高數(shù)2期末試卷及答案

高數(shù)2期末試卷及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.函數(shù)f(x)=x^2+1的導(dǎo)數(shù)為（）A.2x+1B.2xC.2x-1D.1答案：B2.極限lim(x→0)(sin(x)/x)的值為（）A.0B.1C.2D.-1答案：B3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的極值點(diǎn)為（）A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2答案：A4.曲線y=x^2+2x+1在點(diǎn)(1,4)處的切線斜率為（）A.4B.2C.3D.1答案：C5.函數(shù)f(x)=e^x的不定積分為（）A.e^x+CB.e^(-x)+CC.ln(e^x)+CD.-e^(-x)+C答案：A二、填空題（每題4分，共20分）6.函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的最小值為_(kāi)________。答案：-17.極限lim(x→∞)(x^2-3x+2)/(x^3+2x^2+x)的值為_(kāi)________。答案：08.函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐點(diǎn)為x=_________。答案：29.曲線y=ln(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=_________。答案：-x+110.函數(shù)f(x)=x^2-4x+7的不定積分為_(kāi)________。答案：(x^3-2x^2+7x)+C三、計(jì)算題（每題10分，共30分）11.求極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)。解：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x+2)(x-2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4。12.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x的二階導(dǎo)數(shù)。解：f'(x)=3x^2-6x+2，f''(x)=6x-6。13.求曲線y=x^2+3x+2在點(diǎn)(1,6)處的法線方程。解：y'=2x+3，y'(1)=5，法線斜率為-1/5。法線方程為y-6=-1/5(x-1)，即x+5y-31=0。四、證明題（每題10分，共15分）14.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有e^x>1+x。證明：令f(x)=e^x-1-x，則f'(x)=e^x-1。當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。因此，f(x)的最小值為f(0)=0。所以，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有e^x>1+x。15.證明：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在極值點(diǎn)。證明：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x1=1，x2=2/3。當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。又因?yàn)閒(1)=0，f(2)=2，所以f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在極值點(diǎn)。五、綜合題（每題10分，共10分）16.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線和法線方程。解：f'(x)=3x^2