高中數(shù)學(xué)規(guī)則型問題的解答策略

［正文］

定義：規(guī)則型問題，是指在題設(shè)中只提供了變量所遵循的抽象的規(guī)則而沒有

提供具體解析式的問題，如抽象函數(shù)問題，抽象不等式問題，抽象數(shù)列問題，以

及新信息題等都屬于這類問題，其出題形式則大、小題都可能。由于這類問題能

夠較好地考查學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)潛力，因此在近年的高考卷中以及高考

模擬卷中頻頻出現(xiàn)，成為考生的一只攔路虎。

規(guī)則型問題具有抽象性、概括性以及情境陌生性的特點(diǎn)，因此學(xué)生對(duì)此類問

題難免產(chǎn)生“空對(duì)空”的無處下手的感覺。不過，一物降一物，如果對(duì)規(guī)則型問

題的共同特點(diǎn)進(jìn)行深入研究，找到它的''命門”，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問題并不可怕。

下面分類舉例說明。

一、抽象函數(shù)型問題

抽象函數(shù)問題，不給出解析式，只給出函數(shù)的解析式/(X)所滿足的一些條件,

要求解題者解決問題。在這里，解析式是抽象的，而解析式/所滿足的一些

條件這個(gè)規(guī)則是具體的，解題者的做法就是充分地利用這個(gè)規(guī)則，通過對(duì)解析式

進(jìn)行繁衍、變形、賦值等技術(shù)手段得到答案。

【例題1］(2008,四川非延考區(qū)，9)函數(shù)/(x)滿足/(x>/(x+2)=13,若

/⑴=2,則/(99)=()

132

A.13B.2C.一D.

2

【解析1由規(guī)則/(x)?/(x+2)=13,有/(x+2)?/(X+4)=13,f(x)=/(x+4),

，/(x)的周期T=4。Z./(99)=/(4x24+3)=/(3),再由規(guī)則

1313

〃x)"(x+2)=13賦值，令x=l得/(1)"(1+2)=13,.?."3)=5,即/(99)=彳.

選C。

【例題2】(2008陜西，11)定義在R上的函數(shù)/(%)滿足

/(x+y)=,f(x)+/(y)+2沖⑴=2,則/(—2)等于()

A.2B.3C.6D.9

【解析】：這里主要的規(guī)則是/(x+y)=/(x)+/(y)+2q,賦值，令x=y=0得/(0)=0,

又賦值，4x=-l,j=K#/(l-l)=/(l)+/(-l)+2x1x(-1),/(-1)=0；再賦

值，令x=y=—1,得/(一2)=2,選A。

【例題3】(2001全國高考)設(shè)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=l

對(duì)稱。對(duì)任意冷X260,1,都有/(芯+%2)=/(西)?/缶)，且/⑴=2。

8求佃，咽，

⑵證明/(尤)是周期函數(shù)。

【解析】：⑴?.,對(duì)任意石,光2e0,；,都有/(玉+々)=/(%)?/(%2)，

??.對(duì)于任意問0,1］都有於)=嗚+升/部［升佃>0o

故令x=l得/(1)

又令V得嗎卜［，削S"外痣。

⑵證明：?..函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，??./(l+x)=/(l—x),以X—1代

替X,得〃力=〃2-切；再以T代替X,得/(T)=〃X+2)。又因?yàn)?(x)是

定義在R上的偶函數(shù)，x)=/(x),.,./(x+2)=/(x)。

因此/(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期。

【例題4】設(shè)/(x)滿足f(x)-2fx,求/(x)的解析式。

【解析】：既然/⑶在定義域內(nèi)滿足規(guī)則/(X)-2/(口=*……①，因此將x換成;

仍然成立，得/(￡|一2/(同=^……②，聯(lián)立①②消去/(￡|,解得

二、抽象不等式型問題

抽象不等式，不給出具體的不等式，只給出這個(gè)不等式所滿足的一些條件，

要求你解決問題。在這里，不等式是抽象的，而不等式所滿足的一些條件這個(gè)規(guī)

則是具體的，你的做法就是充分地利用這個(gè)規(guī)則，通過對(duì)不等式所滿足的一些條

件進(jìn)行利用，通常是利用變形、賦值等技術(shù)手段得到答案。

【例題5】(2008,山東實(shí)驗(yàn)中學(xué))若函數(shù)/(x)是定義在(0,+oo)上的增函數(shù),

且對(duì)一切滿足/(肛)=/(x)+/(y)，則不等式的解集為

/(X+6)+/(X)Y2/(4)()

A.(-8,2)B.(2,-H?)C.(0,2)D.[2,+oo)

【解析】：由已知/(x+6)+/(x)=[(x+6>W=/(d+6x)Y2/(4)=/(16),又/(x)

是定義在(0,+oo)上的增函數(shù)，

x2+6xY16

.*.<x+6>0=0Y尤Y2,選C。

X>0

【例題6](2007天津)設(shè)函數(shù)/(幻是定義在(-oo,3]上的減函數(shù)，已知不等式

f(cr-sinx)</(a+l+cos?x)對(duì)xeR恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍。

【解析工由已知得下列不等式組對(duì)xeR恒成立，

a2-sinx<3,(1)

<(a+l+cos2x<3,(2)

a2-sinx>a+l+cos2x(3)

由（1）得。243+$111》=>一夜三04血；由（3）^a<2-cos2x^>a<\\

由（2）^a2-a>l+sinx+cos2x=-sin2x+sinx+2=-sinj;——+一,

I2）4

a2-a>—=>4a2-4a-9>0=>?>或者a<-^

422

(1)、(2)、(3)取交集得ae—6；J。

三、抽象數(shù)列型問題

所謂抽象數(shù)列，其實(shí)主要是指遞推數(shù)列，題目只告訴你遞推關(guān)系式，要求你

得出通項(xiàng)公式。其實(shí)數(shù)列本來就是特殊的函數(shù)，遞推公式就相當(dāng)于抽象函數(shù)問題

里面的/(x)與/(y)所滿足的條件關(guān)系式。只不過在這里，通項(xiàng)公式是抽象的，

而遞推關(guān)系式這個(gè)規(guī)則是具體的，你的做法就是利用遞推關(guān)系式這個(gè)規(guī)則，通過

遞推、構(gòu)造、累乘、累加、賦值等技術(shù)手段得到答案。這里僅舉兩個(gè)例子，更多

內(nèi)容建議建議參看有關(guān)利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的專題。

【例題7】(2008全國一19).在數(shù)列｛q｝中，6=1,6用=2%+2".

(1)設(shè)％=券。證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；(H)略。

【解析](1)?."用=2凡+2",.?.黃=含+1，即％=為+1,

則也｝為等差數(shù)列，4=1,b?=n,?！?〃2"-二

【例題8】設(shè)數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)歹力且5+1)//—也“2+。用%=0

(n=l,2,3…),則它的通項(xiàng)公式是%=______(2000年全國高考15題).

[解析1：原遞推式可化為：[("+l)a?+,-nan](a?+l+a,)=0

則"=]_,&=2,幺=3an_n-\

,?>%+|+%>0,

%〃+1%2a2324an-\〃

逐項(xiàng)相乘得："=即%=▲.

a｝nn

在這里，我們先把條件式(〃+1)為/一〃62=0通過因式分解進(jìn)行化

簡，得到4"=/一，它就是本題的主要規(guī)則了。由它而得到的一系列式子，都

%〃+1

是利用這個(gè)規(guī)則進(jìn)行賦值的結(jié)果。

四、新信息型問題

新信息題又叫新定義題，其特點(diǎn)是：提供一個(gè)新的定義或者新的邏輯運(yùn)算關(guān)

系或者新的算法流程給解答者，要求解答者現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)現(xiàn)場(chǎng)運(yùn)用，意在考核學(xué)生的

知識(shí)遷移能力和繼續(xù)升造學(xué)習(xí)的潛力。新的定義或者新的邏輯關(guān)系運(yùn)算或者新的

運(yùn)算流程其實(shí)就是一個(gè)新的規(guī)則，解答者的任務(wù)就是現(xiàn)場(chǎng)領(lǐng)會(huì)這個(gè)規(guī)則并且利用

其當(dāng)場(chǎng)解決問題。

【例題9】(2008,湖南文，15)設(shè)國表示不超過x的最大整數(shù)(如

[2]=2,目=1)。對(duì)于給定的〃eN*，定義第="(L)二(“二!0”[1,+8),則

L」|_4」"x(x-l)...(x-[x]+l)L'

3

cl=；當(dāng)x42,3)時(shí)，函數(shù)C；的值域是。

【解析】：這是一道具有“把關(guān)”作用的小題，問題里面有兩個(gè)新規(guī)則需要解題

者學(xué)習(xí)理解，一個(gè)是[x]的意義，另一個(gè)是C；的意義，接下來只要按照這個(gè)規(guī)則

去操作就行了。

由題意[目=1，所以C：=gg。xe[2,3）,二[%]=2,

2

x-g)-;e[2,6),二C；e1g,28

【例題10]（2006廣東，10）對(duì)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（見。）和（c,d）,規(guī)定:

(a,〃)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d；運(yùn)算“③”為：

(a,b)?(c,d)=(ac—bd,be+ad),運(yùn)算"十"為:(a,6)十(c,d)=(a+c,b+d)。

設(shè)p,geR,若(1,2)額〃闖)=(5,0),那么(1,2)十(p,q)等于()

A.(0,-4)B.(0,2)C.(4,0)D.(2,0)

p-2q=5,P=l，

【解析】：?.?(l,2)(8)(p,q)=(5,0)=(p-2d2p+q),

2〃+q=0,q=-2.

(1,2)十(p,q)=(1+p,2+q)=(2,0)，選D。

【例題11】（2008年福建，理16）設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)

任意都有0+。,。一。,",2€2,除數(shù)（匕。0）,

b

則稱P是一個(gè)數(shù)域。例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集

F={a+b&也是數(shù)域。有下列命題：

①整數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)集QeM,則數(shù)集

M必為數(shù)域；③數(shù)域必為無限集；④存在無窮多個(gè)

數(shù)域。

其中正確命題的序號(hào)是o（把你認(rèn)

為正確命題的序號(hào)都填上）

【解析】：這道題目所占據(jù)的位置為填空題最后一

題，其意義在于“把關(guān)”，起到一個(gè)區(qū)分考生層次的

作用。雖然數(shù)域?qū)儆诟叩葦?shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)于高中生來

講是個(gè)新概念，但是只要認(rèn)真閱讀，理解其意義，

按題目提供的規(guī)則去分析，則不難解決一

①對(duì)除法如工定Z不滿足，所以排除，

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