八年級上冊數(shù)學評價手冊答案解析

初二數(shù)學〔八上創(chuàng)新教育實驗手冊

參考答案〔蘇科版

第一章軸對稱圖形

1.1軸對稱與軸對稱圖形

［實踐與探索］

例1請觀察26個大寫英文字母,寫出其中成軸行稱的字母.

解：成軸對稱的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、0、T、U、V、W、X、

Y.

注意：字母"N、S、Z”也具有對稱的特點，但它們不是軸對稱圖形.

例2國旗是一個國家的象征，觀察圖中的國旗，說說哪些是軸對稱圖形,并找出

它們的對稱軸.

(略

［訓練與提高］

一、選擇題：

1.42.D3.B4.A5.A

二、填空題：

6.(1(2(5(6

7.2,3,1,48.1():21

三、解答題：

9.如圖：

10.長方形、正方形、正五邊形

［拓展與延伸］

1.(3比較獨特，有無數(shù)條對稱軸

2.層)

1.2軸對稱的性質(zhì)(1

［實踐與探索I

例1已知△A8C和△AEG是軸對稱圖形，畫出它們的對稱軸.

圖

圖

解：連接A4,畫出44的垂直平分線L,直線L就是△ABC和山iG的對稱

軸.

回顧與反思連接軸對稱圖形的任一組對稱點,再畫對稱點所連接線段的垂

直平分線，就得該圖形的對稱軸.

例2如圖用針扎重疊的紙得到關于L對稱的兩個圖案，并從中找出兩對對

稱點、兩條對稱線段.

解：可標注不同的對稱點.例如：A與A是對稱點,8與8'是對稱點.

對稱線段有AB與A'B\CD與C1/）'等.

回顧與反思研究對稱點是研究對稱圖形的基礎，一般先研究對稱點，再研究對稱

線段,這能更清楚地了解軸對稱的性質(zhì).

［訓練與提高］

一、選擇題：

1.B2.D3.B4.A

二、填空題:

5.軸對稱,3條6.略7.8100768.AB=CDBE=DEZB=ZD

三、解答題：

9.2,4,510.略

［拓展與延伸］

1.如圖：

2.如圖：

［實踐與探索］

例1畫出圖123中△AAC關于直線L的對稱圖形.

解：在圖（1和圖1.2.3（2中制畫出點A、B、C哭玉儂￡的對稱點A1、

（：

B］和C］,然后連接A%?、C.A,，則△ABG就是△柳金夫于例海對稱的

圖形.B

(1(2

回顧與反思（1如果圖形是由直線、線段璃懶睡1成時，那么在畫出它關于某一

條直線對稱的圖形時，只要畫出圖形中的特殊點(如線段的端點、角的頂點等的

對稱點，然后連接對稱點，就可以畫出關于這條直線的對稱圖形；

(2對稱軸上的點(如圖11中的點反其對稱點就是它本身.

例2問題1：如圖1.2.4,在一條筆直的河兩岸各有一個居民點A和B,為方便

往來，必須在河上架橋在河的什么位置架橋,才能使A和B兩地的居民走的路最

短？

問題2：如圖1.2.5,在一條河的同岸有兩個居民點A和8,現(xiàn)擬在岸上修建一

個碼頭，問碼頭修在何處,才能使碼頭到A和3兩地的總長最短？

A

問題1和問題2之間有聯(lián)系嗎？能從前一個問題受到啟發(fā)來解決這個問題嗎？

探索：對問題L顯然只要連接48.A4與的書點就是陸要找的點.

對問題2,即要在直線a上找一點C,使AC-^BC最小.

分析：我們用"解折2M一一軸對稱的方法.懶il.&6

(1作點A關于直線。的對稱點A'；

(2連結A,B交。于點C,點C就是所求作的點.

理由：如圖，如果C*是宜線a上異于點C的任意一點，連AC'、BC\A'U則由于A、

A關于直線。對稱，所以有

AC=AC,AC=AC.4N、

所以AC+BC=AC+BC>AB=AC+BC=AC+BC.

這說明，只有C點能使\C+BC最小.“加

圖

［訓練與提高］

一、選擇題：

1.C2.C3.B4.A

二、填空題：

5.(1等腰三角形(2矩形(3等邊三角形14正方形(5五角星(6圓

6.不對稱、不對稱7.5個

三、解答題：

8.略9.略

解：＜1＞點尸與△ABC的三頂點距離相等，即附=PB=PC.

＜2＞如圖4C的垂直平分線也經(jīng)過P點.即三角形的三條中垂線交于一點.

例2如圖1.4.2,在△A8C中，已知A8=AC,。是A8的中點，且OE_LA8,交AC于

A

E.已知△BCE周長為8,且A8—8C=2,求A3、的長.A

分析：由題意可知.。石垂直平分AB,則有AE=BE,”1A

因此aBCE的周長就轉(zhuǎn)化為AC+BC,問題即可解決.

解：因為。是A8的中點，且OE上4B,所以fic

則△BCE的周長=BE+CE+BC-A￡+CE+8C=AC+BC=8.圖上42

又因為A8—8C=2,A8=4C,所以AC—8C=2.

由上可解得AC=5,8C=3.

回顧與反思＜1＞本題中利用”E是線段A3的垂直平分線上的點”得到SE=BE\

從而實現(xiàn)了”線段8戶的轉(zhuǎn)移，這是我們常用的方法：

＜2＞利用”線段的中垂線的性質(zhì)”可以說明兩條線段相等.

［訓練與提高］

一、選擇題：

1.C2.。3.。4.A

二、填空題：

5.無數(shù)個6.6,27.10,8cm8.9cm

三、解答題：

9.24°10.連結AB,作AB的中垂線交直線L于P,點尸即為所求作的點

11.24cm12.＜1＞35°(2550

［拓展與延伸1

1.圖略(1只要任意找一個以4為頂點的格點正方形，過點力的對角線或其

延長線與B。的交點就是點尸(2找與A為頂點的正方形中與A相對的頂

點.

2.9cm

1.4線段、角的軸對稱性＜2＞

［實踐與探索］

例1如圖1.4.3,在△ABC也已知N4BC和

NAC8的角平分線相交于。.請問:

＜1＞你知道點。與△A8C的三邊之間有什么關系嗎？

＜2＞當你再作田NA的平分線時，你發(fā)現(xiàn)了什么？

解：＜1＞點O到△ABC的三邊的距離相等；

＜2＞如圖1.4.3,NA的平分線也經(jīng)過點。即三角形的三條角平分線交于一點.

例2己知：如圖1.4.44力〃3。,。。_18仁4￡平分/84。,且點￡是。（7的中點,問：

AD.BC與之間有何關系？試說明之.AD

分析：此題結論不確定，從已知中收集有效信息，并大膽嘗試

（包括用刻度尺測量是探索、猜想結論的方法./^\

vl＞將”AE平分N8AQ"與“。E_LAO”結合在一起考慮,可以聯(lián)想到，-----

若作ER,A3于七就構成角平分線性質(zhì)定理的基本圖形，可得4F=AD圖144

＜2＞再結合"點用是。C的中點”，可得：F.D=FF=FC.于是連接AR可證月C.

這樣,A￡＞+8C=Ab+BR=AB.

解：AD.8C與AB之間關系：AD+BC=AB.證明思路簡記如下:

作E/LAB,連接BE,易證△AQEgZsA￡E＜AAS〉,???AQ=A”.

再由EF=ED,EF=EC,可得絲△8C￡vHL＞,:.BF=8C,AO+BC=AB.

回顧與反思＜1＞根據(jù)例1的結論，我們可以在三角形內(nèi)找到一點,使它到三角形

三邊距離都相等；

＜2＞利用角平分線的性質(zhì)，可以說明兩條線段相等，這也是我們常用的辦法.

［訓練與提高］

一、選擇題：

1.A2.B3.A4.C

二、填空題：

5.線段的垂直平分線、角平分線6.37.90°

三、解答題：

8.略9.過尸點分別作垂線10.作圖略11.作MN的中垂線,NAOB的

平分線交點即是12.6cm

［拓展與延伸］

1.60°

2.略

1.5等腰三角形的軸對稱性vl＞

［實踐與探索］

例1＜1＞已知等腰三角形的一個角是100°,求它的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)；

＜2＞已知等腰三角形的一個角是80。,求它的另外兩個角的度數(shù).

分析：由于等腰三角形兩底角相等，且三角形的內(nèi)角和為180°,所以10()°的角

一定是這個三角形的頂角；

＜2＞等腰三角形的一個角是80°,要分底角為80°或頂角為80°兩種情況.

解：＜1＞由于等腰三角形兩底角相等，且三角形的內(nèi)角和等于180°,這個三角形的頂

角等于100°,所以這個三角形的另兩個內(nèi)角應為100°＞=40°.

2

＜2＞①底角為80°時，另外兩角分別為80°和20°；②頂角為80°吐另外兩角分別為50°

和50°.

回顧與反思：＜1＞當不知道已知的角是等腰三角形的頂角還是底角，此時須進行討

論；＜2＞若把已知角改為火則這個等腰三角形另外兩個角的度數(shù)是怎樣的呢？

例2如圖，在AA3c中為的中點，

a垂足為EQRJMC,垂足為F.試說明。石=。廠的道理.

二、填空題：圖

6.5cm7.6cm,2cm,或4cm,4cm

8.(H2.5(2a>3,0<b<\29.3,3,4或4,4,2

三、解答題：

10.(170°、40°或55°,55°(230°,30°II.75°,75°,30°

12.33cm13.108°14.BD=CE.理由：9：AB=AC^：.ZB=ZC.9：AD

=AE.：.ZADE=ZAED.：.ZADB=ZAEC.：.AACE.：.BD=CE

［拓展與延伸］

1.100°

2.略

1.5等腰三角形的軸對稱性<2>

［實踐與探索］

例1如圖1.5.2,在△A6c中，己知NA=36°,ZC=720,6。

平分N43C,問圖中共有幾個等腰三角形？為什么？

解：圖中共有3個等腰三角形.

4=36。,/。=72。，

???NABC=180°一（NA+NC=180°—<360+72°>=72°=/。,

???△ABC是等腰三角形.

又?:BD平分/ABC,：.ZABD=ZCBD=

NBDC=/A+/他。=36。+36。=72。，

即有NA=/ABD,/BDC=ZC.

???△43。和△5CO都是等腰三角形.

???圖1.5.2中共有3個等腰三角形.

D

例2如圖1.5.3所示，在四邊形ABC。中,N4BC=N4OC=

90°,“、N分別是AC8。的中點，試說明：

<1>DM=BM；<2>MN_LBD.

解：<1>??,點〃是RtZ\/18C斜邊的中點,J1AC,

2圖

同理。M=-AC,BM=BM；

2

<2>>.<N是8。的中點又BM=DM,：.MNLBD.

回顧與反思<1>”等邊對等角“和“等角對等邊”是證明角相等或邊相等的又一手

段，要能夠?qū)⑦@兩條定理結合在一起靈活運用,要分清區(qū)別和聯(lián)系；

<2>看見直角三角形斜邊的中點時,要聯(lián)想”直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半”，這是我們常用的思維方式之一.

［訓練與提高］

一、選擇題：

1.D2.B3.D4.C

二、填空題：

5.等腰6.87.35。4。8.(1ABDE^AADE(24BCE

2

(3/AG/

三、解答題：

9.等腰三角形1().AABC,△AEF,人EBO,△FCO,AOBCBE=CF=LEF

2

11.平行12.1()cm

［拓展與延伸］

1.延長AE交BC延長線于產(chǎn)

2.略

1.5等腰三角形的軸對稱性<3>

［實踐與探索】

例1如圖154,在△ABC中,AB=AC,N84C=

120°,點。、E在8C上，且8Q=4O,CE=AE.判斷△AOE的形

狀,并說明理由.

解：△八。七是等邊三憑形.

理由：,：AB=AC.ZBAC=\20,：.ZB=ZC=3^\

?；BD=AD,AE=CE,

；.NB=N8AQ=30°,NC=NCAE=30°,，ZADE=ZDAE=ZAED=60\

???AWE是等邊三角形.

例2等腰三角形的底邊長為5cm,一腰上的中線把這個三角形的周長分為兩

部分之差為3cni,則腰長為v>

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不對

分析可以先畫出草圖，題中所給條件實質(zhì)是腰長與底邊長之差的絕對值為3

cm.因為底邊長為5cm,所以腰長可能為8cm或2cm,但由于2cm+2cm<5cm,

故腰長不能為2cm,只能為8cm.

解：選8.

回顧與反思涉及求等腰三角形邊或角時，常會出現(xiàn)“兩解”的情況.這樣的“解"需要

檢驗它是否滿足三角形的三邊或三角之間的關系.

［訓練與提高］

一、選擇題：

1.D2,D3.C4.A5.C

二、填空題：

6.等邊、等邊7.15°8.120°

三、解答題：

9.［0cm10、略11.(1EC=8O(2添加條件：A8=AC,是軸對稱圖形,

此時,N80C=120°,

12.過。點作AC平行線

［拓展與延伸1

1.添輔助線，通過/ACOg/BCE來說明

2.略

1.6等腰梯形的軸對稱性vl>

［實踐與探索］

4D

例1如圖1.6.1,在梯形ABCO中,4?！˙C,AB=CD,/

點E在8c上,。七〃A8且平分NAOCQCQE是什么三角形？//\

請說明理由."￡'

圖161

解：△COE是等邊三角形.

因為所以N8=NC.理由：”等腰梯形在同一底上的兩個角相

等”

又因為AD〃BC,所以NADE=NCED.由。E平分NAOC,可得NAOE=NCQE,

于是NC￡O=NCOE又因為A8〃O及所以N8=/CED,從而有NC=ZCED=Z

CDE,

所以△COE是等邊三角形.

回顧與反思等腰梯形與等腰三角形有著緊密的聯(lián)系.在研究等腰梯形時,要我想

到等腰三角形中的知識.

例2如圖1.6.2,在梯形紙片ABC。中,AO〃BC,

NB=60°,A8=2,8C=6.將紙片折疊，使得點B與點。

恰好重合,折痕為4E,求A￡和CE的長.

解???點8與點。沿折痕AE折疊后重合，

???△ABEdAOE,

圖162

AZI=ZB=60°,Z3=Z4.

'：AD//BC,：.Z\=Z2=60°.

而N2+N3+N4=180°,AZ3+Z4=120°,AZ3=Z4=60°,

而/8=60°,???Z5=60°,因此,AABE是等邊三角形.

???AE-BE=AB=2t：.CE=BC-BE=4.

回顧與反思解題過程中要把等腰梯形和一般梯形的特征區(qū)分開，不可誤用.

［訓練與提高］

一、選擇題：

］.B2,C3.B

二、填空題：

4.108°,108°,72°5.276.①②③④7.1cm8.15°

三、解答題：

9.ZA=ZE10.72°、72°、1()8°、108°,11.成立

［拓展與延伸］

1.CE=-

2

過點C作CF//DB友AB的延長線于點人先證：zlDCB^AFBC^\CF=DB,又

四邊形ABCD是等腰梢形，則4C=QB,故AC=CF,

易證：乙4OB=NACR所以為等腰直角三角形.

又因為C&LAB,易證：CE=AE=EF=AB+BC.人大

一2

1.6等腰梯形的軸對稱性&EB卜

［實踐與探索］

例1如圖,ZXABC中,NACB=90°,D是AB的中點QE〃AC,且DE=-AC,

2

點尸在AC延長線上，且c產(chǎn)=LAC,請說明四邊形AFED是等腰梯形.

./

略證：先說明四邊形CFEQ是平行四邊形.

由。?！ā晔?/b=乙4。。,且。。是尺7八48。斜邊上的中線

得/A=NF,證得四邊形AFED是等腰梯形

回顧與反思要證明梯形是等腰梯形時，只要證明同一底.上的兩個角相等.

例2閱讀下面的分析過程，并按要求回答問題.圖

已知在四邊形ABCD中/5=。。,4。=3。/。#6。.則四邊形ABCD是等腰梯

形.你能說明理由嗎？

分析：要證明四邊形ABCD是等腰梯形，因為AB=Z)C,所以只需證四邊形ABCD

是梯形即可；又因為A0W8C,故只需證AQ〃8C現(xiàn)有如圖所示的幾種添輔助線

的方法，可以任意選擇其中一種圖形，對原題進行證明.

GA

/\

/\

友嶙越二微利用全沙書產(chǎn)年腰二角44完》《萬^^、、

期與贏究族斯贏島B過破淡瀛段梯監(jiān)嘉船瀛、、、平、、

E

與亍四邊形共系起步：~B工----------------'

<1<4

圖164<3

［訓練與提高］

一、選擇題：

1.C2.C3.Z?4.Z?5.C

二、填空題：

6.247.50°、50°、130°、130°,

8.是9.80°、80°

三、解答題：

10.略11.AABC^ADCB

12.是,理由：VZE=ZACE,：.AE=AC*：AD//BC,：.ZDAC=ZACE

???NE=Nr>AC???AD=6E???/1€'。4???八5=。。???梯形ABCD是等腰梯

形.

13.*：AB=ACy：.ZABC=ZACB.

???BDLAC,CELAB,；?ZBEC=NCDB=90°,BC=BC

：.ABEC^ACDB.：.BE=CD：.AE=AD.

80

：.AED=ZADE=I。——.?.?ZABC=ZACB=頸匚幺

22

???ZAED=/ABC.，ED//BC.

〈BE與CO相交于點4,??.8E與CO不平行.

???四邊形BCDE是梯形.丁ZEBC=ZDCB,：.梯形BCDE是等腰梯形.

［拓展與延伸］

1.26,32

2.解：設經(jīng)過工秒后梯形力是等腰梯形,

???作MELBC于點E.DFLBC于點F.

:.BE=FN=AM=x.:.EF=MD=2T-x,CN=2x,BN=24-2x.

:.BN=2AM+MD.即24—左=2%+21—I.

第一章復習題

A組：

1.A2.C3.B4.D5.C6.、18或21,227.350、35°；40°、

100°或或°、70°8.3cm或7cm9.7,10或8.5,8.5

1().(130°,(219II.100°12.(140°,(235°,(336°

13.45°135°等腰14.等腰梯形15.3

B組：

16.略17.略18.2730°19.提示：先證：/AOEt。，貝UOE=

DC,

所以ZDEC=/DCE,又EF〃BC,所以ZDCE=NHC,則ZFEC=/DEC

12

2().—21.略

5

22.提示：連結CR、BP,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

第二章勾股定理與平方根答案

2.1平方根⑴

例1解：(l)V<i10>2=100,/.100的平方根是±10,即士而5=±10；

⑵??,v±1.3>2=1.69,???1.69的平方根是±1.3,即±VL69=±1.3；

193993

(獻??2-=-,<±->2=-,的平方根是土二，即±

4424424

⑷?.?()2=0,.?.o的平方根是根即血=o.

回顧與反思：⑴正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，要防止出現(xiàn)100的平方根是10

的錯誤；

⑵當被開方數(shù)是帶分數(shù)時.應先將它化成假分數(shù)后再求平方根：

⑶0的平方根只有一個，就是0,負數(shù)沒有平方根.

例2解：(1)???-64<0,???一64沒有平方根；

(2)V<-4>2=16>0；J<—有兩個平方根，即土7(-4)2=±V16=±4；

⑶???—52=-25<0,???一52沒有平方根；

⑷???/介表示81的正的平方根是9「.?9>0,???同的平方根有兩個是±3.

回顧與反思：象<一4>2、聞這樣的數(shù)求平方根時，應先將這些數(shù)化簡，再求化簡后的數(shù)

的平方根.

例3解：⑴:/=196,???x是196的平方根，即工=±如歹=±14；

2憂是2的平方根，即』=±J5

???(X—3)是弓的平方根，即x-3=±|；

366

.2313

??玉=7-,石=二

00

［訓練與提高］

49

1.8：2。；3及4.3；5.±17；±4；6.+15：一一；7.-1；一；8.9；81；9.0.10.⑴

54

-8：(2)±1.3：(3)--；(4)-9：11.(1)±5；(2)±9；(3)4(4)3,—1；12.25；13.±4.

32

［拓展與延伸］

1.±9；2.±3.

2.1平方根⑵

/121121

例1分析：J10000表示10000的_________根；-表示三1的算術平方根的相

V225225

反數(shù)；士將表示器的_________根.

解⑴Jio(xx)=Vi^?=ioo；

⑵-保?后小

⑶±舟±后=±9

回顧與反思：J10000表示10000的算術平方根，要防止出現(xiàn)而而=±100的錯誤.

探索：⑴發(fā)現(xiàn)：當G20時,(&)2

⑵發(fā)現(xiàn)：當。>0時,=〃，當。<0時,=—a：當a=0時,=0.

a(a>0)

即y［a^=1。1=<0(。=0).

-a(a<0)

例2解：⑴(-Jiy=3；(2)J(_3)2=3：⑶當工>0時,(J7)2=x；

⑷當。<0時,3。<0,^

a{a>0)

回顧與反思：等式值二。(。20)和"7二必上人也二。)，是算術平方根的兩個重

-a(a<0)

要性質(zhì).以后經(jīng)常會用到它們.

［訓練與提高］

77____

IB2.A：3.B4.Q；5.D；6.C.7.⑴士15,15；(2)土一，一；(3)±0.1,0.1;(4)士后，歷.

1212

(5)±2,2；8.2；士69.。之0,2；10.4二9；11.-1；12.-3,互為相反數(shù).1341)1；(2)-2；

166

⑶士?:(4)0.17；(5).5；(6).-0.3；(7)4-.(8)—.

13915

［拓展與延伸1

1.±5,±1；12.5.

2.2立方根

例1分析因為立方與開方互為逆運算，因此我們可以用立方運算來求一個數(shù)的立方根,

也可以通過立方運算來驗證一個數(shù)是否為另一個數(shù)的立方根.

8

例1解(1),.

27

82

(3)、⑷、⑸略.

4

3

卷

⑶略.

回顧與反思：⑴當被開方數(shù)帶“一”號時，可把“一“提取到根號外后再計算；

⑵當被開方數(shù)是帶分數(shù)時，應先化成假分數(shù)：

⑶當被開方數(shù)沒化簡時,應先化簡后再求值.

例3解⑴2/=—］6,丁——8,x-N-8——2；⑵咯

回顧與反思：平方根與立方根的區(qū)別如下：(1)表示的意義不同；(2)右與必中的被開

方數(shù)a的取值范圍不同，標中的a應滿足心0函中的a可為任何數(shù)；(3)一個數(shù)的平方根

與立方根的個數(shù)也不同,一個數(shù)的平方根最多有兩個，也可能是一個或者不存在，而它的立方

根總有且只有一個；⑷負數(shù)沒有平方根，但負數(shù)有立方根.

［訓練與提高］

53

1.B：2.C；3.0；4.8：5.±8,4,8：6.—1,5,一—，一.7.100：±8：8.7,-3；9.

62

⑴一10；(2)--；(3)-；(4)-；(5)--；(6)3.(7)0.3；⑻6.10.⑴-9.(2)8；(3)—16：⑷一

47235

4.11X1)5;(2)^9；(3)-4：(4)-2.

［拓展與延伸］

1.V9；2.37.5cm2.

2.3實數(shù)⑴

例1如圖將兩個邊長為1的正方形分別沿它的對角線剪開，得到四個等腰直角三角形，即

可拼成一個大正方形，容易知道，這個大正方形的面積是2,所以大正方形的邊長是血.

這就是—1為1的正方形的對角線長是J5,利用這個事實，我們?nèi)菀自跀?shù)軸上畫出表

示后的點，如磷患.

例2分析無理數(shù)不R—是無限小數(shù)，二是不循環(huán).因此，要判定一個數(shù)是不是無

理數(shù).應從它的定義去判擊H表面上去號斷.如帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，而我們熟

悉的圓周率不就是無岫.謂:

解有理數(shù)有一3.1415926,少335,0.13,,25

11336

無理數(shù)有一乃，狗，3—,0.1010010001.…

回顧與反思：有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別是：前者是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而后者一定

是無限不循環(huán)小數(shù).

例3解(1)不正確.如2.35是無限小數(shù)，但它不是無理數(shù);

(2)不正確.如2.3W是有理數(shù)，但它是無限小數(shù)；

⑶正確.因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，當然是無限小數(shù)：

⑷不正確.如是有理數(shù).

［訓練與提高］

__22?冗__

1.B：2.C；3.C.4.實數(shù)；5.V25,—,0,252252225,3.46；5.121121121-,—,-718

723

6.A/6；7.±V5.

I拓展與延伸］

I.C；2.8.

2.3實數(shù)⑵

例1分析在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義與有理數(shù)范圍內(nèi)的意義完全相

同所以我們可以用在有理數(shù)范圍內(nèi)的同樣方法來求一個實數(shù)的相反數(shù)、絕對值.

解⑴???H^=—版=一4,?,?^^的相反數(shù)是4,絕對值是4：

3—乃的相反數(shù)是TC—33—71<0,|3—7T|=7T—3.

(2)?.?|、6|二百,|一及1二6,??.這個數(shù)是±百

解由圖可知,av0,:.|?|=-a.*.*b<c、：,c-b>(),??\c-t^=c-b

*.*<0,/?<0,.\\a-vt\=-a-b,

，M+|c-4一心+母=一々+(c-b)—(-a-b)=-a+c-b+a+b=c

回顧與反思：⑴根據(jù)實數(shù)在數(shù)軸上的位置可以確定與數(shù)的符號以及這些數(shù)的大小關系；

⑵在求一個數(shù)的絕對值時，首先要確定這個數(shù)的符號，然后根據(jù)”正數(shù)和零的絕對值是本

身，負數(shù)和零的絕對值是它的相反數(shù)”來求出它的絕對值.

⑶每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來，但數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)，數(shù)軸上的點與實

數(shù)是??對應的，即每個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的?個點來表示，反過來數(shù)軸上的每一個點都表

示一個實數(shù).

例3解：［1二?(石)2=5,(』)2二"，又5V"，，V5

2442

(2vV5V5-l<-,?,?苴匚<-

2224

回顧與反思：比較兩個無理數(shù)的大小,通?？梢杂糜嬎闫髑笏鼈兊慕浦翟龠M行比較.

估算一個無理數(shù)的大小，還可以用與它相近的有理數(shù)逐步逼近的方法來實現(xiàn).

［訓練與提高］

1.。；2.8；3,(1)2,2；(2)2-,2-；(3)—3,3；(4)75-2,75-2.4.<,<,<；5.-1,0.1；

33

6.V7-V3；7.(02.02；(2)-10.95；(3)-0.98；(4)1.29；8.⑴一5：(2)-4；(3)5-73-75；

(4)-9.9力-2a—2c.10<；<；<；>.

［拓展與延伸］

1.2a—b.2.4—72.

23近似數(shù)與有效數(shù)字

例1分析生活中形形色色的數(shù)，哪些是近似數(shù)？哪聯(lián)是準確數(shù)?需要我們仔細去辨別.

脫離了現(xiàn)實背景的數(shù)，有時則無法區(qū)分.

解略.

例2解(1)43.8精確到十分位<即精確到0.1>,有3個有效數(shù)字,分別為4、3、8.

⑵0.03086精確到十萬分位，有4個有效數(shù)字,分別為3、0、8、6.

⑶2.40萬精確到百位，有3個有效數(shù)字,分別為2、4、0.

回顧與反思：由于2.40萬的單位是萬，所以不能看成精確到百分位，另外2.4萬和2.40萬

作為近似數(shù)，它們是不一樣的.

例3解(D3.4802~3.48；⑵3.4802-3.480：

(3)3.1415926=3.14；(4)26802=2.7X104.

回顧與反思：(1本題⑴、⑵小題，由于精確度要求不同,同一個數(shù)的近似結果是不一樣的,

所以第⑵題中3.480后面的0不能省略不寫；反之同一個近似結果所對應的原數(shù)也不一定相

同，你能舉例說明嗎？

(2第⑷小題中若把結果寫成2700(),就看不出哪些是保留的有效數(shù)字，所以此時要用科

學計數(shù)法，把結果寫成2.7X104.

I訓練與提高］

l.Z);2.C；3.A；4.略；5.⑴百分位,4個；⑵個，'立,2個；⑶千分位,3個；⑷個

位,5個；⑸萬分位,3個；(6)萬位,3個；(7)百分位,3個；⑻百萬位,3個.

［拓展與延伸］(1)1X102；⑵-054；⑶-3.64X103；；(4)3.5.

2.4勾股定理(1

例1解：⑴在RtAA6C中,ZC=90",a2+Z?2=c2,a=6x=10,

/.b2=c2—a2=64,AZ;=8.<Z?=—8舍去〉

⑵在RtAABC中，/。=90。,???片+〃2=/,?.?4=4()”=9,

：.(r=cr+b1=1681,/.c=41..<c=—41舍去〉

⑶在RtAABC中，ZC=90°,Aa2+b2=c2,V/?=15,c=25,

/.(r=c2-b2=400,./.a=20..<a=-20舍去〉

⑷在RtAABC中，ZC=90°,A?2+Z>2=c2,V3a=4b,Aa：b=4：3,

，設a=4k力=3上則c=5k「??c=2.5,???%=0.5,???a=2,4=1.5.

回顧與反思：勾股定理反映直角三角形中三邊的關系，運用勾股定理在直角三角形的三

邊中已知任意兩邊就可以求出第三邊.

例2解①:?△/IBC中，ZACT=90MC=BC=l,

???"=JAC^+BC2=7i2+i2=V2,

②：ZVIBC中，ZACB=90\BC=\,AB=2,

???4C=HAN-Bd=A/22-12=V3

回顧與反思：運用勾投定理的前提是三角形必須是直角三角形.若已知條件中沒有直角

三角形時,應構造直角三角形后方可運用勾股定理.

I訓練與提高］

l.D；2.A；3.13,60；4.225,39,225；5.5,近6.5；7.49；8.13；9.商

［拓展與延伸］4.

2.4勾股定理(2

例1略

例2解：由題意得NAO8=90。,40=30.80=40.

AB=^ACf+BO1=J3(/+4(F=5()v海里〉

答：1小時后兩艦相距50海里

例3分析此題苜先要解決^ABC的面積，為此，可考慮作AO_L8c于Q.

解過4作于。，則AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.

設BQ=x，則CD=14-x,.*.I32—A2=152—<l4-x>2,

???x=5即BD=5,：.AD1=］44.

1,

???4D=12&ABC=—BC4Q=84加.

2

???費用84X50=420Ci元.

回顧與反思：(1勾股定理揭示了直角二角形的二邊之間的關系，已知直角二角形中任意

兩邊就可以依據(jù)勾股定理求出第三邊.在實際問題中若存在現(xiàn)成的直角三角形，就可以直接運

用勾股定理解決問題.

(2涉及面積計算往往需要添加輔助線〈高〉來構造直角三角形，從而運用勾股定理求得

相應的線段,進而求出所需面積.

［訓練與提高］

1.D.2.D.3.4,6,2.4.7,1.8；5.3cm；6.略.

［拓展與延伸1

1.圖略；2.圖略.

2.5神秘的數(shù)組(

例1解⑴???/+〃=7?+242=625=25?=。2.根據(jù)直角三角形的判定條件知，由

〃、b、c為三邊組成的三角形是直角三角形，且/C=90。.

(2)???〃+C?=22+1.52=6.25=2.52=/.根據(jù)直角三角形的判定條件知，由a、b、c

為三邊組成的三角形是直角三角形，且NA=90。.

(3),.*c>a,c>b,a2+/?2=f—+12=—c2=I—I="，；?a：+從工d根據(jù)直

角三角形的判定條件知，由a、b、c為三邊組成的三角形不是直角三角形.

回顧與反思：要判定一個三角形是否為直角三角形，只要計算兩條較短邊的平方和.以及

最長邊的平方，然后看它們是否相等即可.

例2解???在△ABD中工82+月。2=9+］6=25=8。2,

???^ABD是直角三角形,NA是直角.

???在△BCD中,802+802=25+144=169=aZ

:.ABCD是直角三角形,NDBC是直角.

???這個零件符合要求.

回顧與反思：像<3,4,5>、<6,8,10>、<5,12,13>等滿足a2+h2=c2的一組正整數(shù)，通常稱

為勾股數(shù).利用勾股數(shù)可以構造直角三角形.

例3解-：a2+b2=(n2-I)2+(In)2=n4-2n2+\-4n2=n4+2?2+1.

=(/+1尸=,2根據(jù)直角三角形的判定條件，得NC=90。.

［訓練與提高1

1.8；2.B；3.C；4.C；5.C；6.直角三角,&7.12,13,5：直角三角形；8.直角三

角形，略

9.???A8_L8C??.N8=90°,???AC2=AB2+4C2=5,又,.?AC2+CO2=5+4=9=A》..??N4CO

=90°，,ACJ_CD10.是，略；11.連接4。「??/4。。=90°AD=4,CD=3,.\AC2=AD1-1-CD2

=25,???AC=5,???A8=13.8C=12,，AC2+8C2=25+144=169=A82,/AC8=9O°,S=3O—6

=24.

［拓展與延伸］

1.連結EC；；D是BC的中點,。E_L8C于。，交AB于E,：,BE=CE*：?E2-￡A2=/1C2,ACE2

-EA2=AC2^\CE1=EA2-\-AC2：.ZA=90°,2.?S

2.6勾股定理的應用(1

例1分析⑴根據(jù)勾股定理,直角三角形中若兩直角邊長分別為1個單位和3個單位則斜

邊長為師個單位，因此，以原點為圓心，、而個單位長為半徑畫圓與數(shù)軸的交點表示的數(shù)即

分別為士加.

解：⑴如圖圖①；

⑵如圖圖②________________,>____________.:一

例2分析:幾何應用問題重在將實際問題轉(zhuǎn)化般陋問題，此題若設X石aDAE.

△EBC均為直角三角形，且它們的斜邊相等，運用勾股定理可建立方程.

解：設A￡=xkm,則8K=<25—x>km.A?

,：CE=DE,.\CE2=DE1.I

由勾股定理得1524-.?=<25-^>2+102圖/7

解得x=10./

答：E站應建在距A站10km處.

回顧與反思：(I運用勾股定理的前提是三角形必須是直角三角形.知d知條件中沒有

直角三角形時，應構造直角三角形后方可運用勾股定理.

(2勾股定理是直角三角形中三邊數(shù)量之間的一個關系式，也常被用作列方程的等量關

系：

［訓練與提高］

1.B.2.C；3.34：4.5,13；5.24,4.8.6.41.7.能，略8.能，略：9.略；10.10；

11.4；12.25.

［拓展與延伸I

1.19.5w；2.作4O1BC于ZX設由題意10—『二17?—。+9>2,解得工=6.由勾股定

理得AQ=8.

2.6勾股定理的應用⑵

例1分析：設EC=xJ則OE=8-x,由于折疊長方形的邊人。，且。落在點尸處，故△人所

和AAOE全等，則E產(chǎn)=8—*4/=4。=10,在RtAEFC中，運用勾股定理得到關于x的方程,

可以求出x的值.

解：設EC=xcm,則DE=<8_x>cm,AT\

???。、F關于A￡對稱:.AAFE^△AOE,Q

：,AF=AD=BC=10,EF=DE=8-x.\^\、'、、、、、、、

在RsA3尸中，Bb2=JA/72—432=6

：.FC=BC-BF=4.「

,,,圖

在RsEFC中，由勾股定理得：廠+牛=(8-幻-,

解得x=3.

答：EC長為3cm..

回顧與反思：(1折疊問題和軸對稱密切相關，要注意翻折圖形的特征；

(2從應用勾股定理解決實際問題中，我們進一步認識到把直角三角形中三邊關系72+

〃=c+看成一個方程，只要依據(jù)問題的條件把它轉(zhuǎn)化為我們會解的方程，就把實際問題的條

件轉(zhuǎn)化為解方程.

例2分析求證的結論中出現(xiàn)平方的形式，我們?？陕?lián)想勾股定理.要運用勾股定理、首先

要找到與結論中的線段有關的直角三角形，若題中沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需要構造直角三

角形.A

解作AE1BC于E,則在△ADE中/+A序：

又?:ZI3AC=9()Q^B=AC,：.AE=BE=CE./

VBD2+CD2—<BE~DE>2~\~<CE+DE>2BDEC

=BU+CE+2D?圖

=2AE2-\-2DET=2AD1,

ABD2+C￡>2=2AD2.

回顧與反思：(1在三角形中若要說明某個角是直角，常常想到勾股定理的逆定理.

(2說明含某些線段的平方形式的問題，常通過作垂線構造直角三角形，運用勾股定理來

解決.

［訓練與提高］

1.1.5.2.直角三角形；2.5.3.不一定，也可能只是〃=也4.略：5(1)3,(2)設。。=工,

77

由題意6?+f=<8—x>2,解得x=—/.CD=—.

I拓展與延伸］1.2〃；2.略.

第二章復習題1.±8：8；4：±5.2.4.3.一1,0,1.4.<,>.5.2-73,2->73.

6.±4.7.±1,±2.8.12.9.2,3.10.V34-2.11.xNO.任何實數(shù).12.(1)2石.⑵

273,(3)10,24.13.V4?.14.30.15.B.I6.C.17.B.18.B.I9.C.20.G21.(1)

±V2.(2)-3.(3)3,-l；22.直角三角形.23.5cm.24.43.4.25.±1.26.2.27.2010.

28.x=6.29.2,V74.30.3.31.132.32.血,石，廂,歷+?.33.12.

34.2V10.6710.35.36.6〈提示：設C￡>=x,由勾股定理得f+92+f+42=132>.37.

2

27vL38.<?>.

第三章中心對稱圖形(一參考答案