西；第三次向東；第四次向西；

故答案為：東；西；東；西.

(2)解：x—^x+x—4+2(6—r)=—+8(km).

因為k=10?

所以一+8=—1x10+8=3(km)?

所以若x=10,則經(jīng)過連續(xù)4次行駛后，這輛出租車在A地的東邊3km處.

(3)解：根據(jù)題意可得這輛出租車行駛的路程為：

x+|—^x|+x—4+|2(6—x)|=x+1x+x—4-2(6-x)=-16(km),

因為這輛出租車行駛的總路程是47km.

所嗚3-16=47,

解得％=14?

所以|2(6-x)|=|2x(6-14)|=|-16|=16,

所以這輛出租車4次行駛的總路程是(如-16)km,若這輛出租車4次行駛的總路程是47km,則出租車第

四次行駛的路程是16km.

【點睛】本題考查正負數(shù)的應(yīng)用，整式的加減運算，化簡絕對■值，一元一次方程的應(yīng)用等，解胭的關(guān)鍵是理

解正負號的意義，正確化簡絕對值.

【變式1-1](2023春?上海長寧?六年級上海市延安初級中學?？计谥?列方程解應(yīng)用題.

甲、乙分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，在。處相遇后，甲沒有休息，到B地后立刻折返；乙則在C

處休息了15分鐘才繼續(xù)走，到A地后立刻折返：兩人折返后仍在。處相遇，如果甲每分鐘走60米，乙每

分鐘走80米.那么A、B兩地相距多少米？

第2頁共54頁

【答案】4、3兩地相距180()米：

【分析】由甲、乙的速度比60:80=3:4可設(shè)全程為7%米，則。處到A地的距離為3%米，則。處到8地的距

離為4%米，根據(jù)題意列方程即可.

【詳解】解：60：80=3:4,

設(shè)全程為勿米，則。處到A地的距離為3%米，則C處到8地的走離為以米，

由題意得：上于+15=上乎，解得：x=—,7x=1800,

答:4、8兩地相距1800米;

【點睛】本題考查相遇問題，根據(jù)速度比60:80=3:4設(shè)出全程為7、米是關(guān)鍵.

【變式1-2](2023秋?黑龍江綏化七年級統(tǒng)考期末)一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米〃卜時，順風

飛行需2小時50分，逆風飛行需3小時：

(1)求無風時飛機的飛行速度；

⑵求兩城之間的距離.

【答案】(1)840千米每小時

(2)2448千米

【分析】(1)先設(shè)出匕機在無風時的速度為工，則順風飛行時的速度%=x+24,逆風飛行的速度%=無-24,

再根據(jù)路程相等，列出等式，求解即可.：

(2)利用(1)的結(jié)論求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)無風時飛機的速度為%km/h,

則順風飛行時的速度匕=x+24,逆風飛行的速度%=%-24,

依題意得：(%+24)x2^=(%-24)x3,

解得％=840,

答:無風時匕機的匕行速度為840km/h；

(2)解：兩城之間的距離(840-24)x3=2448(km).

答：兩城之間的距離為2448km.

【點睛】此題考杳?元?次方程的實際運用，掌握無風速度，順風速度，逆風速度，風速之間的關(guān)系是解決

問題的關(guān)鍵.

【變式1?3】(2023秋?廣東佛山?七年級統(tǒng)考開學考試)A、B兩地相距25千米，甲、乙兩人分別從4、B兩

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【題型2工程問題】

【例2】(2023春.廣東深圳.七年級統(tǒng)考開學考試)紅星紡織廠為了應(yīng)對疫情需求，安排甲、乙兩個車間生

產(chǎn)防疫口罩.第一周甲、乙兩個車間各生產(chǎn)5天后，乙車間周六加班多生產(chǎn)1天，結(jié)果兩個車間生產(chǎn)的口

罩數(shù)量一樣多：第二周甲、乙兩個車間各生產(chǎn)4天后乙車間又多生產(chǎn)口罩3000個，結(jié)果甲車間比乙車間仍

多生產(chǎn)口罩1000個.

(I)甲、乙兩車間每天生產(chǎn)口罩各多少個？

(2)第三周，紡織廠又接到生產(chǎn)40000個口罩的訂單，且要求必須4天完成任務(wù)，同時甲車間要抽調(diào)一半的

工人去生產(chǎn)防護服，因此，甲車間生產(chǎn)口罩的效率只有原來的一半，廠部要求乙車間必須提高口罩生產(chǎn)效

率，保證按時完成任務(wù)，乙車間生產(chǎn)效率提高的百分比是多少？

【答案】(1)甲車間每天生產(chǎn)口罩6000個，乙車間每天生產(chǎn)口罩5000個

(2)40%

【分析】(1)設(shè)甲車間每天生產(chǎn)口罩％個，可得4%=三%x4+3000+1000,即可解得甲車間每天生產(chǎn)口罩

6

6000個，乙車間每天生產(chǎn)口罩5030個；

(2)設(shè)乙車間生產(chǎn)效率提高的百分比是m%,可得4x等+4x5000(1+m%)=40000,可解得乙車間生

產(chǎn)效率提高的百分比是40%.

【詳解】(1)解：設(shè)甲車間每天生產(chǎn)口罩x個，

?.?第一周甲、乙兩個車間各生產(chǎn)5天后，乙車間周六加班多生產(chǎn)1天，結(jié)果兩個車間生產(chǎn)的口罩數(shù)量一樣多；

???乙車間每天生產(chǎn)口罩三二)”(個)，

5+16

?.?第二周甲、乙兩個車間各生產(chǎn)4天后乙車間又多生產(chǎn)口罩3000個，結(jié)果甲車間比乙車間仍多生產(chǎn)口.罩1000

個，

4x=76^x4+3000+1000,

解得x=6000,

^=7X6000=5000,

66

甲車間每天生產(chǎn)口罩6000個，乙車間每天生產(chǎn)口罩500()個；

(2)設(shè)乙車間生產(chǎn)效率提高的百分比是加％,

根據(jù)題意得：4x等+4x5000(1+m％)=40000,

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解得m%=40%,

答：乙車間生產(chǎn)效率提高的百分比是40%.

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意：找到等量關(guān)系列出方程.

【變式2-1】(2023春?河南新鄉(xiāng)?七年級統(tǒng)考期中)我市在創(chuàng)建省級衛(wèi)牛.文明城市建設(shè)中，對城內(nèi)的部分河道

進行整治.現(xiàn)有一段360米的河道整治任務(wù)由甲、乙兩個工程隊先后接力完成.甲工程隊每天整治16米，

乙工程隊每天整治24米，共用時20天.求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少米？

【答案】甲工程隊整治15天，則乙工程隊整治5天

【分析】設(shè)甲工程隊整治工天，則乙工程隊整治(20-%)天，根據(jù)河道總長二甲工程隊整治的長度+乙工程隊

整治的長度，列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)甲工程隊整治工天，則乙工程隊整治(20-%)天，

16x+24(20-x)=360,

解得：x=15,

/.20-x=20-15=5,

答：甲工程隊整治15天，則乙工程隊整治5天.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程

求解.

【變式2-2](2023春?重慶北倍?七年級西南大學附中校考開學考試)為提升鄉(xiāng)村休閑旅游產(chǎn)業(yè)，推動鄉(xiāng)村全

面振興.某地政府計劃對轄區(qū)內(nèi)一條長15千米的公路進行維護升級，計劃由甲、乙兩個工程隊我合完成.若

甲工程隊先單獨施工6天，則乙工程隊還需單獨施工15天可完成該工程.已知甲工程隊每天比乙工程隊每

天少施工0.3千米.

(1)求甲、乙兩個工程隊每天各施工多少千米？

(2)已知甲工程隊每天的施工費用為8000元，乙工程隊每天的施工費用為10000元，若先由甲工程隊單獨施

工若干天，再由甲、乙兩個工程隊聯(lián)合施工，則恰好14天完成施工任務(wù)，則共需施工費用多少元？

【答案】(I)甲工程隊每天施工0.5千米，乙工程隊每天施工0.8千米；

(2)212000元.

【分析】(1)設(shè)乙工程隊每天施工工千米，根據(jù)甲工程隊先單獨施工6天，則乙工程隊還需單獨施工15天

可完成該工程，列一元一次方程，求解即可；

(2)設(shè)甲工程隊單獨施工m天，根據(jù)先由甲工程隊單獨施工若干天，再由甲、乙兩個工程隊聯(lián)合施工，則恰

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好14天完成施工任務(wù)列一元一次方程，求出m的值，進一步求施工費用即可.

【詳解】(1)解：設(shè)乙工程隊每天施工"千米，

根據(jù)題意，得6(%-0.3)+15%=15,

解得x=0.8,

0.8-0.3=0.5(千米)，

答：甲工程隊每天施工0.5千米，乙工程隊每天施工0.8千米；

(2)解：設(shè)甲工程隊單獨施工m天，

根據(jù)題意，得0.5x14+0.8(14-m)=15,

解得m=4,

???14x8000+10000x(14-4)=212000(元)，

答：共需施工費用212000元.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立等量關(guān)系.

【變式2-3】(2023秋?云南臨滄?七年級統(tǒng)考期末)某中學在寒假期間對教室內(nèi)墻進行粉刷，現(xiàn)有甲、乙兩個

工程隊都想承包這項工程，已知甲隊每天能粉刷2間教室，乙隊每天能粉刷3間教室，若單獨粉刷所有教

室，甲隊比乙隊要多用10天，在粉刷過程中，該校每天需要支/寸甲隊1600元，每天支付乙隊2500元.

(I)該校一共有多少間教室需要粉刷？

(2)若先由甲、乙兩個工程隊合作一段時間后，甲隊停工了，乙隊單獨完成剩余部分，且乙隊的全部工作時

間是甲隊的工作時間的2倍還多4天，求乙隊共粉刷了多少天？

(3)經(jīng)學校研究，制定了如下三種方案：

方案一：由甲隊單獨完成；

方案二：由乙隊單獨完成；

方案三：按(2)的方式完成.

請你通過計算幫學校選擇一種最省錢的粉刷方案.

【答案】(I)該校共有60間教室需要粉刷

(2)乙隊共粉刷了了16天

(3)選擇方案一最省錢，見解析

【分析】(1)設(shè)乙工程隊要刷x天，根據(jù)題意房間數(shù)量列出方程求解即可；

(2)設(shè)甲工程隊的工作時間為)，天，則乙工程隊的工作時間(2y+4)天，根據(jù)兩隊共粉刷60間教室列出方

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程求解即可：

（3）分別計算出三種方案的費用，然后進行比較即可.

【詳解】（1）解：設(shè)該校共有無間教室需要粉刷，貝6=：+10,解得：%=60.

答：該校共有60間教室需要粉刷.

（2）解：設(shè)甲隊的工作時間是y天，則乙隊的工作時間為（2y+4）天，由題意可得：

.??2y+3（2y+4）=6U,解得：y=6,

A2y+4=16.

答：乙隊共粉刷了16天.

（3）解：方案一：甲單獨完成花費為：yX1600=48000（元）；

方案二：乙單獨完成花費為：2500=50000（元）；

?5

方案二：總花費為：6x1600+16x2500=49600（元）.

工選擇方案一最省錢.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確埋解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出

方程是解答本題的關(guān)鍵.

【題型3配套問題】

【例3】（2（）23秋?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校?？计谥校┠耻囬g有22名工人生產(chǎn)螺釘

和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘12個或螺母20個，一個螺釘要配兩個螺母，要求使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好

配套.

（1）如果車間主任安排8人生產(chǎn)螺釘，其它人生產(chǎn)螺母，請你計算這樣的安排是否符合要求？

（2）如果你是車間主任，請你用列方程的辦法計算出分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母才能符

合要求？

【答案】（1）不符合要求

（2）分配10名工人生產(chǎn)螺釘，12人生產(chǎn)螺母

【分析】（1）計算出每天生產(chǎn)的螺釘數(shù)、螺母數(shù)，判斷是否配套即可；

（2）設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺釘，根據(jù)一個螺釘要配兩個螺母建立方程，求出方程的解即可.

【詳解】（1）解：每天生產(chǎn)的螺釘數(shù)為8x12=96（個），

每天生產(chǎn)的螺母數(shù)為（22-8）x20=280（個），

第8頁共54頁

,:96x2H280?

???這樣的安排不符合要求；

（2）解：設(shè)分配1名工人生產(chǎn)螺釘，則（22-幻名工人生產(chǎn)螺母，

根據(jù)題意得：2xl2x=（22-x）x20,

解得％=10,

故22-10=12（人）.

答：分配10名工人生產(chǎn)螺釘，12人生產(chǎn)螺母才能符合要求.

【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出方程.

【變式3-1】（2023春?上海普陀?六年級?？计谥校┮粋€方桌由一張桌面與四根桌腿做成，已知一立方米木料

可以做桌面50張或桌腿300根，現(xiàn)有5立方米木料，可恰好做成方桌多少個？

【答案】150個

【分析】利用一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成，利用桌面*4=桌腿數(shù)量，進而得出等式即可.

【詳解】解：設(shè)用x立方米木料做桌面，則可做50%個桌面，

剩下的（5-無）立方米木料做桌腿，可做300（5-x）條桌腿.

因為桌腿的數(shù)量是桌面數(shù)量的4倍，

所以可列方程4x50x=300（5-T）.

解得》=3.

工可恰好做成方桌50x3=1501.

【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出?元一次方程，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式3-2】（2023秋?陜西榆林?七年級校考階段練習）川硬紙板做長方體盒子（如圖1）.如圖2,在長方

體盒子表面展開圖中，4個側(cè)面組成的長方形叫做盒身，用灰色部分表示，2個底面分別用斜線部分表示，

硬紙板有如圖3所示的A,B兩種剪裁方法（空白部分的邊角料不再利用）.A方法：剪2個盒身.B方法：

剪I個盒身和5個底面.現(xiàn)有28張硬紙板.若其中的X張用力方法裁剪，其余的用8方法裁剪.

iQ^rT^i

圖1圖2

（.4方法）（8方法）

圖3

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（1）填空：裁剪出的盒身的個數(shù)是,裁剪出的盒底的個數(shù)是.（用含工的代數(shù)式表示，代數(shù)式不

是最簡要化為最簡形式）

（2）若裁剪出來的盒身和盒底正好配套，求x的值.

【答案】（l）x+28,-5%+140

⑵12

【分析】（1）根據(jù)題意，列出代數(shù)式，即可求解；

（2）由側(cè)面?zhèn)€數(shù)和底面?zhèn)€數(shù)比為2：1建立方程求出x的值.

【詳解】（1）YA方法：剪2個盒身.B方法：剪1個盒身和5個底面，

???裁剪出的盒身的個數(shù)是2%+28-％=%+28,

裁剪出的盒底的個數(shù)是5（28-;v）=-5A:+140；

（2）由題意得，2（x+28）=-5x4-140

?,?解得％=12.

【點睛】本題考查了一元一次方程的實際運用，根據(jù)裁剪出的側(cè)面和底面?zhèn)€數(shù)相等建立方程是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3】（2023秋?廣東中山?七年級統(tǒng)考期末）美術(shù)老師組織初一（5）班的學生用硬紙板制作下圖所示

的正三棱柱盒子.初一（5）班共有學生45人，每名學生每小時可以裁剪側(cè)面60個或底面5（）個.已知一

個三棱柱盒子由3個側(cè)面和2個底面組成，為了使每小時裁剪出的側(cè)面與底面剛好配套，應(yīng)如何分配全班

【答案】應(yīng)該分配裁剪側(cè)面的學生為25人，裁剪底面的學生為20人

【分析】設(shè)分配裁剪側(cè)面的學生為x人，則裁剪底面的學生為（45-幻人，再根據(jù)“一個三棱柱盒子由3個側(cè)

面和2個底面組成”列方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)分配裁剪側(cè)面的學生為x人，則裁剪底面的學生為（45-x）人，

根據(jù)題意得，60xx2=50（45—x）x3,

A270x=6750,

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解得％=25,

???裁剪底面的學生為：45-25=20（人），

答：應(yīng)該分配裁剪側(cè)面的學生為25人，裁剪底面的學生為20人.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意并列出方程是解決本題的關(guān)鍵.

【題型4銷售盈虧問題】

【例4】（2023秋?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第六十九中學校?？茧A段練習）東輝超市兩次購進甲、乙

兩種商品進行銷售，其中第一次購進乙種商品的件數(shù)比甲種商品件數(shù)的2倍多15件.

（I）若第一次購進甲種商品的件數(shù)為。件，則購進乙種商品的件數(shù)為件.

⑵已知甲種商品的進價49元，標價69元，乙種商品的進價35元，標價45元.該超市第一次用7665元購

進甲、乙兩種商品，且均按標價出售，問本次全部售出后共獲利多少元？

（3）在（2）間的條件下，該超市第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品，其中甲種商品的件數(shù)是第一

次的2倍，乙種商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品售價不變，乙商品打折銷售，笫二次全部售出后獲得

的總利潤比第一次獲得的總利潤多10%,求第二次乙種商品按原價打幾折出售？

【答案】（1）（2。+15）

（2）2550元

⑶八折

【分析】（1）根據(jù)題意，用運算表示數(shù)量間關(guān)系，列代數(shù)式；

（2）明確等量關(guān)系：甲商品總進價+乙商品總進價=7665元，列一元?次方程求解，進而求出利潤;

（3）明確等量關(guān)系：第二次總利潤一第一次總利潤=2550x（1+10%）,列一元一次方程求解；

【詳解】（1）（2a+15）

（2）解：根據(jù)題意得49Q+35（2。+15）=7665,解得Q=60,

2a4-15=135（件），

60x（69-49）+135x（45-35j=2550（元）,

答：本次售出后獲利2550元.

（3）解：甲：60x2=120（件）乙：135x3=405（件）

設(shè)第二次乙種商品打x折出售.

根據(jù)題意得405（45x巳-35）+120x（69-49）=2550x（1+10%）,解得x=8.

答：第二次乙種商品打八折出售.

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【點睛】本題考杳一元一次方程的應(yīng)用：審題明確題意中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1](2023春?貴州畢節(jié).七年級統(tǒng)考期末)2023年4月16日至18日“金沙貢茶文化節(jié)”在巖孔貢茶

古鎮(zhèn)舉行，開幕式上12家茶企茶商代表進行了集中簽約.其中某采購商計劃購進甲、乙兩種茶葉商品.已

知甲種茶葉商品的每件進價比乙種茶葉商品的每件進價少20元.若購進甲種茶葉商品5件，乙種茶葉商品

3件，共需要700元.

(I)求甲、乙兩種茶葉商品每件的進價分別是多少元？

(2)該采購商購進了甲種茶葉商品30()件，乙種茶葉商品20()件.在銷售時，甲種茶葉商品的每件售價為110

元，要使得這500件茶葉商品所獲利潤率為30%,求每件乙種茶葉商品的售價是多少元？

【答案】(1)甲、乙兩種茶葉商品每件的進價分別是80,10()元

(2)每件乙種茶葉商品的售價是121元

【分析】(1)設(shè)甲種茶葉商品每件的進價為X元，則乙種茶葉商品每件的進價為(尤十20)元，由題意如，5%十

3(x+20)=700,計算求解，然后作答即可;

(2)設(shè)每件乙種茶葉商品的售價是a元，由題意知，("；吃：：：:比瑞、2。。XI。。％=30%,計算求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲種茶葉商品每件的進價為x元，則乙種茶葉商品每件的進價為(％+20)元，

由題意知，5%+3(%+20)=700,

解得％=80,

.r+20=100(元)，

???甲、乙兩種茶葉商品每件的進價分別是80,100元；

(2)解：設(shè)每件乙種茶葉商品的售價是a元，

⑴

由胭意知,0-80)x300+9-100)x200x100%=30%,

80x300+100x200

解得，a=121,

???每件乙種茶葉商品的售價是121元.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于對知設(shè)的熟練掌握.

【變式4-2](2023春?山東泰安?六年級?？奸_學考試)玉玲超市經(jīng)銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價

80元，利潤率60%；乙種商品每件進價40元，售價60元.

(1)每件甲種商品的進價為瓦；每件乙商品的利潤率為.

(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共500件，總進價為21000元，求購進甲種商品多少件？

第12頁共54頁

(3)“元旦”期間，該超市對乙商品進行如下優(yōu)惠促銷活動:

打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施

少于或等于450元不優(yōu)惠

超過450元，但不超過600元按購物總金額打九折

超過600元其中600元部分八五折優(yōu)惠，超過600元的部分打三折優(yōu)惠

按上述優(yōu)惠條件，若小華購買乙種商品實際付款564元，求小華在商場購買乙商品多少件？

【答案】(1)50；50%

(2)購進甲種商品100件

⑶購進乙種商品13件

【分析】(1)設(shè)每件甲種商品的進價為x元，根據(jù)利潤=售價-進價列出方程解方程即可，杈據(jù)利潤率二

翌x100%求出乙商品的利潤率即可；

(2)設(shè)購進甲種商品)，件，則購進乙種商品(500-y)件，根據(jù)卬、乙兩種商品的總進價為21000元，列出

方程，解方程即可；

(3)設(shè)小華購買乙種商品總價為加元，根據(jù)小華購買乙種商品實際付款564元列出方程，解方程得出實際

付款數(shù)，然后再求出件數(shù)即可.

【詳解】(1)解：設(shè)每件甲種商品的進價為x元，根據(jù)題意得：

80-x=60%x,

解得：x=50,

每件乙商品的利潤率為：吟產(chǎn)x100%=50%：

40

故答案為:50；50%.

(2)解：設(shè)購進甲種商品y件，則購進乙種商品(500-y)件，根據(jù)題意得：

50y+40(500-y)=21000,

解得：y=100,

500-100=400(件)，

答：購進甲種商品100件.

(3)解：600x0.9=540(元)，

第13頁共54頁

600x0.85=510（元），

???564>540>510,

???小華購買乙種商品總價超過600元，

設(shè)小華購買乙種商品總價為〃，元，根據(jù)題意得：

600x0.85+（m-600）x0.3=564,

解得：m=780,

780+60=13（件），

答：購進乙種商品13件.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，熟練掌握利潤

二售價一進價，利潤率=罟乂100%.

【變式4-3］（2023秋?陜西延安?七年級?？茧A段練習）晨光文具店分兩次購進一款禮品盲盒共70盒，總共

花費960元，已知第一批盲盒進價為每盒15元，第二批盲盒進吩為每盒12元.（利潤=銷售額-成本）

（1）求兩次分別購進禮品盲盒多少盒？

（2）文具店老板計劃將每盒盲盒標價20元出售，銷售完第一批盲盒后，再打八折銷售完第二批盲盒，按此計

劃該老板總共可以獲得多少元利潤？

（3）在實際銷售中，該文具店老板在以（2）中的標價2（）元售出一些第一批盲盒后，決定搞一場促銷活動，

盡快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完.老板現(xiàn)將標價提高到40元/盒，再推出活動：購買兩盒，第一

盒七五折，第二盒半價，不單盒銷售.售完所有盲盒后該老板共獲利潤710元，按（2）中標價售出的禮品

盲盒有多少盒？

【答案】（1）第一次購買了40盒，第二次購買了30盒

（2）按此計劃該老板總共可以獲得320元的利潤

⑶按（2）中標價售出的禮品盲盒有16盒

【分析】（1）設(shè)第一次購買了無盒，則第二次購買了（70-切盒，根據(jù)總共花費960元，列出方程進行求解

即可；

（2）分別求出兩批的利潤，相加即可；

（3）設(shè)按（2）中標價售出的禮品盲盒有771盒，分別求出按不同方案銷售的銷售額，再根據(jù)該老板共獲利潤

710元,列出方程進行求解即可.

【詳解】（1）解；設(shè)第一次購買了工盒，則第二次購買了（70—x）盒，

第14頁共54頁

由題意,得15%+12（70-%）=960,

解得％=40,

所以70-％=30.

答：第一次購買了40盒，第二次購買了30盒.

（2）第一批的利潤為（20—15）x40=200（元），

第二批的利潤為（20x0.8-12）x30=120（元），

200+120=320（元）.

（3）設(shè)按（2）中標價售出的禮品盲盒有m盒，則按標價售出m盒的銷售額為20m,

按二五折售出部分的銷售額為40x0.75x4三=1050-15m,

按五折售出部分的銷售額為40x0.5x"二700-lOzn,

根據(jù)題意可得207n+1050-157n+700-10m-960=710,

解得m=16.

答：按（2）中標價售出的禮品盲盒有16盒.

【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用.讀懂題意，找準等量關(guān)系，正確的列出一元一次方程，是解題

的關(guān)鍵.

【題型5比賽積分問題】

【例5】（2023秋.江西贛州.七年級校聯(lián)考階段練習）某電視臺組織知識競賽，共設(shè)20道選擇題，每題必答，

如表記錄了3個參賽者的得分情況.

參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)總得分

甲200100

乙19194

丙14664

⑴由表中的數(shù)據(jù)可知：答對I題得分，答錯I題得分;

⑵參賽者小婷得76分，她答對了幾道題？

（3）參賽者小明說他得了80分.你認為可能嗎？為什么？

【答案】（1）5,-1

⑵參賽者小婷得76分，她答對了16道題

第15頁共54頁

（3）不可能，理由見解析

【分析】（1）從參賽者甲的得分可以求出答對1題的得分=總分?全答對的題數(shù)，再由乙同學的成績就可以

得出答錯1題的得分；

（2）設(shè)參賽者小婷答對了x道題，答錯了（20-公道題，根據(jù)答對的得分+加上答錯的得分=76分建立方程

求出其解即可；

（3）假設(shè)他得80分可能，設(shè)答對了），道題，答錯了（20-y）道題，根據(jù)答對的得分+加上答錯的得分=80

分建立方程求出其解即可判斷.

【詳解】（1）由題意，得，答對1題的得分是：100-20=5分，

答錯1題的得分為：94-19x5=-1分，

故答案為：5,-1；

<2）設(shè)參賽者小婷答對了x道題，則答錯/（20-x）道題，由題意，得，

5%-（20—。）=76,

解得：x=16.

答：參賽者小婷得76分，她答對了16道題；

（3）不可能.理由如下：

假設(shè)他得80分可能，設(shè)答對了1y道題，答錯了（20-y）道題，由題意，得，

5y-（20-y）=80,

解得：y=?，

為整數(shù),

???參賽者小明說他得80分，是不可能的.

【點睛】本題考查了一元一次方程的實際運用，正確理解題意、找準相等關(guān)系列出方程是關(guān)鍵.

【變式5-1]（2023秋?四川成都?七年級統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯已于12月19日完美落下帷幕，在

歐洲區(qū)預(yù)選賽中某小組某隊以不敗的戰(zhàn)績踢完12場積了18分.

⑴已知足球積分為勝一場積3分，平一場積1分，則該隊現(xiàn)在勝、平各幾場？

⑵為了鼓勵該隊獲得好成績，該隊的贊助商制定了一個獎勵機制，每位球員勝一場獲得15000歐元獎勵，平

一場獲得7000歐元獎勵，則該隊?位球員能獲得多少報酬？

【答案】⑴勝3場，平9場;

⑵108000歐元

第16頁共54頁

【分析】（1）設(shè)該隊勝x場，則平（12-幻場，根據(jù)題意列方程，求解即可得到答案；

（2）根據(jù)題意列式計算即可得到答案.

【詳解】（1）解：設(shè)該隊勝x場，則平（12-幻場，

根據(jù)題意得：3x+（12-x）=18.

解得：x=3,

答：該隊勝3場，平9場；

（2）解：根據(jù)題意得：15000X3+7000X9=108000（歐元），

答：該隊一位球員能獲得108000歐元.

【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，有理數(shù)的四則混合運算的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系正確

列方程是解題關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023秋?河北保定?七年級統(tǒng)考期末）2019年9月29日，中國女排以十一連勝的戰(zhàn)績奪得女排

世界杯冠軍，成為世界三大賽的“十冠王”2019年女排世界杯的參賽隊伍為12支，比賽采取單循環(huán)方式，五

局三勝，積分規(guī)則如下：比賽中以3—0或者3-1取勝的球隊積3分，負隊積。分；而在比賽中以3—2取勝

的球隊積2分，負隊積1分.前四名隊伍積分榜部分信息如下表所示：

名次球隊場次勝場負場總積分

1中國11110—

2美國II1()128

3俄羅斯II8323

4巴西1121

（I）中國隊11場勝場中只有一場以3-2取勝，請將中國隊的總積分填在表格中.

⑵巴西隊積3分取勝的場次比積2分取勝的場次多5場，且負場枳分為1分，總積分見表，求巴西隊勝場

的場數(shù).

【答案】⑴32

⑵？場

【分析】（1）依據(jù)中國隊II場勝場中只有一場以3-2取勝，即可得到中國隊的總積分.

第17頁共54頁

(2)設(shè)巴西隊枳3分取勝的場數(shù)為%場，依據(jù)巴西隊總積分為21分，即可得到方程，進而得出工的值.

【詳解】(1)中國隊的總積分=3x10+2=32：

故答案為：32：

(2)設(shè)巴西隊積3分取勝的場數(shù)為工場，則積2分取勝的場數(shù)為5)場，

依題意可列方程3x+2(x-5)+l=21,

3x4-2x—10+1=21,

Sx=30>

x=6,

則積2分取勝的場數(shù)為5=1,

所以取勝的場數(shù)為6+1=7,

答：巴西隊取勝的場數(shù)為7場.

【點睛】本題考杳一元一次方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](2023秋?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末)下表是某市大學牛.中國象棋錦標賽第一階段比賽的部分參

賽隊的不完整積分表.

參賽隊局次勝和負積分

A963021

B953118

C9114

D924310

E90090

觀察表格，請解決下列問題：

(1)本次比賽勝一局得分，和一局得分，負一局得分.

(2)根據(jù)積分規(guī)則，請求出C隊在已經(jīng)進行的9局比賽中勝、和各多少局？

(3)此次比賽每個隊共對弈21局，若。隊最終勝的局數(shù)是負的局數(shù)的2倍，你認為。隊的最終得分可以等

于39分嗎?

【答案】(1)3；1；0

(2)C隊在已經(jīng)進行的9局比賽中勝3局、和5局

第18頁共54頁

(3)D隊的最終得分不可能等于39分

【分析】(1)根據(jù)E隊負了9局，得了。分可知，負一場得0分，設(shè)本次比賽勝一局得x分，根據(jù)A參賽

隊可知，和一場得手分，根據(jù)B參賽隊，勝5場，和3場，負1場得18分，列出方程，解方程即可；

(2)設(shè)。隊在已經(jīng)進行的9局比賽中勝y局、和(9—1-y)局，艱據(jù)得分為14分，列出方程，解方程即可;

(3)設(shè)。隊最終勝的局數(shù)為小局，則負的局數(shù)為三局，根據(jù)得分為39分，列出方程，解方程，得出租=9,

根據(jù)/〃必須取整數(shù)，得出。隊的最終得分不可能等于39分.

【詳解】(1)解：??任參賽隊負了9局，得了0分，

，負一場得0分，

設(shè)本次比賽勝一局得x分，根據(jù)A參賽隊可知，和一場得名竺分，根據(jù)4參賽隊，勝5場，和3場，負1

場得18分，可列方程，

解得：x=3,

則卓2=1,

故答案為：3；1；0.

(2)解：設(shè)。隊在己經(jīng)進行的9局比賽中勝y局、和(9-1-y)局，根據(jù)題意得：

3y4-(9-1—y)=14,

解得：y=3,

9-1-3=5(局)，

答：。隊在已經(jīng)進行的9局比賽中勝3局、和5局.

(3)解：設(shè)。隊最終勝的局數(shù)為冽局，則負的局數(shù)為三局，根據(jù)題意可得：

3m+介39,

解得：m=/，

??"?必須取整數(shù)，

???0隊的最終得分不可能等于39分.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格信息，找出等量關(guān)系，列出方程，準

第19頁共54頁

確解方程.

【題型6方案選擇問題】

【例6】(2023秋?廣東韶關(guān)?七年級?？计谀?某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價為50元，其成本價

為25元，因為在生產(chǎn)過程中，平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5m3的污水排出，所以為凈化環(huán)境工廠計劃了兩種處

理污水的方案.

方案一：工廠污水先凈化處理后再排出，每處理Im?污水所用費用為2元，并且每月排污設(shè)備損耗為30000

元.

方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理lm3污水需付14元的排污費.

問：

(1)工廠每月生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，依方案1處理污水每月所獲利潤比方案2處理污水每月所獲利潤少6000元?

⑵設(shè)工廠每月生產(chǎn)量為6000件產(chǎn)品時，你若作為廠長，在不污染環(huán)境又節(jié)約資金的前提下，會選用哪種處

理污水的方案?請通過計算加以說明.

【答案】(1)每月生產(chǎn)4000件產(chǎn)品時，依方案1處理污水每月所獲利潤比方案2處理污水每月所獲利潤少6000

元

⑵采用第一種方案，理由見解析

【分析】(1)設(shè)每月生產(chǎn)工件產(chǎn)品，則方案一的利潤為(50-25b一2xgx-30000=24%-30000,方案

二的利潤為(50-25)%-14x[%=18,然后根據(jù)方案1處理污水每月所獲利潤比方案2處理污水每月所

獲利潤少6000元列出一元一次方程，求解即可；

(2)分別求出工廠每月生產(chǎn)量為6000件產(chǎn)品時，方案一和方案二的利潤，進行判斷即可.

【詳解】⑴解：設(shè)每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則方案一的利潤為(50-25)%—2x1-30000=2軌一30000,

方案二的利潤為(50-25)x-14x1x=18x,

根據(jù)題意可得：18%-(24%-30000)=6000,

解得：x=4000,

答：每月生產(chǎn)4000件產(chǎn)品時，依方案1處理污水每月所獲利潤比方案2處理污水每月所獲利澗少6000元；

(2)當每月生產(chǎn)量為6000件產(chǎn)品時，

方案一的利潤為：24%-30000=24x6000-30000=114000,

方案二的利潤為；18k=108000,

第20頁共54頁

V114000>108000,

???工廠采用第一種方案時利潤更多.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，理清數(shù)量關(guān)系，列出方程是解本題的關(guān)鍵.

【變式6-1】(2023秋?湖北武漢?七年級?？茧A段練習)下表中有兩種移動電話計費方式：

月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/元/min被叫

方式一602000.25免費

方式二1004000.3免費

設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫為tmin(t為正整數(shù))，由上表解決下列問題:

(1)當￡=500時，方式一的費用為元，方式二的費用為元；

(2)當方式一、方式二計費結(jié)果相等時，求，的值；

(3)請直接寫出如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式：—.

【答案】⑴135,130

(2)360或600

(3)當tV360或t>600時,選擇方式一省錢;當t=360或600時，兩種方式收費一樣多;當360VtV600

時，選擇方式二省錢

【分析】(1)根據(jù)兩種方式的收費標準即可求解：

(2)先判斷出兩種方式相等時C的大致范圍，繼而建立方程即可得出答案.

(3)由(2)計算過程即可得出答案.

【詳解】⑴解:當t=500時,

方式一收費：

60+0.25x(500-200)

=60+0.25X300

=60+75

=135(元)；

方式二收費：

100+0.3x(500-400)

=100+0.3x100

第21頁共54頁

=100+30

=130(元).

(2)解:當200<tv400時，依題意有

0.25(￡-200)+60=100,

解得￡=360；

當400時，依題意有

0.25(t-200)+60=0.3(t-400)+100,

解得￡=600.

故t的值為360或600；

(3)解:當t<360或t>600時，選擇方式一省錢；

當￡=360或600時，兩種方式收費一樣多；

當360<t<600時，選擇方式二省錢.

故答案為：當t<360或￡>600時，選擇方式一省錢；

當￡=360或600時,兩種方式收費一樣多;

當360Vt<600時，選擇方式二省錢.

【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，注意根據(jù)圖表得出解題需要的信息，難度一般，要將實際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學問題來求解.

【變式6-2](2023秋?河北七年級校聯(lián)考階段練習)新疆棉花品質(zhì)優(yōu)、產(chǎn)量大，甲、乙兩個新疆棉花供貨商

提供的棉花品質(zhì)?樣，報價均為2萬元/噸，某紡織廠計劃購進工噸(%>10)新疆棉花，兩個供貨商分別給

出如下優(yōu)惠方案.

甲供貨商：一次性購進10噸以上時，每噸的售價優(yōu)惠5%；

乙供貨商：一次性購進10噸以上時，10噸及10噸以內(nèi)的部分按報價付費，超過10噸的部分，每噸的售價優(yōu)

惠10%.

(I)該紡織廠在甲供貨商處購買新疆棉花時所花的費用為萬元；該紡織廠在乙供貨商處購買新疆棉花

時所花的費用為萬元；(用含工的式子表示)

(2)若同樣的供貨量，在乙供貨商處的花費比在甲供貨商處的花費多5000元，求x的值；

(3)當x=30時，請直?接?寫出該紡織廠選擇在哪個供貨商處購買新疆棉花更實惠？

【答案】(1)1.9%,(1.8%+2)；

(2)15：

第22頁共54頁

(3)乙供貨商.

【分析】(1)根據(jù)題意分別求出用“表示兩家供貨商的費用；

(2)根據(jù)題意列出方程，解方程求解即可；

(3)代入求值，比較大小即可.

【詳解】(I)紡織廠在甲供貨商處購買新疆棉花時所花的費用：2x(1-5%)x=2x95%x=1.9x,

紡織廠在乙供貨商處購買新疆棉花時所花的費用：2X10+2(%-10)(1-10%)=20+1.8%-18=1.8%+

2,

故答案為:1.9%,(1.8x4-2),

(2)根據(jù)題意可列方程為：

1.8r+2—0.5=1.9%,

解得：x=15,即尤的值為15；

(3)當x=30時，

在甲供貨商處購買新疆棉花時所花的費用：1.9x30=57(元)，

在乙供貨商處購買新疆棉花時所花的費用：1.8x30+2=56(元)，

V57>56,

???該紡織廠選擇在乙供貨商處購買新疆棉花更實惠.

【點睛】此題主要考查了列代數(shù)式和一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，準確找到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2023春.河南.七年級統(tǒng)考階段練習)《義務(wù)教育體育與健康課程標準(2023年版)》發(fā)布后

引起熱議，新課標明確了體育依舊為第三主科.學?？筛鶕?jù)實際情況設(shè)計課程內(nèi)容.某中學依據(jù)本地特色

開設(shè)滑冰課程，需要購買12套隊服和x套護具(%>12),現(xiàn)從甲、乙兩商場了解到同一品牌的隊服報價每套

均為200元，護具報價每套均為50元.甲、乙兩商場的優(yōu)惠方案如下表：

商場甲乙

優(yōu)惠方案購買一套隊服贈送一套護具隊服和護具均按報價打八五折

(I)用含％的式子表示分別在甲、乙兩商場購買隊服和護具所需