建筑力學課件：平面匯交力系與平面力偶系

平面匯交力系與平面力偶系建筑力學匯交力系§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法力系分類：力系平面力系空間力系——各力的作用線都在同一平面內的力系力系匯交力系力偶系平行力系一般力系（或任意力系）特殊力系匯交力系研究方法：幾何法，解析法。§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法匯交力系：各力的作用線都匯交于一點的力系。平面匯交力系平面匯交力系空間匯交力系一、合成的幾何法——力多邊形法則：1.兩個共點力的合成由力的平行四邊形法則作，也可用力的三角形法則來作。合力方向由正弦定理：合力大小由余弦定理：

FRFR§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法2.任意個匯交力的合成AA§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法表達式：2.任意個匯交力的合成AA§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法

把各分力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。加上一封閉邊（即合力矢），就得到一個多邊形，稱為力多邊形。力多邊形法則：AA§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法AA

合力矢與各個分力的合成次序無關。改變分力矢的作圖順序：本質：矢量求和符合交換律§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法匯交力系的合成結果：

匯交力系可以合成為一個合力，合力作用在力系的公共作用點，它等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊來表示。A注意：合力矢是從第一個分力的起點到最后一個分力的終點所作的矢量。§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法匯交力系的合成結果：

匯交力系可以合成為一個合力，合力作用在力系的公共作用點，它等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊來表示。A§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系：力多邊形為平面圖形空間匯交力系：力多邊形為三維圖二、匯交力系平衡的幾何條件：匯交力系平衡的充要條件是：合力為零意味著第一個分力的起點與最后一個分力的終點重合！即力多邊形自行封閉！力系中各力的矢量和等于零A§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法二、匯交力系平衡的幾何條件：

匯交力系平衡的充要條件是：

在幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：力多邊形自行封閉A§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法

已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC與BC相互垂直。求：在P的作用下桿AC、BC所受力的大小。①選鉸鏈C為研究對象②取分離體畫受力圖解：FCB與FCA和外力

P構成一平面匯交力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉。ACPBPFCA由作用力和反作用力的關系，AC、BC桿受力等于。例題1FCBPFCBFCA

已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC與BC相互垂直。求：在P的作用下桿AC、BC所受力的大小。思考：研究對象還可以選擇誰？ACPBFBCFAC整體！PFBCFAC在幾何法求解時，若受力分析時約束反力的指向與實際指向相反，則在作自行封閉力多邊形時，應根據分力首尾相接的原則確定并修改為實際指向。例題1§2–1匯交力系合成與平衡的幾何法幾何法解平衡問題步驟：①選研究對象；②作出受力圖；③選擇適當?shù)谋壤咦鏖]合力多邊形；④求出未知量。幾何法解題不足：①精度不夠，誤差大②作圖要求精度高；③不能表達各個量之間的函數(shù)關系。

下面我們研究匯交力系合成與平衡的另一種方法：

解析法

一、力在軸上和平面上的投影結論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦（方向余弦）

?！?-2力在坐標軸上的投影FxxABαab1、力在軸上的投影——方向角“+”：ab的方向與坐標軸正向相同“-”：ab的方向與坐標軸正向相反力在坐標軸上的投影是代數(shù)量，應特別注意它的符號?！?-2力在坐標軸上的投影思考：力在坐標軸上的投影在什么情況下為零？當力垂直于坐標軸時！投影的正負號取決于方向余弦的正負。投影的計算也可采用便于計算的銳角：結論：力在平面上的投影是矢量，其大小等于力的模乘以力與該平面間夾角的余弦?！?-2力在坐標軸上的投影ABab2、力在平面上的投影二、力在直角坐標軸上的投影§2-2力在坐標軸上的投影FxFyxyOABαβaa’bb’1、力在平面直角坐標軸上的投影xyFxFyOABαβaa’bb’§2-2力在坐標軸上的投影三、投影與分力的比較1、聯(lián)系當力在坐標軸上的投影為正時，其相應分力的指向沿坐標軸正向；當力在坐標軸上的投影為負時，其相應分力的指向則沿坐標軸負向。xyz§2-2力在坐標軸上的投影三、投影與分力的比較1、聯(lián)系將力F按坐標軸x、y、z方向分解：§2-2力在坐標軸上的投影2、區(qū)別xyz分力——是矢量，有大小、方向、作用線投影——是代數(shù)量，無所謂方向、作用線

力在軸上的投影絕對值與相應分力的大小一定相等?xyO

力在軸上的投影絕對值與相應分力的大小一定相等?§2-2力在坐標軸上的投影錯誤！

合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。一、合力投影定理：§2-3匯交力系合成與平衡的解析法A(a)xABCD(b)合力FR

在x軸上投影：xABCD

推廣到任意多個力F1、F2、

Fn

組成的匯交力系，可得：abcd各力在x軸上投影：§2-3匯交力系合成與平衡的解析法根據合力投影定理得合力的大小：方向：作用點：為該力系的匯交點§2-3匯交力系合成與平衡的解析法二、合成的解析法合力的大?。浩矫鎱R交力系：§2-3匯交力系合成與平衡的解析法方向：F1F2FRF3xABCy

FRxFRy作用點：為該力系的匯交點§2-3匯交力系合成與平衡的解析法確定平面匯交力系合力方向的另一種方法：F1F2FRF3xABCy

FRxFRy

—合力與x軸所夾的銳角

xy

角+

的正負號已知：F1=200N,F2=300N,F3=100N,F4=250N,求圖示匯交力系合力的大小和方向。解：xyOF1F2F3F445o60o45o30o例題解：合力大小：xyOF1F2F3F445o60o45o30oFR

方向：已知：F1=200N,F2=300N,F3=100N,F4=250N,求圖示匯交力系合力的大小和方向。例題

力系中所有各力在各個坐標軸中每一軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。——匯交力系的平衡方程三、匯交力系平衡的解析條件：

從前述可知：匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。§2-3匯交力系合成與平衡的解析法（可求解3個未知量）平面匯交力系的平衡方程：§2-3匯交力系合成與平衡的解析法解析法求解匯交力系平衡問題的一般步驟:1、選取研究對象；2、作研究對象受力圖；3、建立坐標系，建立平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0

；4、求解未知量。（可求解2個未知量）[例1]

已知P=2kN，

求CD桿受力和A處約束反力。由CB=BE=0.4m，④解平衡方程解：①取AB桿為研究對象②畫出受力圖③列平衡方程ABCExyABCExy①②由①式：代入②式：由CB=BE=0.4m，④解平衡方程另解：①取整體為研究對象②畫出受力圖③列平衡方程Exy[例2]

已知如圖P=10N、Q=30N，求平衡時=？地面的反力FND=？解：取球為研究對象，受力如圖：由②得由①得①②列平衡方程：Axy解題技巧及說明：1、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一個未知量。2、解析法解題時，未知約束反力的指向一般可以任意假設（柔體和光滑面接觸約束除外），如果求出負值，說明力的實際指向與假設相反。xy30°30°？？x30°30°？？y§2-3匯交力系合成與平衡的解析法靜力學基礎

平面力偶力系移動效應--取決于力的大小、方向轉動效應--取決于力矩的大小、方向力對物體可以產生：§3-1平面力對點之矩平面力對點之矩:

在同一平面內,力F對任意一點O的力矩定義為其中：點O——矩心

d——力臂OdAB§3-1平面力對點之矩

平面力對點的矩是代數(shù)量，正負號通常規(guī)定為:§3-1平面力對點之矩OdAB力矩的單位：N

m或kN

m。§3-1平面力對點之矩說明：1)

F↑,d↑轉動效應越顯著2)當F=0（無力作用）或d=0（力通過矩心）時，3)MO(F)=2⊿AOB=Fd,2倍⊿形面積4)力沿作用線移動時，對某點的矩不變5)力矩與矩心O位置有關6)矩心O位置可任意選取OdABO求力F對A點之矩：求力F對B點之矩：?合力矩定理合力對平面內任一點之矩等于其分力對該點力矩的代數(shù)和。

如求力F對坐標原點的矩：求力F對A點之矩：求力F對B點之矩：一、力偶和力偶矩1、力偶——大小相等,方向相反,不共線的兩個力所組成的力系。作用效果：引起物體的轉動AB記為：§3-2平面力偶系的合成與平衡力偶作用實例：§3-2平面力偶系的合成與平衡力偶作用實例：§3-2平面力偶系的合成與平衡2、力偶臂3、力偶矩

力偶中任一個力的大小與力偶臂d

的乘積，加上適當?shù)恼撎枴Ａε季卣撘?guī)定：力偶中兩個力作用線之間的垂直距離。ABd§3-2平面力偶系的合成與平衡單位為N?m

或kN?m。力偶性質一：

力偶中的二個力，既不平衡，也不可能合成為一個力。力和力偶是靜力學的兩個基本要素力偶性質二：

力偶只能用力偶來代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能與力偶平衡。ABd§3-2平面力偶系的合成與平衡力偶性質三：

力偶對其所在平面內任一點的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關，因此力偶對剛體的轉動效應用力偶矩度量。力偶對任意點O的矩：§3-2平面力偶系的合成與平衡=MF

Fd說明：①

M是代數(shù)量，有+、－；②F、

d

都不獨立，只有力偶矩M是獨立量；③M的值

M=±2⊿ABC

。ABC§3-2平面力偶系的合成與平衡四、同平面內力偶的等效定理平面力偶的等效定理:Fd因此，以后可用力偶的轉向箭頭來表示力偶。

作用在同一平面內的兩個力偶，只要它的力偶矩的大小相等，轉向相同，則該兩個力偶彼此等效。=MM=F

d

=§3-2平面力偶系的合成與平衡兩個推論：①力偶可以在其作用面內任意移轉，而不影響它對剛體的作用效應。FF′F′F§3-2平面力偶系的合成與平衡兩個推論：①力偶可以在其作用面內任意移轉，而不影響它對剛體的作用效應?！?-2平面力偶系的合成與平衡兩個推論：②

只要保持力偶矩大小和轉向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作用效應。FF′F/2F′/2§3-2平面力偶系的合成與平衡兩個推論：②

只要保持力偶矩大小和轉向不變，可以任意