北師版初中七下數(shù)學(xué)4.1認(rèn)識(shí)三角形【教案】

1認(rèn)識(shí)三角形第1課時(shí)三角形的內(nèi)角和教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．通過(guò)具體實(shí)例，認(rèn)識(shí)三角形的概念及其基本要素，會(huì)將三角形按角分類(lèi)．2．掌握“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”，能應(yīng)用三角形內(nèi)角和解決一些簡(jiǎn)單的求三角形內(nèi)角的度數(shù)問(wèn)題，能發(fā)現(xiàn)“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”并會(huì)利用．3．通過(guò)觀察、操作、想象、推理“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”的活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理的表達(dá)能力．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；直角三角形的兩個(gè)銳角互余．【教學(xué)難點(diǎn)】探究、發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P81～P84的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】(一)三角形1．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2．“三角形”可以用符號(hào)“△”表示，如圖中頂點(diǎn)是A、B、C的三角形，記作△ABC.△ABC的三邊，有時(shí)也用a、b、c來(lái)表示，如圖中，頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c來(lái)表示．(二)三角形的內(nèi)角和1．利用三角板的三個(gè)角之和為多少度來(lái)探索三角形三個(gè)內(nèi)角的和．圖1圖2圖1：30°＋60°＋90°＝180°；圖2：45°＋45°＋90°＝180°.2．探索任意三角形三個(gè)內(nèi)角的和都等于180°.(1)如圖，剪一張三角形的紙片，它的三個(gè)內(nèi)角分別為∠1、∠2和∠3；(2)將∠1、∠2撕下，按圖所示將這兩個(gè)角拼在第三個(gè)角的頂點(diǎn)處，用量角器量出∠BCD的度數(shù)，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°；(3)將∠2、∠3撕下，按下圖拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度數(shù)，可得到∠BAC＋∠B＋∠C＝180°；(4)三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.(三)三角形的分類(lèi)1．三角形按內(nèi)角大小可以分為三類(lèi)：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．2．(1)通常，我們用符號(hào)“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”．把直角所對(duì)的邊稱(chēng)為直角三角形的斜邊，夾直角的兩條邊稱(chēng)為直角邊，如圖；(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即上圖中∠A＋∠B＝90°.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】如圖，DF⊥AB，∠A＝40°，∠D＝43°，則∠ACD的度數(shù)是________.【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)DF⊥AB，∠A＝40°→∠AEF＝50°(直角三角形兩銳角互余)→∠CED＝50°(對(duì)頂角相等)，由∠D＝43°→∠ACD＝87°(三角形內(nèi)角和定理)．【答案】87°【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”常常和三角形內(nèi)角和定理綜合起來(lái)求角的度數(shù)．【例2】如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從B島看A、C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)(方法一)A、B、C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB；(方法二)過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，求∠ACB的度數(shù)可轉(zhuǎn)化為利用平角為180°來(lái)求解．【解答】(方法一)根據(jù)題意，得∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.因?yàn)锳D∥BE，所以∠BAD＋∠ABE＝180°，所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，所以∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°，所以∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.即從B島看A、C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是90°.(方法二)∠ABC的求法同“方法一”中的求法．如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC交BE于點(diǎn)H，則CH⊥BE.因?yàn)椤螦CF＝180°－∠FAC－∠AFC＝180°－50°－90°＝40°，∠BCH＝180°－∠CBH－∠CHB＝180°－40°－90°＝50°，所以∠ACB＝180°－∠ACF－∠BCH＝180°－40°－50°＝90°.即從B島看A、C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是90°.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))由平行線的性質(zhì)把已知角與三角形的內(nèi)角相聯(lián)系，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可求出有關(guān)角的度數(shù)．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．已知一個(gè)三角形中一個(gè)角是銳角，那么這個(gè)三角形是(D)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能2．在△ABC中，BC邊的對(duì)應(yīng)角是(A)A．∠A B．∠BC．∠C D．∠D3．在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝∠C，則∠C＝50°.4．已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶3∶5，則這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為20°，60°，100°.5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，則圖中共有5個(gè)直角三角形．6．如圖，D是△ABC中BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF⊥AB交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E.若∠A＝46°，∠D＝50°，求∠ACB的度數(shù)．解：因?yàn)镈F⊥AB，所以∠DFB＝90°.又在△DFB中，∠D＝50°，所以∠B＝180°－∠DFB－∠D＝40°.又在△ABC中，∠A＝46°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1，有一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C．請(qǐng)寫(xiě)出∠BDC與∠A＋∠ABD＋∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．應(yīng)用：某零件如圖2所示，圖紙要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，當(dāng)檢驗(yàn)員量得∠BDC＝145°，就斷定這個(gè)零件不合格，你能說(shuō)出其中的道理嗎？圖1圖2【互動(dòng)探索】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理探究∠BDC與∠A＋∠ABD＋∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系，然后利用得到的關(guān)系求解應(yīng)用的問(wèn)題．【解答】探究與發(fā)現(xiàn)：∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD．理由如下：因?yàn)椤螧DC＋∠DBC＋∠DCB＝180°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋∠ABD＋∠ACD＋∠DBC＋∠DCB＝180°，所以∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD．應(yīng)用：能，連結(jié)BC．因?yàn)椤螦＝90°，∠ABD＝32°，∠ACD＝21°，所以由上述結(jié)論，得∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD＝143°.因?yàn)闄z驗(yàn)員量得∠BDC＝145°≠143°，所以這個(gè)零件不合格．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))1．三角形的定義由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．2．三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.3．三角形按角分類(lèi)三角形eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形))4．直角三角形的性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余．練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！第2課時(shí)三角形的三邊關(guān)系教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．結(jié)合具體實(shí)例，認(rèn)識(shí)等腰三角形和等邊三角形的概念及基本要素．2．在度量三角形邊長(zhǎng)的實(shí)踐活動(dòng)中理解三角形三邊的不等關(guān)系．3．掌握三角形的三邊的不等關(guān)系，并能解決相關(guān)問(wèn)題．4．經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】三角形的三邊關(guān)系．【教學(xué)難點(diǎn)】探究三角形的三邊關(guān)系及靈活應(yīng)用三邊關(guān)系解決生活中的實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P85～P86的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；三邊都相等的三角形叫做等邊三角形．2．三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊．3．下列長(zhǎng)度的三條線段能否組成三角形？(1)3,4,8；(不能)(2)2,5,6；(能)(3)5,6,10；(能)(4)5,6,11.(不能)環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))【例1】以下列各組線段為邊，能組成三角形的是()A．2,3,5 B．4,7,10C．1,1,3 D．3,4,9【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”逐項(xiàng)判斷即可．A中，2＋3＝5，不能組成三角形；B中，4＋7＞10，能組成三角形；C中，1＋1＜3，不能組成三角形；D中，3＋4＜9，不能組成三角形．【答案】B【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))判定三條線段能否組成三角形，只要判定兩條較短線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可．【例2】用一根長(zhǎng)為18厘米的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)等腰三角形．(1)如果腰長(zhǎng)是底邊的2倍，那么各邊的長(zhǎng)是多少？(2)能?chē)捎幸贿叺拈L(zhǎng)為4厘米的等腰三角形嗎？【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)(1)理解題意，得出等腰三角形的周長(zhǎng)是18厘米→列方程求解；(2)等腰三角形的周長(zhǎng)為18厘米→已知邊是腰還是底邊→分類(lèi)討論→得三角形另外兩邊長(zhǎng)→利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷→得出結(jié)論．【解答】(1)設(shè)底邊長(zhǎng)為x厘米，則腰長(zhǎng)為2x厘米．根據(jù)題意，得x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6.所以三邊長(zhǎng)分別為3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米．(2)分情況討論：①當(dāng)4厘米長(zhǎng)為底邊時(shí)，設(shè)腰長(zhǎng)為x厘米，則4＋2x＝18，解得x＝7.所以等腰三角形的三邊長(zhǎng)為7厘米、7厘米、4厘米．②當(dāng)4厘米長(zhǎng)為腰長(zhǎng)時(shí)，設(shè)底邊長(zhǎng)為x厘米，則4×2＋x＝18，解得x＝10.此時(shí)三邊長(zhǎng)為4厘米、4厘米、10厘米．而4＋4<10，所以此時(shí)不能構(gòu)成三角形．故能?chē)傻走呴L(zhǎng)為4厘米，腰長(zhǎng)為7厘米的等腰三角形．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))當(dāng)已知等腰三角形的周長(zhǎng)和一邊長(zhǎng)時(shí)，需要分類(lèi)討論已知的一邊長(zhǎng)是腰還是底邊，再解決問(wèn)題．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．下列說(shuō)法：①等邊三角形是等腰三角形；②三角形任意兩邊的和大于第三邊；③三角形按邊分類(lèi)可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；④三角形按角分類(lèi)應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中正確的有(C)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)2．已知a、b、c為三角形的三邊，則|a＋b－c|－|b－c－a|的化簡(jiǎn)結(jié)果是(D)A．2a B．－2bC．2a＋2b D．2b－2c3．已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是3和7，則此三角形第三邊的長(zhǎng)可能是(C)A．1 B．2C．8 D．114．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和6cm，且它的周長(zhǎng)大于14cm，則第三邊長(zhǎng)為6cm.5．已知三角形的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且三角形的周長(zhǎng)小于20，求三邊的長(zhǎng)．解：設(shè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為x－1，x，x＋1.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得x－1＋x＞x＋1，解得x＞2.因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)小于20，所以x－1＋x＋x＋1＜20，解得x＜eq\f(20,3).所以2＜x＜eq\f(20,3)且x為整數(shù)，所以x為3,4,5,6.當(dāng)x＝3時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為2,3,4；當(dāng)x＝4時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為3,4,5；當(dāng)x＝5時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為4,5,6；當(dāng)x＝6時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)分別為5,6,7.環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))1．等腰三角形：有兩邊相等的三角形．2．等邊三角形：三邊都相等的三角形．3．三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！第3課時(shí)三角形的中線、角平分線教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．理解并掌握三角形的中線、角平分線的定義，認(rèn)識(shí)三角形的重心．2．能準(zhǔn)確畫(huà)出三角形的中線、角平分線．3．理解并掌握三角形中線、角平分線的性質(zhì)．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】三角形的中線、角平分線的定義及其性質(zhì)．【教學(xué)難點(diǎn)】三角形的中線、角平分線的畫(huà)法及應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P87～P88的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】(一)三角形的中線1．在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線．三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心.2．如圖，點(diǎn)D、E、F分別是邊BC、AC、AB上的中點(diǎn)．(1)AB邊上的中線是CF，BC邊上的中線是AD，AC邊上的中線是BE；(2)因?yàn)锽E是△ABC中AC邊上的中線，所以AE＝CE＝eq\f(1,2)AC.因?yàn)镃F是△ABC中AB邊上的中線，所以AB＝2AF＝2BF.(二)三角形的角平分線1．在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線交于一點(diǎn).2．(1)因?yàn)锽E是△ABC的角平分線，所以∠ABE＝∠CBE＝eq\f(1,2)∠ABC；(2)因?yàn)镃F是△ABC的角平分線，所以∠ACB＝2∠ACF＝2∠BCF.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))(一)畫(huà)三角形的中線如圖，線段AD是△ABC中BC邊上的中線．討論1：分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫(huà)出所有的中線，觀察中線與三角形的位置關(guān)系．作圖：結(jié)論：由作圖可得：(1)三角形的三條中線相交于一點(diǎn)；(2)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線都相交于三角形的內(nèi)部．(二)畫(huà)三角形的角平分線如圖，線段AD是△ABC的一條角平分線，圖中∠BAD＝∠CAD．討論2：分別在下列銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中畫(huà)出所有的角平分線，觀察角平分線與三角形的位置關(guān)系．作圖：結(jié)論：由作圖可得：(1)三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)；(2)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線都相交于三角形的內(nèi)部．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．如圖，在△ABC中有四條線段DE、BE、EG、FG，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是(B)A．線段DE B．線段BEC．線段EG D．線段FG2．如圖，DE∥BC，CD是∠ACB的平分線，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝30度．3．如圖，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長(zhǎng)．解：因?yàn)镃D為△ABC的AB邊上的中線，所以AD＝BD．因?yàn)椤鰾CD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，所以(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝3cm，所以BC－AC＝3cm.因?yàn)锽C＝8cm，所以AC＝5cm.環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))三角形的中線：(1)定義；(2)畫(huà)法；(3)三角形重心的定義．三角形的角平分線：(1)定義；(2)畫(huà)法；(3)三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！第4課時(shí)三角形的高教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．認(rèn)識(shí)三角形的高線，會(huì)畫(huà)任意三角形的高線，了解三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)．2．通過(guò)折紙、畫(huà)圖等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，提高學(xué)生的識(shí)圖技能，使學(xué)生的思維變得更靈活．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】三角形高線的定義，會(huì)畫(huà)任意三角形的高．【教學(xué)難點(diǎn)】畫(huà)鈍角三角形夾鈍角的兩邊上的高和三角形高的應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P89～P90的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高．2．三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)．3．分別指出下圖中△ABC的三條高．圖1圖2(1)圖1中，直角邊BC上的高是AB，直角邊AB上的高是BC，斜邊AC上的高是BD；(2)圖2中，AB邊上的高是CE，BC邊上的高是AD，AC邊上的高是BF.環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組討論(師生互學(xué))用工具準(zhǔn)確畫(huà)出三角形的高如圖，線段AD是△AB