湖南省2025屆高考普通高中名校聯(lián)考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省2025屆高考普通高中名校聯(lián)考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合M=x∣x2?4x?5≤0,N=A.?4,5 B.?1,3 C.?4,2 D.?1,22.若復(fù)數(shù)z=1+i3?i，則1z的虛部為A.?2i B.2i C.2 D.?23.甲同學(xué)每次投籃命中的概率為p，在投籃6次的實(shí)驗中，命中次數(shù)X的均值為2.4，則X的方差為(

)A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.964.若函數(shù)fx=emx?m在區(qū)間2,+∞上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)A.?2,0 B.?∞,?2 C.?∞,0 D.2,+∞5.已知橢圓M:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在M上，Q為A.33 B.13 C.16.已知正四面體的高等于球O的直徑，則正四面體的體積與球O的體積之比為(

)A.334π B.322π7.在△ABC中，sin(A?C)+sin?C=sin?B，且BC邊上的高為A.△ABC的面積有最大值，且最大值為32

B.△ABC的面積有最大值，且最大值為34

C.△ABC的面積有最小值，且最小值為38.已知函數(shù)fx的定義域為R，函數(shù)Fx=f1+x?1+xA.函數(shù)fx的一個對稱中心為2,1 B.f0=?1

C.函數(shù)fx為周期函數(shù)，且一個周期為二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設(shè)公比為q的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若數(shù)列an滿足a1=?1，且?n∈NA.a2>0 B.0<q<1 C.an+110.將函數(shù)f(x)=2sinx+π6圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)A.fx+π3為偶函數(shù)

B.g(x)的最小正周期為4π

C.f(x)與g(x)在π3,2π3上均單調(diào)遞減

D.11.若函數(shù)f(x)=x3+axA.f(x)可能只有1個極值點(diǎn)

B.當(dāng)f(x)有極值點(diǎn)時，a2>3b

C.存在a，使得點(diǎn)(0,f(0))為曲線y=f(x)的對稱中心

D.當(dāng)不等式f(x)<0的解集為(?∞,1)∪(1,2)時，f(x)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知{an+3}是等比數(shù)列，a1=?2，a2=?1，則數(shù)列{13.甲、乙玩一個游戲，游戲規(guī)則如下：一個盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝．甲獲得3分的概率為

．14.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，若在該正方體的棱上恰有4個點(diǎn)M，滿足四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：男學(xué)生女學(xué)生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100(1)依據(jù)α=0.1的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生的性別和是否喜歡運(yùn)動有關(guān)聯(lián)？(2)已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)X～N(170,100)，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個數(shù)都增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個數(shù)在[170,200]內(nèi)的人數(shù)(結(jié)果精確到整數(shù))．附：χ2=n(ad?bcα0.10.050.01x2.7063.8416.635若X～N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，16.(本小題15分如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠BCD=∠BDC=π6，P為棱AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上，PQ⊥BC，且(1)證明：AB⊥平面BCD；(2)若AB=BD，求平面CPQ與平面ABD的夾角的余弦值．17.(本小題15分已知函數(shù)f(x)=e2x?(a+b)x+2，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))(1)比較a和b的大??；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)若f(x)有最小值，且最小值為g(a)，求g(a)的最大值．18.(本小題17分)已知雙曲線Γ：x2?y24=1與直線l：y=x+1交于A、B兩點(diǎn)(A在B左側(cè))，過點(diǎn)A的兩條關(guān)于l對稱的直線l1、l2分別交雙曲線Γ于C、(1)設(shè)直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k(2)若直線CD與雙曲線Γ在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)P，求△ABP的面積．19.(本小題17分若數(shù)列{an}滿足an+12(1)若數(shù)列m，m，2為“穩(wěn)定數(shù)列”，求m的取值范圍；(2)若數(shù)列{bn}的前n項和S(3)若無窮數(shù)列{cn}為“穩(wěn)定數(shù)列”，且{cn}的前n項和為Tn參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.C

6.A

7.D

8.C

9.BC

10.ACD

11.BCD

12.2n13.1814.2,15.解：（1）零假設(shè)為H0：學(xué)生的性別和是否喜歡運(yùn)動無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到χ?2=100×(35×20?35×10)270×30×45×55=700297≈2.357<2.706,

根據(jù)小概率值α=0.1的χ?2???????獨(dú)立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷H0不成立，

因此可以認(rèn)為H0成立，即學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩無關(guān).

（2）設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后，該校學(xué)生每分鐘的跳繩個數(shù)為Y，

則Y~N(180,100),μ=180,σ=10；

由題意得P(170≤Y<180)=P(180-σ≤Y<μ)=P(μ?σ≤Y≤μ+σ)2,

P(180≤Y≤200)=P(μ≤Y≤μ+2σ)=P(μ?2σ?Y?μ+2σ)2,

則P(170≤Y≤200)=P(μ?σ?Y?μ+σ)+P(μ?2σ?Y?μ+2σ)16.(1)如圖，取棱CD靠近D的三等分點(diǎn)R，連結(jié)AR,BR，則Q是CR的中點(diǎn)，因為P為棱AC的中點(diǎn)，所以PQ是?ACR的中位線，所以PQ//AR，因為PQ⊥BC，所以BC⊥AR，設(shè)BC=3a所以BD=3a，作BH⊥CD則CD=2BCcos∠BCD=3a，因為DQ=2QC，所以在△BCR中，由余弦定理得BR=∴BR又∵AR∩BR=R,AR,BR?面ABR，∴BC⊥平面ABR，因為AB?面ABR，所以BC⊥AB．又由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴AB⊥平面BCD得證．(2)由(1)知，AB⊥BC,AB⊥BR.以B為原點(diǎn)，BC的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B?xyz．令A(yù)B=BD=設(shè)平面CPQ的法向量為n1則n1?AC=0,n1?連接BQ，此時BD=3，QD=2，由余弦定理得所以BQ2+B因為AB⊥平面BCD，所以BQ⊥AB，因為AB,BD?面ABD，AB∩BD=B，所以BQ⊥面ABD，故平面ABD的一個法向量為BQ=設(shè)平面CPQ和平面ABD的夾角為θ，則cosθ=∴平面CPQ和平面ABD夾角的余弦值為15

17.解：(1)由題意得f′(x)=2e2x?(a+b)，

則f′(0)=2?(a+b)=2?2a，得a=b；

(2)由題意得f(x)的定義域為R，f′(x)=2e2x?2a，

當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，則f(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時，令f′(x)>0，得x>12lna，令f′(x)<0，得x<12lna，

則f(x)在(?∞,12lna)上單調(diào)遞減，在(12lna,+∞)上單調(diào)遞增；

(3)由(2)可知當(dāng)a≤0時，f(x)沒有最小值，

則a>0，g(a)=f(x)min=f(118.解：(1)設(shè)Cx0,y0關(guān)于直線l：y=x+1對稱的點(diǎn)為C′x1,y1，

則y0?y1x0?x1=?1y0+y12=x0+x12+1，可得x1=y0?1y1=x0+1，即C′y0?1,x0+1．

聯(lián)立y=x+1x2?y24=1,

可得3x2?2x?5=0，解得x=?1或x=53，

所以A?1,0，

所以k1k2=kAC·kAD=kAC·kAC′

=y0x0+1·x0+1y0=1，

(2)由(1)得B53,83，

由x2?y24=1，可得y=2x2?1y?0，

故y′=2x2?112′=2×12x2?1?12·2x=2xx2?1，

故在點(diǎn)B處的切線斜率為y′|x=53=2×53519.解：(1)由題意得m2+2m≤m+2，得?2≤m≤1，

因為an>0，所以m>0，所以m的取值范圍為(0,1]；

(2)數(shù)列{bn}不是“穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：

當(dāng)n=1時，b1=