浙江專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第4講直線平面平行的判定及其性質(zhì)練習(xí)含解析

PAGEPAGE8第4講直線、平面平行的判定及其性質(zhì)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．在空間內(nèi)，下列命題正確的是()A．平行直線的平行投影重合B．平行于同始終線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行解析：選D.對于A，平行直線的平行投影也可能相互平行，或?yàn)閮蓚€點(diǎn)，故A錯誤；對于B，平行于同始終線的兩個平面也可能相交，故B錯誤；對于C，垂直于同一平面的兩個平面也可能相交，故C錯誤；而D為直線和平面垂直的性質(zhì)定理，正確．2．設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.當(dāng)m∥β時，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥βD/?α∥β；當(dāng)α∥β時，α內(nèi)任始終線與β平行，因?yàn)閙?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．3．(2024·杭州中學(xué)高三期中)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α⊥γ，α⊥β，則γ∥βB．若m∥n，m?α，n?β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥βD．若m∥n，m∥α，則n∥α解析：選C.對于A，若α⊥γ，α⊥β，則γ與β平行或相交；對于B，若m∥n，m?α，n?β，則α與β平行或相交；對于D，若m∥n，m∥α，則n∥α或n在平面α內(nèi)．4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊eq\f(1,5)BD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG綊eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．5．如圖，若Ω是長方體ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EB1F-HC1G后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論不正確的是()A．EH∥FG B．四邊形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．Ω是棱臺解析：選D.因?yàn)镋H∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，所以EH∥平面BCGF，又因?yàn)镕G?平面BCGF，所以EH∥FG，故A正確；因?yàn)锽1C1⊥平面A1B1BA，EF?平面A1B1BA，所以B1C1⊥EF，則EH⊥EF，又由上面的分析知，EFGH為平行四邊形，故它是矩形，故B正確；因?yàn)镋H∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C正確．6．(2024·杭州二中期中考試)如圖，在多面體ABC-DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF解析：選A.取DG的中點(diǎn)為M，連接AM，F(xiàn)M，如圖所示．則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，所以DE綊FM，因?yàn)槠矫鍭BC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM.又AB＝DE，所以AB＝FM，所以四邊形ABFM是平行四邊形，即BF∥AM.又BF?平面ACGD，所以BF∥平面ACGD.故選A.7.如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是__________．解析：在平面ABD中，eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，所以MN∥BD.又MN?平面BCD，BD?平面BCD，所以MN∥平面BCD.答案：平行8.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．解析：因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC的中點(diǎn)．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)9．(2024·寧波效實(shí)中學(xué)模擬)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動，則M只需滿意條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能狀況)解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，則MN?平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：M位于線段FH上(答案不唯一)10．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，所得截面的面積是________．解析：如圖，取AB，C1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接A1E，A1F，EF，則平面A1EF∥平面BPC1.在△A1EF中，A1F＝A1E＝eq\r(5)，EF＝2eq\r(2)，S△A1EF＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(（\r(5)）2－（\r(2)）2)＝eq\r(6)，從而所得截面面積為2S△A1EF＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)11．如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中點(diǎn)．(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；(2)求證：平面A1GH∥平面BED1F.證明：(1)因?yàn)锳E＝B1G＝1，所以BG＝A1E＝2，因?yàn)锽G∥A1E，所以A1G∥BE.又因?yàn)镃1F綊B1G，所以FG∥C1B1∥D1A1，所以四邊形A1GFD1是平行四邊形．所以A1G∥D1F，所以D1F∥EB，故E、B、F、D1四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镠是B1C1的中點(diǎn)，所以B1H＝eq\f(3,2).又B1G＝1，所以eq\f(B1G,B1H)＝eq\f(2,3).又eq\f(FC,BC)＝eq\f(2,3)，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，所以△B1HG∽△CBF，所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，F(xiàn)B∩BE＝B，所以平面A1GH∥平面BED1F.12．如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解：(1)如圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時eq\f(A1D1,D1C1)＝1.連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)D1∥BC1.又因?yàn)镺D1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又因?yàn)閑q\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.[實(shí)力提升]1．如圖，透亮塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．其中正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.由題圖知，明顯①是正確的，②是錯的；對于③因?yàn)锳1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正確的；因?yàn)樗嵌康?定體積V)．所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正確的，故選C.2．(2024·杭州二中模擬)已知兩個不重合的平面α，β，給定以下條件：①α內(nèi)不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；②l，m是α內(nèi)的兩條直線，且l∥β，m∥β；③l，m是兩條異面直線，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判定α∥β的是()A．① B．②C．①③ D．③解析：選D.①中，α內(nèi)的三點(diǎn)中假如一點(diǎn)在平面β的一側(cè)，另兩點(diǎn)在平面β的另一側(cè)，也可滿意這三點(diǎn)到β的距離相等，所以①不符合題意．②中，l與m平行時，α與β也可能相交．③中，如圖所示，過直線l作一平面γ，設(shè)γ∩α＝a，γ∩β＝b.因?yàn)閘∥α，l∥β，所以l∥a，l∥b，所以a∥b，所以α∥β.過直線m作一平面σ，設(shè)σ∩α＝c，σ∩β＝d.因?yàn)閙∥α，m∥β，所以m∥c，m∥d，所以c∥d，所以c∥β.因?yàn)閘，m是兩條異面直線，所以a，c必相交，所以α∥β，所以③符合題意．3．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是重心，過G的平面α與BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，則MN＝________．解析：依據(jù)余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝39，所以BC＝eq\r(39).因?yàn)锽C∥α，MN＝α∥平面ABC，所以MN∥BC，又G是△ABC的重心，連接AG交BC于D，所以eq\f(AG,AD)＝eq\f(2,3)＝eq\f(MN,BC)，則MN＝eq\f(2,3)eq\r(39).答案：eq\f(2,3)eq\r(39)4．(2024·溫州中學(xué)高考模擬)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)P是棱AD上一點(diǎn)，且AP＝eq\f(a,3)，過B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________．解析：因?yàn)槠矫鍭1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.又因?yàn)锽1D1∥BD，所以BD∥PQ，設(shè)PQ∩AB＝M，因?yàn)锳B∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，所以PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a5．(2024·杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬)如圖，一個側(cè)棱長為l的直三棱柱ABC-A1B1C1容器中盛有液體(不計(jì)容器厚度)．若液面恰好分別過棱AC，BC，B1C1，A1C1的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G.(1)求證：平面DEFG∥平面ABB1A1；(2)當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，求液面的高．解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為棱AC，BC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥AB.又DE?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1A1.(2)當(dāng)直三棱柱ABC-A1B1C1容器的側(cè)面AA1B1B水平放置時，由(1)可知，液體部分是直四棱柱，其高即為原直三棱柱ABC-A1B1C1容器的高，即側(cè)棱長l，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，設(shè)液面的高為h，△ABC的面積為S，則由已知條件可知，△CDE∽△CAB，且S△CDE＝eq\f(1,4)S，所以S四邊形ABED＝eq\f(3,4)S.由于兩種狀態(tài)下液體體積相等，所以V液體＝Sh＝S四邊形ABEDl＝eq\f(3,4)Sl，即h＝eq\f(3,4)l.因此，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面的高為eq\f(3,4)l.6．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，過點(diǎn)E、F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形EFGH.(1)求證：A1E＝D1F