專題135 角平分線的判定與性質(zhì)【八大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題13.5角平分線的判定與性質(zhì)【八大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1利用角平分線的性質(zhì)求長度】............................................................1

【題型2利用角平分線的性質(zhì)求面積】............................................................6

【題型3利用角平分線的性質(zhì)證明】..............................................................10

【題型4角平分線的判定】......................................................................17

【題型5尺規(guī)作角平分線】......................................................................23

【題型6角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】.......................................................28

【題型7利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】...................................................40

【題型8角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】...........................................................46

?舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)】

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分/ADB,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE_LAD于點(diǎn)E,PF_LBD于點(diǎn)F,則PE=PF.

【題型1利用角平分線的性質(zhì)求長度】

【例1】（2023春?遼寧丹東?八年級統(tǒng)考期末）如圖,4C平分4048,CE1AB,BC=DC,AB=17,AD=9,

則/E的長為（）

/E6

A.13B.12C.1LID.10

【答案】A

【分析】過點(diǎn)。作CF1AD,交710的延長線于點(diǎn)尸，由HL可證明RtAOFC=Rt△8EC和Rt△/FC三RtA/EC,

從而得到BE=DF^AF=AE,利用力8+AD=AE+BE+AF-DF=2力￡即可得到答案.

【詳解】解：過點(diǎn)C作C尸14。，交力。的延長線于點(diǎn)F,

???AC平分匕048,CE工AB于點(diǎn)、E,CF_L力。于點(diǎn)F,

:.CF=CE,Z.DFC=Z.BEC=90°,

在RtziDFC和RtzxBEC中，

(CE=CF

lCD=CB'

???RtADFC^RtAMC(HL),

:.BE=DF,

在尸C和RtZk/EC中，

(CE=CF

14c=AC'

Rt△AFC三Rtz\4EC(HL),

.-.AF=AE,

-AB=17,AD=9,

???AB+AD=AE+BE+AF-DF=2AE=17+9=26,

AE=13.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題

需要的條件，利用全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答.

【變式1-1](2023春?貴州?八年級統(tǒng)考期末)如圖,^AB||CD,射線力E平分(BAG過點(diǎn)E作EH1AC于

點(diǎn)H,作EF1A8于點(diǎn)R并延長F￡1交CD于點(diǎn)G,連接CE.若N/lfC=90°,EH=1則FG的長為.

A

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙84C+N/CD=180。，再根據(jù)角平分線的定義和“等角的余角相等“可得

乙ACE=LECD,再由48||C，GF_L4B,可得GF_LCD,由角平分線的性質(zhì)可得EF=E",EG=E",即可

求出FG的長.

【詳解】-AB||CD,

:.LBAC+Z-ACD=180°,

Rll/BAE+Z.CAE+Z.ACE+乙ECD=180°.

VZ/4EC一900,

???Z.CAE+Z-ACE=90°,

Z.BAE4-/,ECD=90°.

,?NE平分血1C,

:.Z.BAE=Z.CAE?

AZ.ACE=Z.ECD?

???CE平分乙力CO.

vAB||CD,GFA.AB,

???GF1CD.

???EHJ.AC,

EF=EH=1,EG=EH=1,

：.FG=EF+EG=2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，”等角對等邊熟練掌握以上知識(shí)，且證明CE平

分乙4co是解題的關(guān)鍵.

【變式1-21（2023春?福建漳州?八年級?？计谥校┤鐖D,△ABC中，乙4=90。,CD是△4BC的角平分線,。E1BC

于點(diǎn)E,若=8cm,AC=6cm,BC=10cm,則△BCE的周長是cm.

【答案】12

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=40,再證=RtADFC(HL),推出CE=4C,進(jìn)而解答即

可.

【詳解】解：???N/=90。，CO是△/8C的角平分線，OEJ.BC于點(diǎn)E,

ADE=AD,

在RtaZMC和RtZiDEC中，

(DE=DA

lOC=DC'

Rt△DAC=RtADFC(HL),

???AC=EC,

.*.△BDE的周長=BD+DE+BE=BDAD+BE=AB+BC-CE=AB+BC-AC=8+IQ-6=

12(cm),

故答案為:12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出

DE=AD.

【變式1-31(2023春?陜西西安?八年級陜西師大附中?？奸_學(xué)考試)如圖，A8C中，乙力=90%AB=AC,

乙4BC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,CE1BD,交8。的延長線于點(diǎn)E,若BD=5,則CE的值為.

B

E

【答案】|

【分析】延長B力、CE相交于點(diǎn)尸，由角平分線的性質(zhì)可得-18D=利用ASA證明△BCEwaB尸E,得

到CE=”，根據(jù)同角的余角相等得到々180=N/iCF,通過ASA證明△/BO三得到80=",從而

即可得到答案.

【詳解】解：如圖，延長84、CE相交于點(diǎn)F,

???80平分NABC,

???Z.ABD=乙CBD,

vCE1BD,

，BEF=乙BEC=90°,

在A8CE和△8FE中，

(Z.ABD=Z.CBD

BE=BE，

I乙BEF=乙BEC=90°

.-.ABCERWE(ASA),

:.CE=EF,

vZ.BAC=90°,CE1BD,

LACF+zF=90°,Z.ABD+乙尸=90°,

???￡ABD=￡ACF,

???ABAC=90°,^BAC+Z-CAF=180°,

???Z.BAC=Z-CAF=90°,

在八480和44。尸中，

(乙ABD=Z.ACF

AB=AC,

{^BAC=^CAF=90°

△△ABD三△力CF(ASA),

BD=CF

VCF=CE+EF=2CE,

BD=2CE=5,

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，熟練掌握全等三角

形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵.

【題型2利用角平分線的性質(zhì)求面積】

【例2】（2023春?陜西西安?八年級?？计谀┤鐖D，已知△48C的周長是18,08,。。分別平分乙4BC和41C8,

0D18c于D,且0。=2,則445。的面積是（）

【答案】C

［分析］由角平分線的性質(zhì)得到0M=0D=ON,由4的面積=△40B的面積+△08C的面枳+△OAC^J

面積，^-BC+AC).0D,由△48。的周長二18,0D=2,即可求出AABC的面積

2

=-x18x2=18.

2

【詳解】解：過。作。M14B于M,0/7,4。于乂

?：0B,0C分別平分N/1BC和N4CB,

：,0M=0D,ON=0D,

V4ABC的面積=△4。8的面積+△的面積+△的面積，

:.A48C的面積=^AB-0M+^BC-0D^AC-ON=1(/1F+FC+AC).0D,

的周長=18,0D=2,

:.448c的面積=1x18x2=18.

故選：C.

A

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形面積公式得到△力BC的面積=

^(AB+BC+ACyOD.

【變式2-11（2023春?河南洛陽?八在級統(tǒng)考期末）如圖，已知在△/I8C中，CO是邊上的高線，8E平分乙48C,

交CD于點(diǎn)E,8c=10,DE=3,則△8CE的面積等于（）

13C.15D.30

【答案】C

【分析】過E作EF_L8C于凡根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF=DE=3,根據(jù)三角形面積公式求出即可.

【詳解】解：過E作￡T_L8C于F,

???CD是48邊上的高線，BE平分NABC,

???EF=DE=3,

vBC=10,

???△8CE的面積為；XBCXEF=15.

故選C.

【點(diǎn)睛】考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出D￡=EF是解此題的關(guān)鍵，注意:

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

【變式2-2]（2023春福建福州,八年級?？计谥校┤鐖D，乙B=KC=90。，4E平分NBAD,0E平分乙ZX4C,

【答案】5:2

(分析】過點(diǎn)E作“140于心根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BE=EF,然后證明Rt△ABE=

RtAAFE(HL),根據(jù)全等三角形的面積相等可得SM8E=SMFE，同理可得：S^EFD=S^ECD,設(shè)S.DE=2k,

5△486=34,表示出S4ADE=5/c,然后求解即可?

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EFJ.4。于F,

VzB=90°,

：,EBLAB,

???8￡平分438。，

：?BE=EF,

在RtzMBE和8△ArE中，

(AE=AE

iBE=EF'

ARtATlFF=RtA?lFE(HL),

?C^ABE=5AAFE，

同理：S&EFD=S&ECD，

設(shè)SACDE=2k,S^ABE~3k,

??SA4CE=S&AFE+S^EFD=+SMDE=3/c+2k=5k,

:?S&ADE：SADCE=5k:2k=5:2，

故答案為：5:2.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作

輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023春?山東棗莊?八年級校考期末）如圖,4。是△ABC的角平分線，。尸148,垂足為=DG,

△ADG^^的面積分別為50和4.5,則4AED的面積為.

【答案】41

【分析】過點(diǎn)。作DH14C于H,艱據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得OF=DH,再利用“HL”證明

Rt^ADF^RIYADH,Rt△DEF三Rt△OG”，然后根據(jù)全等三角形的面積相等列方程求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作?！?/C于"，如圖，

??YD是△力BC的角平分線，DFLAB,DHLAC,

：.DF=DH,

在Rt/MDF和RtZkADH中，

(AD=AD

bf=DH'

：.RtA/lDF=RtA/lDH(HL),

?'?SRIAAOF=S&AADH,

在Rt^CE/和RtaDGH中，

(DE=DG

IDF=DH'

/.RtADFF=RtAD(7//(HL),

?*,ADEF='S'RtAD?7H?

??N4DG和△￡1/1)的面積分別為50和4.5,SRtAj4D￡+SRtADFF=SA4DC-SRt△.”，

??SRSADE+4.5=50—4.5

?,^RtAZIDE=4L

故答案為：41.

A

【點(diǎn)睛】本題主要考查/角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

【題型3利用角平分線的性質(zhì)證明】

【例3】(2023春?四川綿陽?八年級校考期中)如圖，已知a二60。，力￡8。是△48。的角平分線，且交于

點(diǎn)P.

⑴直接寫出的￡='

(2)求證：PD=PE；

(3)探究48、AD.BE的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)120

(2)見解析

(3)48=AD+BE

【分析】(1)根據(jù)角平分線平分線以及三角形的內(nèi)角和定理，求出44PB的度數(shù)，對頂角相等，即可得到

的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)P作尸F(xiàn)J.48,PG_L4C,PH_LBC,證明aPG。咨即可得證；

(3)在48上截取8M=BE,證明△BPMgaBPE,△4PM且△APO即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：??2C=60°,

：,LABC+乙CAB=180°一乙C=120°,

?ZE,BD是的角平分線,

：.LPAB=-Z.CAB,Z.PBA=-Z-CBA,

22

：,LPAB+Z-PBA=-Z.CAB+-Z-CBA=60°,

22

：.￡APB=180°-^PAB+LPBA)=120°,

工&DPE=Z-APB=120°；

故答案為：120；

(2)證明：1AB,PGLAC,PH1BC,

c

?ZE,BD是△48。的角平分線，且交于點(diǎn)P,

：,PG=PF=PH,

VzC+Z,PGC+Z.PHC+乙GPH=180°,

:?乙GPH=120°,

,:乙DPE=120°,

:?乙DPG=乙EPH,

:MPGD組PHE,

:?PD=PE；

(3)解：在48上截取BM=8E,

C

=APBE,

?:BP=BP,

二公BPMW^BPE,

?LBPM=Z.BPE=1800-/.APB=60°,

：.LAPM=4AP8-乙BPM=60°,

'：LAPD=1800-LAPB=60°,

：.LAPD=AAPM,

???/IP平分NO/IB,

：.ADAP=/.MAP,

又祝=AP,

Z.AAPM^AAPD,

/.AM=AD,

：.AB=AM+BM=AD+AE.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，證明三角

形全等.

【變式3-1]（2023春?江蘇揚(yáng)州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，MBC中，。為8c的中點(diǎn)，DE1BC交乙84C的平分

線于E,EF1AB,交AB于F,EG1AC,交4c的延長線于G,試問：8F與CG的大小如何？證明你的結(jié)論.

【答案】相等，證明見解析

【分析】連接EB、EC,利用角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可得EF=EG、EB=EC,然后借助“HL”證明

RSEFB三RSEGC,由全等三角形的性質(zhì)可證明8F=CG.

【詳解】BF與CG的大小關(guān)系為相等.

證明如下：連接E8、EC,如下圖，

A

?.?力+'是N8AC.的平分線，且七F1A5于尸，上G1AC于G,

:?EF=EG,

VED1FCFD,。是8C的中點(diǎn)，

：.EB=EC,

:.RtAEFBmRtAEGC(HL),

：,BF=CG.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及垂直平分線段的性質(zhì)，正確作出輔

助線，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式3-2](2023春?湖北荊門?八年級校聯(lián)考期末)如圖，已知ZMBC中，乙BAC、〃"的平分線交于O,

A0交BC于D,8。交AC于￡連接。C,過。作。/1BC于F,

C

(1)試判斷乙4。8與ZC。尸有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若41c8=60。，探究0E與。。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)乙〃。8+4；。尸=180。，證明見詳解

(2)。￡=0。，證明見詳解

【分析】(1)過。作0M14c于M,ON148于M根據(jù)角平分線性質(zhì)求HlOM=ON=。尸，求出CO平分乙4CB,

求出=90。+344。氏LCGF=90°-ZOCF,即可求出答案.

2

(2)求出4MOE=，COF,乙0ME=LOFD,根據(jù)AAS證出△MCE三△尸0。即可.

【詳解】(1)Z.AOB+Z.COF=180°,

證明：過。作0M1AC于M,ON1ABTN,

???力。平分NC43,BE平分匕CBA,OF1BC,

：.0M=ON,ON=OF,

???OM=OF,

???0在44CZ7的角平分線上,

?LOCF=*C8,

2

'：0F1BC,

：.Z.CFO=90°,

:.乙COF+乙OCF=90°,

：.LCOF=90°-ZOCF,①

?入。平分BE平分/必,

:.LOAB=1乙CAB,LOBA=1Z.CBA,

：.LAOB=180°-(40A8+408,4)

1

=180。-5(iC4B+zT8A)

乙

1

=180。-5(180。一乙4CB)

J

1

=90。+產(chǎn)4cB

=90。+4。6,②

由??得：/-AOB+LCOF=90°+Z,OCF+900-Z.OCF=180°：

(2)OE=OD,

證明：\^ACB=60°,

???由(1)知：Z.AOB=90°+1z^CF=900+30°=120°,

：.￡EOD=乙408=120°,

\'0M1AC,OF1BC,

：,LOME=Z-OFD=90°,NCMO=乙CFO=90°,

AzMOF=360°-90°-90°-60°=120°,

：,LMOE=Z-DOK=IZIT-NM。。，

在AEOM和△OOF中

(LOME=Z.OFD

△MOE=乙DOF

(OM=OF

AAEOM三△DOF(AAS),

：?0E=OD.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生

的推理能力.

【變式3-3](2023春?湖北荊門?八年級校聯(lián)考期末)如圖,已知△48。中，ABAC,乙48c的平分線交于O,

4。交BC于￡>,80交4c于E,連0C,過。作。尸_L8C于尸.

⑴試判斷Z40B與〃W有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若44C8=60。，探究OE與。。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(I)4408+4(70斤=180°,見解析

(2)0E=OD,見解析

【分析】(1)過。作。M1AC于M,ONJ.AB于N,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OM=ON=。凡求出CO平分

^ACB,求出4囚。8=90°+g匕力C3,乙COF=9口。一乙OCF,即可求出答案.

(2)求出/MOE=乙DOF,Z.OME=Z-OFD,根據(jù)AAS證出△MGE=△尸0。即可.

(詳解](1)“OB+Z.COF=180°,

證明：過。作0MlAC于M,ON1ABTN,

???/ID平分N(L48,BE平分4CBA,OF1BC,

：.0M=ON,ON=OF,

：.0M=OF,

???。在〃CB的角平分線上，

：,LOCF=^￡.ACB,

a：0F1BC,

：.LCFO=90°,

AzCOF+zOCF=90°,

：.z.COF=900-Z,OCF,①

,ZO平分，U4B,RE平分"BA.

:.LOAB=-Z,CAB,乙OBA=-Z-CBA,

22

：.LAOB=180°-(40A8+4。8.4)

=180°-1(zC/4F+zC5>4)

1

=180°--(180°-z/lCfi)

乙

1

=90。+產(chǎn)4cB

=90。+4。6,②

由??得：/-AOB+Z.COF=90°+Z,OCF+90°-LOCF=180°：

(2)OE=OD,

證明：'：LACB=60°,

Art](1)知：/-AOB=90°+-Z-ACB=90°+30°=120°,

工乙EOD=AAOB=120°,

,：OM1.AC,OF1BC,

：,LOME=Z.OFD=90°,LCMO=乙CFO=90°,

:.乙MOF=360°-90°—90°-60°=120°,

C.LMOE=Z-DOF=120。一匕MOD,

在AEOM和4。。尸中

(△OME=乙OFD

UMOE=乙DOF

(OM=OF

：.4EOM=ADOF(AAS),

：,OE=OD.

【點(diǎn)睛】本題考杳了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考杳學(xué)生

的推理能力.

【知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定】

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE_LAD于點(diǎn)E,PF_LBD于點(diǎn)F,PE=PF,貝i」PD平分NADB

【題型4角平分線的判定】

【例4】(2023春?廣東江門?八年級臺(tái)山市新寧中學(xué)校考期中)如圖，在4AOB^LCOD中，。/=OB,OC=OD

COA<OC),=NCOC=%直線4C,8。交于點(diǎn)M,連備OM.

(1)求證：AC=BDx

(2)用a表示乙4MB的大小;

(3)求證：OM平分乙4MD.

【答案】(I)見解析:

⑵。；

⑶見解析.

【分析】⑴用SAS證明△力。C三△8。。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證；

(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得+乙OBD=Z.OAC+NAOB,再由△AOCBOD可得乙OAC=Z-OBD,

即可得到結(jié)論：

(3)作OGJ.4M于G,OH工DM于H,則4OG4==90。，利用AAS證明△04G三△OBH,由全等三角

形的性質(zhì)可得OG=OH,再根據(jù)角平分線的判定定理即可得證.

【詳解】(1)證明：???匕力。8=4?。。=防

:.Z.AOB+乙BOC=乙COD+480C,^LAOC=乙BOD,

在△AOC和△30。中，

0A=0B

Z.AOC=Z.BOD,

0C=0D

???△40C三△BOD(SAS),

:.AC=BD,

(2)解：由三角形的外角性質(zhì)得：/-AMB+WBD=WAC+Z-AOB,

由(1)得△力。。三△BOD(SAS),

:.LOAC=Z.OBD,

???Z.AMB=Z.AOB=a,

(3)證明：作0G1AM于G,OHLDM于H,如圖所示，

則40G力=乙OHB=90°,

在AOAG和△08H中，

Z.0GA=乙0HB

Z.0AC=Z.OBD,

0A=0B

OAG>OBH(AAS),

OG=OH,

???06_14”于6,OH工DM于H,

???M。平分乙4MD,

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的判

定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1](2023春?河北唐山?八年級統(tǒng)考期中)已知,如圖，在△式BC中,AB=AC,在△ADE中,AD=AEt

R^BAC=^DAE,連接CE交于點(diǎn)、F,連接4凡

(1)求證：△ABD=△ACE；

(2)求證：^BFA=^AFE.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)SAS證明結(jié)論即可；

作力。于作于由可得S=然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)

(2)M18M,4N1CEN.(1)80=hBADSACAE,

即可解決問題.

【詳解】(1)解：證明：???△B4C=4/X4E,

???Z.BAC+Z.CAD=Z.DAE+Z.CAD,

即，84。=Z-CAE,

?:在△BAD^\LC4E中，

(AB=AC

l/LBAD=Z.CAE，

(AC=AE

??.△BAD三△CAE(SAS)；

(2)如圖，作于M,作4VleE于N.

由ABAD三4CAE,

BD=CE,S&BAD=S&CAE,

v--BD-AM=--CE-AN

22f

AM=AN,

.?.點(diǎn)4在乙BFE平分線上,

???FA平4》乙BFE,BPzBF/1=LAFE.

【點(diǎn)睛】本題考杳全等二角形的判定和性質(zhì)、二角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等二角形的判定和性

質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，求而想到求面積，屬于中考常考題型.

【變式4-2］（2023春?浙江溫州?八年級?？计谀┢叫兴倪呅瘟CD中，E、尸分別是BC、4B上的一點(diǎn)，4E與

CF相交于P,^.AE=CF.求證：Z.DPA=Z.DPC.

【答案】見解析

【分析】過。作DQJLAE,DGLCF,由雇人.=＞酎孔。=5皿皆可得：美絲=醫(yī)生，進(jìn)而得出DQ=DG,

得出PD為N4PC的角平分線，即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：過。作OQ_L4E,OGJLC凡連接0/和OE,如圖所示：

BEC

則SAADE=/eABCD=^ADFC?

.AE?DQDG?FC

??----=',

22

又??NE=FC,

：?DQ=DG,

.??PO為N4PC的角平:分線,

：.LDPA=PC（角平分線逆定理）.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形和角平分線的性質(zhì)，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用角平

分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.

【變式4-3］（2023春?廣東廣州?八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形4BCD中,BC=CD,LBCD=120°,E,F

分別為48,4。上的點(diǎn),Z.ECF=LA=60°.

（1）求證：EF=BE+DF.

（2）求證：點(diǎn)C在乙44。的平分線上.

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）延長力。至點(diǎn)G,使得。G=BE,連接CG,利用四邊形內(nèi)角和，易證ZkBCE三ADCGISAS）,得

到CG=CE,乙BCE=ZJ）CG,再證明△CE9三△CGF（SAS）,得到EF=FG,即可證明結(jié)論；

（2）過點(diǎn)。作CN1AB.CM1AG,易證△CNE=△CMG（AAS）,得到GV=CM,根據(jù)角平分線的判定定理,

即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖，延長AD至點(diǎn)G,使得OG=BE,連接CG,

A

???四邊形A8C0的內(nèi)角和為360。，R^BCD=120°,乙4=60。,

:.乙B+Z.ADC=180°,

vZ.ADC+Z.CDG=180°,

/B=Z.CDG,

在A8CE和ADCG中，

(DC=CD

Z/?=乙CDG,

(BE=DG

BCEDCG(SAS),

???CG=CE,乙BCE=Z.DCG,

二乙BCD=乙BCE4-乙ECD=乙DCG+(ECD=Z.ECG=120%

vZ.ECF=60°,

LFCG=乙ECG-LECF=60°,

Z.ECF=dCG,

在ACEF和ACG"中，

(CE=CG

UECF=LFCG,

(CF=CF

.?.△CEF=△CG/(SAS),

:.EF=FG=DG+DE=BE+DE；

(2)證明：如圖，過點(diǎn)C作。NJL48交718于點(diǎn)N,CM_L4G交HG于點(diǎn)M,

A

BCE=△DCG9

???iCEN=乙G,CE=CG

在ZiCNE和ZkCMG中，

(Z.CNE=乙CMG=90°

乙CEN=Z.G,

(CE=CG

???△CNZ?CMG(AAS),

CN=CM,

.?.點(diǎn)C在NR4O的平分線上.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，揖平分線的判定定理，作輔助線構(gòu)造全等三

角形是解題關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)3角平分線的作法】

①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫瓠，交OA于D,交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于」DE的長為半徑畫弧，兩弧在NAOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

2

③畫射線OC.即射線OC即為所求.

【題型5尺規(guī)作角平分線】

【例5】(2023春?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在△力風(fēng):中，8。是高，8E是角平分線,LEBD=10°,

乙C=60°.

(1)尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡)：作△BED的角平分線EF；

(2)在滿足⑴的條件下，求證：EF||AB.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)要求作出圖形：

(2)證明=Z2=40。，可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖，線段EF即為所求;

(2)證明：???BDLAC,

???乙BDC=Z.BDA=90°,

???ZC=60°,

??.zC5D=90°-60°=30°,

???Z.EBD=10°,

:.Z.EBC=2EBD+乙CBD=40°,

???BE平分448C,

:.Z.ABE=乙CBE=40°,

AZ.ABC=2Z.ABE=80°,

Z.A=180。一4C-乙ABC=40°,

??乙BEC=^A+LABE=80°,￡7平4)?4BED,

：.Z.FEC=^Z-BEC=40°,

:.乙FEC=z.A=40°,

:.EFWAB.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，平行線的判定，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

【變式5-1]（2023春?陜西西安?八年級西北大學(xué)附中?？计谀荆┤鐖D，AABC,ZC=9UU,請任AC上找一

點(diǎn)D,使點(diǎn)。到48的距離等于CD.（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）

【答案】見解析

【分析】如圖：用尺規(guī)作圖作乙B的角平分線與4c的交點(diǎn)。即為所求.

【詳解】解：如圖：點(diǎn)。即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、角平分線的尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊

距離相等是解答本題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2023春?山東青島?八年級統(tǒng)考期末）（I）作圖（請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留

作圖痕跡）

已知：Rt△AOB,=90°.

求作：射線。C,使射線。。與力8交于點(diǎn)C,且乙4。。=乙8。。.

（2）說明

請根據(jù)你的作圖，說明4Aoe=4。。的道理.

（3）應(yīng)用

若在Rta^OB中，0A=12,BC=4,則△力0C的面積為.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）24

【分析】（1）根據(jù)角平分線的基本作法作圖；

（2）連接。/和EF,由作圖得OD=OE,DF=EF,利用SSS證明△。0尸三△OEF,進(jìn)而可得結(jié)論；

（3）過C作。HJL。?1交0A于7/,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得8。=CH=4,再由三角形的面積公式求解.

【詳解】解：（1）如圖，以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交。瓦。4于點(diǎn)0,E,再分別以點(diǎn)0,E為圓心,

大于小長為半徑畫弧交于點(diǎn)心連接。入交48于C,

0C即為所求：

(2)連接DF和EF,

由作圖得：0D=OE,DF=EF,

'：0F=OF

/.AODF=△OFF(SSS),

：.LD0F=乙EOF

即：Z.A0C=Z.BOCt

(3)過C作CH10/1交OA于H,

B

?；=乙BUC,Z-B=90v,

：,BC=CH=4,

???ZiZlOC的面積為：1xO/!xCW=1xl2x4=24,

故答案為:24.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作角平分線，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](2023春?北京?八年級?？计谥?在△4BC中，AB>BC,直線/垂直平分4C；作乙1BC的平分

線交直線/于點(diǎn)D,連接4D,CD；

(I)?那作圖補(bǔ)全圖形;

(2)判斷乙BAD和4BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(I)見解析

(2)LBAD+乙BCD=180°；證明見解析

【分析】(1)根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；

(2)DMJ.AB交AB于點(diǎn)M；作ON_L8C交8c的延長線于點(diǎn)N：構(gòu)造△DM4三Rt△ONC(HL)口J■得40=

乙DCN；進(jìn)而得出結(jié)論；

【詳解】(1)解：作圖如下：

A

(2)解：LBAD+/.BCD=180°；理由如下：

如圖，作OMI48交AB于點(diǎn)M；作ONI8C交BC的延長線于點(diǎn)N；

VZ垂直平分AC

：.DA=DC

分4

：.DM=DN

^.Rt△DMA和RCAONC中

(DA=DC

tDM=DN

:?Rt△DMA三Rt△ONC(HL)

：,LBAD=乙DCN

■:乙DCN+乙BCD=180°

：.^BAD+ABCD=180°

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線、中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)；運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

【題型6角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】

【例6】(2023春?四川達(dá)州?八年級?？计谥?如圖,△ABC中，點(diǎn)。在邊8C延長線上,乙4cB=100。,乙ABC

的平分線交40于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作垂足為"且乙CEH=50。.

A

E

BCHD

(1)求乙4CE的度數(shù)；

⑵求證：4E平分44F；

(3)若AC+CD=14,AB=10,且=21,求△48E的面積..

【答案】(1)40。

(2)見解析

⑶15

【分析】(I)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和垂直的定義可得〃CD=80。、ACHE=90°,進(jìn)而得到NECH=40。,然后

根據(jù)/ACE=AACD-ZECH即可解答；

(2)如圖：過七點(diǎn)分別作EMJ.8F于M,ENJ.4C與M根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的定義可

得EM=EH、CE平分乙4CD、EN=EH,最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解答；

(3)根據(jù)S-C。=S“CE+SKED結(jié)合已知條件可得EM=3,最后運(yùn)用三角形的面積公式即可解答.

【詳解】(1)解:*：/.ACB=100°,

：.AACD=180°-100°=80°,

■:EH1BD,

?"CH￡=90。，

??NCEH=50°,

:?乙ECH=90°-50°=40°,

/.LACE=Z.ACD-Z.ECH=80°-40°=40°.

(2)證明：如圖：過七點(diǎn)分別作EM_L8F于歷，EN[AC與N,

R〃

?.*BE平分乙48C,

:,EM=EH,

,：LACE=LECH=40°,

???CE平，)?4HCD,

:?EN=EH,

：.EM=EN,

??/E平分NG4幾

⑶解：??NC+CD=14,S^ACD=21,EM=EN=EH,

???S-8=SMCE+SXCED=.EN+?EH=+CO)?EM=21,

即2x14?EM=21,解得EM=3,

2

*：AB=10,

^ShABE=^AB-EM=15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)與判定定理、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相

關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2023春?黑龍江哈爾濱?八年級?？计谥?在△/WC中，點(diǎn)。、E分別在人8、AC邊上，連接OE、

CD,EF上CD于F,DE=CE.

(1)如圖1,求證：DF=CF；

(2)如圖2,若NAED=NABC,EG_L8C于G,連接BE交CD于"，求證：ZABE=ZCBE：

(3)如圖3,在(2)的條件下，若BC=6CG,?！?4,求”戶的長.

圖1圖2

A

【答案】(I)見解析；(2)證明見解析；(3)1

【分析】(1)證明/?14￡7汨會(huì)生4￡7:＞。(141),可得結(jié)論.

(2)證明4EMDM4EGC0US),推出EM=EG,再利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題即可.

(3)如圖3中，過點(diǎn)3作ON1CD于N,過點(diǎn)E作EMJL43于M,過點(diǎn)〃作〃Q1BC于Q,IIP1A3于P.利用

面積法證明DH:CH=2:3,求出CH,CF,可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖1中，???EF1CD,

???Z.EFD=乙EFC=90°,

在RtZJEFD和RMEFC中,

(ED=EC

IFF=EF

.??々△EFOmR%EFC(HL),

???DF=CF.

(2)證明：如圖2中，過點(diǎn)E作EW148于M.

???Z.EMD=乙EGC=90°,

???￡AED+乙DEC=180°,￡AED=Z.ABC,

Z.ABC+/.DEC=180°,

v/.ABC+乙BCE+乙DEC+乙BDE=360°,

乙BCE+乙BDE=180°,

???￡ADE+LBDE=180%

Z.ADE=心BCE,

在/EMD和dEGC中，

(Z.EMD=乙EGC=90°

Z.ADE=乙BCE,

(ED=EC

AEMD=AEGC(AAS^

:.EM=EG,

?：EMLAB,EG1BC,

?-.BE平分乙ABC,

???Z.ABE=Z.CBE.

(3)解：如圖3中，過點(diǎn)8作BN，CD于N,過點(diǎn)E作EM14B于M,過點(diǎn)H作，Q1BC于Q,HP148于P.

A

圖3

VAEMD=AEGC,

:.DM=GC,EM=EG,

在Rt△BEM^llRt△BEG中，

(BE=BE

lEM=EG'

???Rt△BEM=Rt^BEG(HL),

BM=BG,

VBC=6CG,

:.BD=BM-DM=BG-CG=BC-2CG=4CG,

???BH平分匕力8C,HPA.AB,HQ1BC,

:.HP=HQ,

BD

???SADBH:SACBH=Y'HP:，BC?HQ=4:6=2:3,

???SADBH：SACBH=^DH-BN-.^CH-BN,

???DH.CH=2:3,

vDH=4,

???CH=6,

CD=DH+CH=4+6=10,

CF=-CD=5,

2

HF=c//-CF=6-5=1.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，三角

形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式6-2](2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中)我們定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個(gè)

內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

圖1圖2

(1)如圖I,4E是ZiABC中41的遙望角.

①直接寫出ZE與的數(shù)量關(guān)系；

②連接八￡猜想N8/1E與NC4E的數(shù)曷關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖2,四邊形A3CO中，443。=乙4。6?=90。，點(diǎn)￡：在8。的延長線上，連C￡,若已知==

求證：43EC是△力8c中乙B4C的遙望角.

【答案】(1)①乙E?￡.CAE+LBAE=180°,理由見解析

(2)見解析

【分析】（1）①運(yùn)用角平分線的定義，以及三角形外角的性質(zhì)，推導(dǎo)得至?叱=LDCE=

/-ABE+乙E,即、可得=［乙/②過點(diǎn)E作EM1BA交8A延長線于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN1AC交AC于點(diǎn)N,

過點(diǎn)E作EH18。交8D延長線于點(diǎn)，，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定定理可證上M4E=N&4E,由NM4E+

Z.BAE=180°,可得/SE+Z.BAE=180°；

（2）過。作OM184交84于點(diǎn)M,過。作DN_L8C交BC延長線于點(diǎn)N,先證四邊形DMBN是矩形，再證△

AMDWACND,最后證得CE平分乙4CN,80平分乙ABC即可.

【詳解】（1）解：①〈BE平分乙48C,即N4BE="BC乙ABC,

/.ACD=/.ABC+Z.A=2/.ABE+Z.A.

???C￡平分〃CD,^^ACE=乙ECD=^￡.ACD,

：

./.DCE=Z-ABE+2-^A.

又,：乙DCE=/4BE+4E,

?"E=*.

②猜想：/-CAE+Z-BAE=180°,理由如下：

如圖2,過點(diǎn)E作EM_LB力交84延長線于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN_L4c交4c于點(diǎn)N,過點(diǎn)E作E4_L80交30延長

線于點(diǎn)H，

CD

圖2

：CE平分44C0,EN1AC,EH1BD,

:.EN=EH,

同理，EM=EH,

JEM=EN,

,：EMLAB,EN1AC,

，力E平分4MAC,即4M4E=4C4E,

*：LMAE-VLBAE=180°,

：,LCAE+LBAE=180°.

(2)證明：如圖3,過。作DMJ.BA交BA于點(diǎn)M,過。作DN18C交8c延長線于點(diǎn)N,

BCN

圖3

VPM1BA,DN1BC,LABC=90°,

：^DMB=90°,LONG=90。，/.ABC=90°,

.??四邊形。MBN是矩形，

工乙MDN=90°,

即/MDC+4CDN=90°,

*：LADC=90。，

：./.ADM+Z.MDC=90°,

?"ADM="ON,

〈

DM1BAtDN1BC,

：.LAMD=Z.DNC=90°,

在八月”0與^^可,中，

LAMD=ADNC

*.*Z.ADM=乙CDN,

AD=DC

：.LAMDCND(AAS),

：.DM=DN,

〈DM1BA,DN1BC,

???8O平分448C,

?LABD=乙DBC=^ABC=45°,即BO平分心48C,

工乙ECN=乙DBC+zE=45°+",

Vz/lDC=90°,AD=DC,

：,LACD=Z.CAD=45°,

：,LACE=45°+乙。CE,

,:DE=DC,

?"E=Z.DCE,

：.LACE=Z-ECN,

，CE平分乙4CN,

〈BO平分4ABC,

:.CBEC是A4BC中N8/1C的遙望角.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)及判定，熟練掌握角平分線判定定理及相關(guān)

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2023春?黑龍江哈爾濱?八年級統(tǒng)考期末)在A/WC中，乙ZMC=60%線段3F、CC分別平分-43C、

乙力CB交于點(diǎn)G.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,求NBGC的度數(shù);

(2)如圖2,求證：EG=FG；

(3)如圖3,過點(diǎn)C作CO_LEC交BF延長線于點(diǎn)。，連接4。，點(diǎn)N在84延長線上，連接NG交4C于點(diǎn)M,使

乙DAC=CNGD,若E&FC=1:2,CG=10,求線段MN的長.

【答案】(1)120°

(2)見解析

(3)5

【分析】(1)根據(jù)三:角形內(nèi)角和定理求山乙43。+乙1CB=120。，根據(jù)BF平分"4BC、CE平分乙4CB,得出

Z.GBC=^GBE=-Z-ABC,^GCB=^GCF=-Z,ACB,求出乙G8C+iGC8=60。，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出

22

^BGC+Z.GBC+Z.GCB=180°,即可求出結(jié)果；

(2)作G”平分28GC交8C于點(diǎn)”，證明三△BGH,得出EG=GH,證明△CGF^^CGH,得出FG=GH,

即可證明結(jié)論；

(3)作DPJ_BC交BC延長線于點(diǎn)P,作DQ148交B4延長線于點(diǎn)Q,作DR14C于點(diǎn)R,證明CD平分乙4CP,

根據(jù)〃扭J.7!。，DP1BC,得出〃K=〃〃，根據(jù)8"￥：分NA8C,DR1AC,DQ1AB,得出〃，=〃Q,證明

DR=DQ,證明△NEG三△CFG,得出NG=CG=10,證明△BEGz△MFG,得出BE=MF,；乍FL1NG于

點(diǎn)、L,/K1CG于點(diǎn)K,6勿_1河。于點(diǎn)皿，根據(jù)SAMGF=^MG-FL=；MF?GW,S^GF=/(