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2025屆內(nèi)蒙古錦山蒙古族中學(xué)高三適應(yīng)性月考(七)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.2.第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行,為了解奧運(yùn)會(huì)會(huì)旗中五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積之和的比值P,某學(xué)生做如圖所示的模擬實(shí)驗(yàn):通過計(jì)算機(jī)模擬在長為10,寬為6的長方形奧運(yùn)會(huì)旗內(nèi)隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn),經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為n個(gè),已知圓環(huán)半徑為1,則比值P的近似值為()A. B. C. D.3.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.4.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究,第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn),使得值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個(gè)公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.5.如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C. D.6.已知直線:與橢圓交于、兩點(diǎn),與圓:交于、兩點(diǎn).若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④8.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是A. B.C. D.9.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.10.已知集合,,則的真子集個(gè)數(shù)為()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)11.已知,則下列關(guān)系正確的是()A. B. C. D.12.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.定義在R上的函數(shù)滿足:①對(duì)任意的,都有;②當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的解析式可以是______________.14.“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現(xiàn)有一善織布的女子,從第2天開始,每天比前一天多織相同數(shù)量的布,第一天織了5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì)算)共織布390尺.”則每天增加的數(shù)量為____尺,設(shè)該女子一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為,則______.15.已知,則_____.16.若函數(shù)為偶函數(shù),則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大小;(2)求點(diǎn)到平面的距離.18.(12分)如圖,湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)向小島建三段棧道,,,湖面上的點(diǎn)在線段上,且,均與圓相切,切點(diǎn)分別為,,其中棧道,,和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實(shí)線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時(shí),棧道總長度最短.19.(12分)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,為過焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值及該圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的切線,切點(diǎn)為,證明:.20.(12分)已知矩陣,且二階矩陣M滿足AMB,求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量.21.(12分)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí),.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,三棱臺(tái)中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.2、B【解析】
根據(jù)比例關(guān)系求得會(huì)旗中五環(huán)所占面積,再計(jì)算比值.【詳解】設(shè)會(huì)旗中五環(huán)所占面積為,由于,所以,故可得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)相等的條件,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時(shí),滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.5、D【解析】
由半圓面積之比,可求出兩個(gè)直角邊的長度之比,從而可知,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【詳解】解:由題意知,以為直徑的半圓面積,以為直徑的半圓面積,則,即.由,得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.6、A【解析】
由題意可知直線過定點(diǎn)即為圓心,由此得到坐標(biāo)的關(guān)系,再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系,由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),且線過定點(diǎn)即為的圓心,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用,著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用,難度一般.通過運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的,大大簡化運(yùn)算.7、A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤;函數(shù)定義域?yàn)椋钪迭c(diǎn)即為極值點(diǎn),由知③錯(cuò)誤;令,在和兩種情況下知均無零點(diǎn),知④正確.【詳解】由題意得:定義域?yàn)椋?,為奇函?shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯(cuò)誤;,,不是最值,③錯(cuò)誤;令,當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無交點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無交點(diǎn);綜上所述:與無交點(diǎn),④正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解;本題綜合性較強(qiáng),對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.8、B【解析】
依照偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,a﹣1=﹣2a,即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x);奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù).9、B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.10、C【解析】
求出的元素,再確定其真子集個(gè)數(shù).【詳解】由,解得或,∴中有兩個(gè)元素,因此它的真子集有3個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題,解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù),解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí),本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集.11、A【解析】
首先判斷和1的大小關(guān)系,再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,綜上可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(或,答案不唯一)【解析】
由可得是奇函數(shù),再由時(shí),可得到滿足條件的奇函數(shù)非常多,屬于開放性試題.【詳解】在中,令,得;令,則,故是奇函數(shù),由時(shí),,知或等,答案不唯一.故答案為:(或,答案不唯一).【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì),涉及到由表達(dá)式確定函數(shù)奇偶性,是一道開放性的題,難度不大.14、52【解析】
設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,
則,
解得,即每天增加的數(shù)量為,
,故答案為,52.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式,意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力,屬于中檔題.15、【解析】
對(duì)原方程兩邊求導(dǎo),然后令求得表達(dá)式的值.【詳解】對(duì)等式兩邊求導(dǎo),得,令,則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式,考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.16、1【解析】試題分析:由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù),.考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性.【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想,具有一定的綜合性和靈活性,屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化思想,將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù),然后再利用特殊與一般思想,取.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)建立空間坐標(biāo)系,通過求向量與向量的夾角,轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大??;(2)先求出面的一個(gè)法向量,再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建系,設(shè)所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因?yàn)?,,設(shè)是面的一個(gè)法向量,所以有即,令,,故,又,所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點(diǎn)到面的距離,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、,;當(dāng)時(shí),棧道總長度最短.【解析】
連,,由切線長定理知:,,,,即,,則,,進(jìn)而確定的取值范圍;根據(jù)求導(dǎo)得,利用增減性算出,進(jìn)而求得取值.【詳解】解:連,,由切線長定理知:,,,又,,故,則劣弧的長為,因此,優(yōu)弧的長為,又,故,,即,,所以,,,則;,,其中,,-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時(shí),所以當(dāng)時(shí),棧道總長度最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1),圓的方程為:.(2)答案見解析【解析】
(1)根據(jù)題意,可知點(diǎn)的坐標(biāo)為,即可求出的值,即可求出該圓的方程;(2)由題易知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,與拋物線聯(lián)立方程組,根據(jù),求得,化簡解得,進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,分別求出,,利用向量的數(shù)量積為0,即可證出.【詳解】解:(1)易知點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得.又圓的圓心為,所以圓的方程為.(2)證明易知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以,,.故.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,利用聯(lián)立方程組、求交點(diǎn)坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積,考查解題能力和計(jì)算能力.20、特征值為1,特征向量為.【解析】
設(shè)出矩陣M結(jié)合矩陣運(yùn)算和矩陣相等的條件可求矩陣M,然后利用可求特征值的另一個(gè)特征向量.【詳解】設(shè)矩陣M=,則AM=,所以,解得,所以M=,則矩陣M的特征方程為,解得,即特征值為1,設(shè)特征值的特征向量為,則,即,解得x=0,所以屬于特征值的的一個(gè)特征向量為.【點(diǎn)睛】本題
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