五年級(jí)奧數(shù)幾何圓與扇形包含與排除和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（B級(jí)）學(xué)生版

捆地球的繩子

假設(shè)地球上即無(wú)山，又無(wú)海，完全像一個(gè)大圓球，現(xiàn)在想用一根很長(zhǎng)很長(zhǎng)的繩子，沿著赤道用繩子捆

上一圈，問(wèn)繩長(zhǎng)多少？如果繩長(zhǎng)加上1米，繩子圍成一個(gè)大圓圈之后，就要離開赤道一段距離，形成圍繞

地球的?個(gè)等距離的圓環(huán)，間圓環(huán)和地球之間的間隔有多大？(已知地球半徑約為6400千米，不取3.14)

答案提示：地球赤道長(zhǎng)：2乃廠=2x3.14x6400=40192(千米)，所以繩長(zhǎng)40192千米；

一般我們會(huì)想對(duì)于4萬(wàn)多千米來(lái)說(shuō)，僅僅延長(zhǎng)1米，會(huì)有多大的間隔？即使有間隔，恐怕也只能在顯微鏡

下才能看見！讓我們來(lái)計(jì)算一下吧！假如繩長(zhǎng)加上1米變?yōu)?0192001米，則有：

4()192001+2乃一6400()0()。().159(米)，大約為16厘米，差不多有一支鉛筆長(zhǎng)。簡(jiǎn)直不可思議！

圓的知識(shí)：

I.當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)0在平面上旋轉(zhuǎn)一周對(duì)，它的另一端點(diǎn)所畫成的封閉曲線叫做圓，

點(diǎn)0叫做這個(gè)圓的圓心.

2.連結(jié)一個(gè)圓的圓心和圓周上任一點(diǎn)的線段叫做圓的半徑.

3.連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做圓的弦；過(guò)圓心的弦叫做圓的直徑.

4.圓的周長(zhǎng)與直徑的比叫做圓周率；圓周上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧.

5.圓周長(zhǎng)=直徑XJT=半徑X2丸圓面積=^X半徑2

扇形的知識(shí)：

1.扇形圓心角.

2.我們經(jīng)常說(shuō)的!圓、，圓、，圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)兒分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形的圓

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心角占這個(gè)圓周角的幾分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是工.

3.扇形中的弧長(zhǎng)二黑.扇形的周長(zhǎng)二黑+2r.扇形的面積二"二=llr.

1801803602

弓形的知識(shí)：

弦與它所對(duì)的弧所組成的圖形叫做弓形?！疽话銇?lái)說(shuō)，弓形面積二扇形面積-三角形面積.（除了半圓）】

常用方法：

1.常用的思想方法：

①轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熱悉的）

②等積變形（割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等）

③借來(lái)還去（加減法）

④外圍入手（從會(huì)求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的“關(guān)系”）

2.包含與排除法：重疊想減就是應(yīng)用了包含與排除的思想，用包含與排除求面積時(shí)，關(guān)鍵是考慮重

疊部分的面積如何正確處理，應(yīng)該加上還是減去，要仔細(xì)思考，正確選擇。

3.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱：將不規(guī)則圖形或幾個(gè)圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱之后成為一個(gè)或幾個(gè)規(guī)則圖形進(jìn)行面積計(jì)算

的方法。

重點(diǎn)：利用容斥原理就是重疊相減法求面積。

旋轉(zhuǎn)圖形問(wèn)題的重點(diǎn)研究是當(dāng)一個(gè)圖形繞一點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)軌跡掃過(guò)的面積。

難點(diǎn)：利用容斥原理如何對(duì)重疊部分的面積進(jìn)行正確的處理。

如何利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱對(duì)所求圖形進(jìn)行簡(jiǎn)化。

/B3

［例1］如圖，直角三角形的邊長(zhǎng)分別為6,8,10,求陰影部分的面積.（兀取3）

【鞏固】如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓。的半徑為15,ABE是以C為圓心，AC為半徑的圓弧.求

陰影部分面積.

【例2】圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10厘米，寬是4厘米，那么忤中陰影部分的面積是多少？（用n的式子表

示）

【鞏固】如右圖，正方形的邊長(zhǎng)為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米，（用工的式子表示）

【例3】如圖所示，求陰影部分的面積。（用n的式子表示）

【鞏固】（2008年四中考題）已知三角形ABC是直角三角形，幺0=4cm,8c=2cm,求陰影部分的面積.（用

乃的式子表示）

【例3】三個(gè)圓的半徑都是5厘米，三個(gè)圓兩兩相交于圓心，求三塊陰影部分的面積之利。

【鞏固】四個(gè)小圓的半徑都是5厘米，大圓半徑為小圓的直徑，求三塊陰影部分的面積之和。

【例4］（奧林匹克決賽試題）在桌面上放置3個(gè)兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100

平方厘米，蓋住桌面的總面積是144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是42平方厘米.那么圖

中3個(gè)陰影部分的面積的和是多少平方厘米.

【鞏固】（2010年四中）四個(gè)圓的半徑都是10厘米，三個(gè)圓兩兩相交于圓心，求四塊陰影部分的面積之和。

［例5］草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只羊（見

如圖）.問(wèn)：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？（圓周率取）（用n的式子表示）

【鞏固】一只狗被拴在底座為邊長(zhǎng)3米的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長(zhǎng)是4米，求狗所能到的

地方的總面積.（圓周率按計(jì)算）

【例6】正三角形ABC的邊長(zhǎng)是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使力點(diǎn)再次落在這條直線上，那

么“點(diǎn)在翻滾過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路線總長(zhǎng)度是多少厘米？如果三角形面枳是15平方厘米，那么三角

形在滾動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積是多少平方厘米？（用n的式子表示）

【鞏固】如圖，一條直線上放著一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為4cM和3cM的長(zhǎng)方形I.它的對(duì)角線長(zhǎng)恰好是5cM.讓

這個(gè)長(zhǎng)方形繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后到達(dá)長(zhǎng)方形II的位置，這樣連續(xù)做三次?點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E

的位置.求點(diǎn)A走過(guò)的路程的長(zhǎng).（用71的式子表示）

［例7］如圖所示，直角三角形44C的斜邊長(zhǎng)為10厘米，N4BC=60。,此時(shí)8c長(zhǎng)5厘米.以點(diǎn)8

為中心，將"8C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，點(diǎn)力、C分別到達(dá)點(diǎn)E、力的位置.求/C邊掃過(guò)的圖形

即圖中陰影部分的面積.（冗取3）（用IT的式子表示）

【鞏固】（2006年數(shù)學(xué)解題能力高年級(jí)初試8題）如下圖，?是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊的長(zhǎng)度

是1米?，F(xiàn)在以C點(diǎn)為圓點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，那么，?!?邊在旋轉(zhuǎn)時(shí)所掃過(guò)的面積是多少平方

米（4=3.14）

［例8］如圖30-14,將長(zhǎng)方形ABCD繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，若AB=4,BC=3,AC=5,求AD動(dòng)掃過(guò)部

分的面積.（不取3.14）

【鞏固】（祖沖之杯競(jìng)賽試題）如圖，/8C0是一個(gè)長(zhǎng)為4,寬為3,對(duì)角線長(zhǎng)為5的正方形，它繞C點(diǎn)按

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，分別求出四邊掃過(guò)圖形的面積.

［例9］（2004年第九屆華杯賽初賽）半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)作無(wú)滑

動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動(dòng)一周回到原位時(shí)，問(wèn)小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？

【鞏固】如圖所示，大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的〃（〃〉1）倍，當(dāng)小圓在大圓內(nèi)側(cè)（外側(cè)）作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一圈后

乂回到原來(lái)的位置，小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了幾周？

1、下圖是一個(gè)直徑為3的半圓，讓這個(gè)半圓以A點(diǎn)為軸沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60度，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到夕點(diǎn),

求陰影部分的面積。（用TI的式子表示）

2、如圖，四個(gè)小圓為完全相同的圓，且半徑為2,如圖，求陰影部分的面積。

3、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10,寬為4,求圖中陰影部分的面積。（打取3）

4、直角三角形48c放在一條直線上，斜邊/C長(zhǎng)20厘米，直角邊8c長(zhǎng)10厘米.加下圖所示，二角形由

位置I繞片點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置II，此時(shí)8,C點(diǎn)分別到達(dá)4,G點(diǎn)；再繞4點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置HI,

此時(shí)彳，G點(diǎn)分別到達(dá)4,G點(diǎn).求c點(diǎn)經(jīng)G到C?走過(guò)的路徑的長(zhǎng).（用1r的式子表示）

5、有三個(gè)面積都是S的圓放在桌上,桌面被圓覆蓋的面積是2s+2,并且重合的兩塊是等面積的，直線a過(guò)兩

個(gè)圓心A、B,如果直線a下方被圓覆蓋的面積是9,求圓面枳S的值.

1、在解決圓與扇形的組合圖形時(shí)，先觀察圖形中自己會(huì)求得圖形的面積，然后再分析如何利用這幾個(gè)圖

形來(lái)求組合圖形的面積。

2、解決旋轉(zhuǎn)圖形的問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真分析運(yùn)動(dòng)著的物體所經(jīng)過(guò)的路線或范圍。

1、如圖所示，圓的半徑為4,BC=10,求陰影部分的面積。（用弘的式子表示）

2、如圖，矩形肪⑦中，"=6厘米，比三4厘米，扇形力配半徑絲=6厘米，扇形的'的半徑==4厘米,

求陰影部分的面積.（用n的式子表示）

3、在桌面上放置310。平方厘米，蓋住桌面的總面積是144立方厘米，1,2,3,部分的面積和為80,3張

紙片共同重疊的面積是陰影部分,求陰影部分得面積c

4、一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2,它的一半是一個(gè)等腰直角三角形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到如下圖型，求陰影

部分得面積。（用兀的式子表示）

5、（2008年數(shù)學(xué)試題）如圖，直角三角形44C中，NB為直角,且5c=2厘米，AC=4厘

米，則在將MBC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120＞的過(guò)程中，延邊掃過(guò)圖