2024-2025學(xué)年江蘇省江陰市高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省江陰市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知平面上三點(diǎn)，則的值為（）A. B.2 C. D.4【正確答案】C【分析】應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】由題設(shè)，則.故選：C2.已知，則的虛部是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，由共軛復(fù)數(shù)定義得到，由虛部定義得到結(jié)果.【詳解】，，的虛部為.故選：D.3.下列說法中，正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則與不是共線向量【正確答案】C【分析】根據(jù)向量的模與向量的定義可判斷AB的正誤，根據(jù)共線向量的定義可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，向量的模為非負(fù)數(shù)，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故A錯(cuò)誤.對于B，兩個(gè)向量的模相等，但方向可以不同，故B錯(cuò)誤.對于C，若，則必定共線，故，故C成立.對于D，當(dāng)時(shí)，它們可以模長不相等，但可以同向或反向，故與可以為共線向量，故D錯(cuò)誤.故選：4.在中，若，則的形狀為（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等邊三角形【正確答案】C【分析】應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及二倍角正弦公式有，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)得或，即可得答案.【詳解】由已知及正弦邊角關(guān)系有，則，三角形中，則或，所以三角形為等腰三角形或直角三角形.故選：C5.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°【正確答案】A【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，從而可求出B=30°.【詳解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B為三角形內(nèi)角，所以B=30°或B=150°，又因?yàn)閍>b，所以A>B，即B=30°.故選：A.6.中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】易知是直角三角形，利用等面積法可得內(nèi)切圓半徑，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，根據(jù)為直徑，可知，，整理，進(jìn)而根據(jù)的運(yùn)動(dòng)情況來求解.【詳解】由題可知，，所以是直角三角形，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因?yàn)槭莾?nèi)切圓的一條直徑，所以，，則，，所以，因?yàn)镸為邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以；當(dāng)與重合時(shí)，，所以的取值范圍是，故選：C7.已知半徑為2的⊙O內(nèi)有一條長度等于半徑的弦AB，若⊙O內(nèi)部（不含圓上）有一動(dòng)點(diǎn)P，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律有，應(yīng)用坐標(biāo)法求向量數(shù)量積，結(jié)合即可得.【詳解】由，如下圖示，建立平面直角坐標(biāo)系，為邊長為2的等邊三角形，關(guān)于軸對稱，則，設(shè)，且，則，所以，而，故，所以的取值范圍為.故選：C8.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知為圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對角線，，，則面積的最大值為（）.A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由圓的性質(zhì)及正弦邊角關(guān)系得，從而設(shè)，結(jié)合題設(shè)得到且，最后應(yīng)用三角形面積公式及基本不等式求面積的最大值.【詳解】由題意，則，所以，即，設(shè)，又，由題意，所以，故，又，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故面積的最大值為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分或4分.9.已知向量，，則（）A.B.若，則C.與的夾角余弦值為D.向量在向量上的投影向量為【正確答案】BCD【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得、判斷A、B；應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角余弦值判斷C；根據(jù)投影向量的定義及坐標(biāo)運(yùn)算求投影向量判斷D.【詳解】A：由，顯然，即，A錯(cuò)；B：由，則，對；C：由，則，對；D：向量在向量上的投影向量為，對.故選：BCD10.在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則B.若復(fù)數(shù)z滿足，則C.已知其中是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)D.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則或【正確答案】ACD【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，再應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算判斷A；特殊值判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)有判斷C；若實(shí)數(shù)解為，結(jié)合已知有求參數(shù)判斷D.【詳解】A：，則，對；B：當(dāng)時(shí)，，而，錯(cuò)；C：，則，對；D：若實(shí)數(shù)解為，則，故，則，可得或，對.故選：ACD11.在中，角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c.下列命題中正確的是（）A.若，則一定是鈍角三角形B.若，則一定是直角三角形C.若，則一定是銳角三角形D.若，，則一定是等邊三角形【正確答案】BD【分析】AB均利用等關(guān)系以及正弦定理化簡即可；C先用降冪公式，再用化簡；D正弦定理化簡，再解方程組.【詳解】A.在中，，因，則得，故A錯(cuò)誤；B由正弦定理得，，則，即，因，則得，故B正確；C.因，由正弦定理得，，即，則，則，因，則得，故C錯(cuò)誤；D，由正弦定理得，因，則，即，得，故D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)______________.【正確答案】2分析】利用平面向量的共線定理求解即可.【詳解】由得,因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線,故.故2本題主要考查了共線向量的性質(zhì)運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.13.已知復(fù)數(shù)滿足方程，則的最小值為____________．【正確答案】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知的軌跡為圓；再根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，及的幾何意義即可求得點(diǎn)到圓上距離的最小值，即為的最小值.【詳解】復(fù)數(shù)滿足方程，設(shè)（），則，在復(fù)平面內(nèi)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；，意義為圓上的點(diǎn)到的距離，由點(diǎn)與圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為，故答案為.本題考查了復(fù)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及距離最值的求法，屬于中檔題.14.費(fèi)馬點(diǎn)是在三角形中到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，具體位置取決于三角形的形狀，如果三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于，費(fèi)馬點(diǎn)是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點(diǎn)；如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于，費(fèi)馬點(diǎn)就是該內(nèi)角所在的頂點(diǎn).已知中，角所對的邊分別為，為費(fèi)馬點(diǎn).若，則的值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)已知求，進(jìn)而有且費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，，再應(yīng)用三角形面積公式列方程得，再由向量數(shù)量積的定義求目標(biāo)式的值.【詳解】由，顯然最大角為，且，所以為小于的鈍角，且，所以費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，且，所以，則，所以，由.故四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，.（1）若向量，且，求的坐標(biāo);（2）若向量，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）利用向量平行和模長坐標(biāo)表示，列方程求解即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算律求解即可.【小問1詳解】由，，設(shè)，，又因?yàn)?，所以，解得，所以?【小問2詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，所以，解?16.已知z為復(fù)數(shù)，和均為實(shí)數(shù)，其中是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)z和|z|；（2）若在第四象限，求m的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，依據(jù)題設(shè)，建立方程求出，即可求得z，再求其模；（2）先求出，再根據(jù)題意建立不等式組求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則，由為實(shí)數(shù)，得，則，由為實(shí)數(shù)，得，則，∴，則；【小問2詳解】，由在第四象限，得，解得或，故m的取值范圍為．17.在中，.（1）若，的面積為，求；（2）若，①求的值：②求面積的最大值；③求周長的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）①；②；③.【分析】（1）應(yīng)用余弦邊角關(guān)系可得，應(yīng)用余弦定理有，進(jìn)而有，再由面積公式得，結(jié)合已知即可求邊長；（2）①應(yīng)用正弦定理有，結(jié)合合比性質(zhì)即可得；②③應(yīng)用基本不等式求范圍，即可得面積最值和周長范圍.【小問1詳解】由題設(shè)及余弦邊角關(guān)系有，所以，則，且，在三角形中有，又，可得，結(jié)合，則；【小問2詳解】①由（1）有，則，所以；②由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即面積最大值為；③由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以周長.18.在三角形中，，，，是線段上一點(diǎn)，且，為線段上一點(diǎn)．（1）若，求x－y的值；（2）求的取值范圍；（3）若為線段的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)M，求·．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）將化成和后，與已知條件比較得，由此即可求出結(jié)果；（2）設(shè)，（），將用表示，根據(jù)數(shù)量積公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可求出結(jié)果；（3）先根據(jù)向量共線和三點(diǎn)共線可知存在實(shí)數(shù)，使得，存在使得，化簡整理，根據(jù)系數(shù)相等可得，再與進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)果．【小問1詳解】解：（1）∵，所以∵，又，∴，∴；【小問2詳解】解：設(shè)，（）因?yàn)樵谌切沃校?，，，∴，∴；又，所以，故的取值范圍為【小?詳解】解：∵三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)，使得，∵為的中點(diǎn)，∴，又三點(diǎn)共線，∴存在使得，∴，∴，解得，.19.如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地，圖中.設(shè)計(jì)時(shí)要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道，且兩邊是兩個(gè)關(guān)于走道對稱的三角形（和）.現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則，要求點(diǎn)與點(diǎn)均不重合，落在邊上且不與端點(diǎn)重合，設(shè).（1）若，求此時(shí)公共綠地的面積；（2）為方便小區(qū)居民的行走，設(shè)計(jì)時(shí)要求的長度最短，求此時(shí)綠地公共走道的長度.【正確答案】(1)；(2).【詳解】分析：（1）由題意可得，，則；（2）由題意可得，由正弦定理有，記，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，取最大，最短，則此時(shí).詳解：（1）由圖