初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納全

第一章《有理數(shù)》總復(fù)習(xí)

一、基本概念

1、正數(shù)與負(fù)數(shù)

①表示大小

②在實(shí)際中表示意義相反的量

③帶“-”號的數(shù)并不都是負(fù)數(shù)

1.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的概念

正數(shù)負(fù)數(shù)4：

31。叫做零，0既不是正

象1、2.5、3、48數(shù)也不是負(fù)數(shù)

象-、

等大于零的數(shù)叫正數(shù)1-2.5,-5,-48

等小于零的數(shù)叫負(fù)數(shù)

1.對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單的理解為：帶“+”號的數(shù)是正數(shù)，帶“一”號的數(shù)是負(fù)數(shù)。

2.引入負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍擴(kuò)大為有理數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)的外延也由自然數(shù)擴(kuò)大為整數(shù)，整數(shù)也可以分為奇數(shù)和偶

數(shù)兩類，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)，

3.到現(xiàn)在為止，我們學(xué)過的數(shù)細(xì)分有五類：正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、0、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，但研究問題時，通常把有理

數(shù)分為三類：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，進(jìn)行討論。

4.通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)；負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正

整數(shù)。

分?jǐn)?shù)和小數(shù)的區(qū)別：

分?jǐn)?shù)(既約分?jǐn)?shù))都可表示成小數(shù)，但不是所有的小數(shù)都能表示成分?jǐn)?shù)的。如圓周率元就不能表示成分?jǐn)?shù)。

5.數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界。0的意義已不僅是表示“沒有”.

2、甲軸

,原點(diǎn)

①三,素正方向

單位長度

應(yīng)用

定義三要素

數(shù)形結(jié)合

原點(diǎn)幫助理解有理數(shù)的概

規(guī)定了原點(diǎn)、比較有理數(shù)大小，

念，每個有理數(shù)都可用

正方向、單位數(shù)軸上右邊的數(shù)

正方向數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)

長度的直線總比左邊的數(shù)要

軸上的點(diǎn)并非都是有理

叫數(shù)軸大

單位長度數(shù)

1.數(shù)軸的概念

(1)規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.

這里包含兩個內(nèi)容：一是數(shù)熱的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度缺一不可.二是這三個要素都是

規(guī)定的.

（2）數(shù)軸能形象地表示數(shù)，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)并不都是有理

數(shù).

2.數(shù)軸的畫法

＜1）畫直線（一般畫成水平的）、定原點(diǎn)，標(biāo)出原點(diǎn)“0”.

（2）取原點(diǎn)向右方向?yàn)檎较?，并?biāo)出箭頭.

（3）選適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，各點(diǎn)。

（4）標(biāo)注數(shù)字時，負(fù)數(shù)的次序不能寫錯，

3.用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

（1）在數(shù)軸上表示的兩數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）由正、負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：正數(shù)都有大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

（3）比較大小時，用不等號順次連接三個數(shù)。

正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

因?yàn)檎龜?shù)都大于0,反過來，大于o的數(shù)都是正數(shù)，所以，我們可以用a〉0,表示a是正數(shù)；反之，知

道a是正數(shù)也可以表示為。＞0。

同理，。＜0,表示。是負(fù)數(shù)；反之a(chǎn)是負(fù)數(shù)也可以表示為。〈0°

3.正數(shù)軸常見幾種錯誤

1）沒有方向

2）沒有原點(diǎn)

3）單位長度不統(tǒng)一

②數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)

3、相反數(shù)

①只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0

②a的相反數(shù)-a

③a與b互為相反數(shù)a+b=0

相反數(shù)的意義

（1）只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)

（2）從數(shù)軸上看，位于原點(diǎn)兩旁，且與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)所表示的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

（3）0的相反數(shù)是0。也只有0的相反數(shù)是它的本身。

(4)相反數(shù)是表示兩個數(shù)的相互關(guān)系，不能單獨(dú)存在。

相反數(shù)的表示

在一個數(shù)的前面添上“一”號就成為原數(shù)的相反數(shù)。若。表示一個有理數(shù)，則。的相反數(shù)表示為一口。在一個數(shù)

的前面添上“+”號仍與原數(shù)相聯(lián)系同。例如，+7=7,特別地，+0=0,-0=0。

相反數(shù)的特性

若0石互為相反數(shù)，則。+8=0,反之若=0，則°。互為相反數(shù)。相反數(shù)是它本身的數(shù)是0

4.多重符號化簡

(1)相反數(shù)的意義是簡化多重符號的依據(jù)。如是一1的相反數(shù)，而一1的相反數(shù)為+1,所以

-(-1)■+1■1

O

(2)多重符號化簡的結(jié)果是由“一”號的個數(shù)決定的。如果“一”號是奇數(shù)個，則結(jié)果為負(fù)；如果是偶然數(shù)個,

則結(jié)果為正?？珊唽憺椤捌尕?fù)偶正”。

化簡一個數(shù)就是把多重符號化成單一符號，若結(jié)果是“+”號，一般省略不寫。

5、絕對值

①一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)距離，表示成|a|。

a,(a20)

②ljl=

-a(aWO)

1.絕對值的代數(shù)定義

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零.

2.絕對值的幾何定義

在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離，叫做這個數(shù)的絕對值.

3.絕對值的主要性質(zhì)

(2)一個實(shí)數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)，即|a|20,因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，絕對值最小的數(shù)是零.

(4)兩個相反數(shù)的絕對值相等.

運(yùn)用絕對值比較有理數(shù)的大小

1.兩個負(fù)數(shù)大小的比較，因?yàn)閮蓚€負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對值較大的負(fù)數(shù)一定在絕對值較小的負(fù)數(shù)

左邊，所以，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.

比較兩個負(fù)數(shù)的方法步驟是：

(1)先分別求出兩個負(fù)數(shù)的絕對值；

(2)比較這兩個絕對值的大?。?/p>

(3)根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”作出正確的判斷.

2.兩個正數(shù)大小的比較，與小學(xué)學(xué)習(xí)的方法一致，絕對值大的較大.

6、倒數(shù)：

知識結(jié)構(gòu)

①乘積是1的兩個數(shù)叫作互為倒數(shù)。即：=則互為倒數(shù)。

②a的倒數(shù)是1（aNO）

a

③a與b互為倒數(shù)ab=l

關(guān)于倒數(shù)的求法要注意：

（1）求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可.

（2）正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)仍是負(fù)數(shù).

（3）負(fù)倒數(shù)的定義：乘積是一1的兩個數(shù)互為負(fù)倒數(shù).

（4）0沒有倒數(shù)

①倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1②絕對值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)

③平方等于它本身的數(shù)是0,1④立方等于經(jīng)本身的數(shù)是±1,0

數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個點(diǎn)和原點(diǎn)的關(guān)系：關(guān)于原點(diǎn)對稱

7、乘方

1.求力個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方.

乘方的結(jié)果叫做累，相同的因數(shù)叫做底數(shù)，相同的因數(shù)的個數(shù)叫做指數(shù).一般地，在中，［取任意有理

數(shù)，力取正整數(shù).

注意：乘方是一種運(yùn)算，塞是乘方運(yùn)算的結(jié)果.看作是。的越次方的結(jié)果時，也可讀作《的八次塞.

（1）當(dāng)a>。時，a*〉0（國為正整數(shù)）；

/>0卜為正偶效）1

（2）當(dāng)n<0卜?<。卜為正奇鞅）1

（3）當(dāng)。?（）時，a*?0（岸為正整數(shù)）；

⑷『一產(chǎn)（國為正整數(shù)）；

21.121-1

a（力為正整數(shù)）；

a”>0（外為正整數(shù)，a為有理數(shù)）.

①乘方和幕的區(qū)別.

②（?。了與-a"的區(qū)別.

乘方符號法則

負(fù)數(shù)的積次嘉是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)，正數(shù)的任何次騫都是正數(shù)，。的任何正整數(shù)次累都是0

8、科學(xué)記數(shù)法

①把一個絕對值大于10的數(shù)表示成aX10n（其中1WIa|V10,n為正整數(shù)）

②指數(shù)n與原數(shù)的整數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系。

9、近似數(shù)與有效數(shù)字

①準(zhǔn)確數(shù)、近似數(shù)、精確度

精確到p位

②精疇要精確到0.001

保留三卜有效數(shù)字

③近似數(shù)的最后一位是什么位，這個數(shù)就精確到哪位。

④有效數(shù)字

⑤如何求較大數(shù)的近似數(shù)，有兩種方法，一種用單位，一種用科學(xué)記數(shù)法

10、有效數(shù)字：一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個數(shù)精確到哪一位，這時，從左邊第一個不

是。的數(shù)字起，到精確的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字.

明確近似數(shù)的有效數(shù)字需注意的兩點(diǎn)：一是從左邊第一個不是零的數(shù)起；二是從左邊第一個不是零的數(shù)起，到精

確的位數(shù)止，所有的數(shù)字，

如果是整數(shù)有效數(shù)字是構(gòu)成整數(shù)的個數(shù)

如果是小數(shù)，有效數(shù)字是這個小數(shù)從左邊的第一個非。的數(shù)字?jǐn)?shù)起到未位為上

二、有理數(shù)的分類

1、按整數(shù)與分?jǐn)?shù)分

正整數(shù)

莓?dāng)?shù)0，

工整數(shù)

W理數(shù)

正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)<

負(fù)分?jǐn)?shù)

2、按正負(fù)分

正整數(shù).

正審理數(shù)［

正介數(shù)

有*數(shù)0

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù),

負(fù)分?jǐn)?shù)

三、有理數(shù)的運(yùn)算

知識結(jié)構(gòu)

1有理數(shù)加法法則：

(1)同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加.

(2)絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為

相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.

(3)一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)

如果是同號相加I,取相同的符號，并把絕對值相加。如果是異號兩數(shù)相加，應(yīng)先判別絕對值的大小關(guān)系，如果絕

對值相等，則和為0;如果絕對值不相等，則和的符號取絕對值較大的加數(shù)的符號，和的絕對值就是較大的絕對值與較

小的絕對值的差。一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)-b)

引入相反數(shù)后，加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算

知識結(jié)構(gòu)

知識結(jié)構(gòu)

3有理數(shù)乘法法則

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘

任何數(shù)同0相乘，都得0.

方法規(guī)律

先確定積的符號，再把各個乘數(shù)的絕對值相乘，作為積的絕對值

1.有理數(shù)乘法法則，實(shí)際上是一種規(guī)定。行程問題是為了了解這種規(guī)定的合理性。

2.兩數(shù)相乘時，確定符號的依據(jù)是“同號得正，異號得負(fù)”.絕對值相乘也就是小學(xué)學(xué)過的算術(shù)乘法.

S.基礎(chǔ)較差的同學(xué)，要注意乘法求積的符號法則與加法求和的符號法則的區(qū)別。

4.幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0,則積就等于0.反之，如果積為0,則，至少有一個因數(shù)為0.

5.小學(xué)學(xué)過的乘法交換律、結(jié)合律,分配律對有理數(shù)乘法仍適用，需注意的是這里的字母a、b、c既可以

是正有理數(shù)、0,也可以是負(fù)有理數(shù)。

6.如果因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，一般要將它化為假分?jǐn)?shù)，以便于約分。

乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：（ab）c=a（be）

分配律：a（He）=ab+ac

4有理數(shù)除法法則：1除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).

2兩數(shù)相除，同號得+,異號得-，并把絕對值相加。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

有理數(shù)除法有兩種法則。

法則1：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。是把除法轉(zhuǎn)化為乘法來解決問題。

法則2是把有理數(shù)除法納入有理數(shù)運(yùn)算的統(tǒng)一程序：一確定符號；二計(jì)算絕對值。

5乘方符號法則：負(fù)數(shù)的積次第是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次塞是正數(shù)，正數(shù)的任何次第都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次第

都是0

五種運(yùn)算：

運(yùn)算：力n、減、乘、除、乘方；

運(yùn)算結(jié)果：和、差、積、商、

混合運(yùn)算順序：

①三級（乘方）二級（乘除）一級（加減）；

②同一級運(yùn)算應(yīng)從左到右進(jìn)行：

③有括號的先做括號內(nèi)的運(yùn)算；

④能簡便運(yùn)算的應(yīng)盡量簡便。

第二章《一元一次方程》總復(fù)習(xí)

一、主要概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程具有以下幾個特點(diǎn)：1、必須是等式的形式；2、只含一個未知數(shù)；3、未知數(shù)的次數(shù)是1次；4、分

母中不含未知數(shù).因此只有同時滿足以上四個特點(diǎn)的等式叫一元一次方程.

3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

4、解方程：求方程的解的過程叫做解方程。

二、等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

這兩個分別是移項(xiàng)和去分母的依據(jù).

三、解一元一次方程的一般步驟及根據(jù)

1、去分母-------------------等式的性質(zhì)2

2、去括號-------------------分配律

3、移項(xiàng)----------------------等式的性質(zhì)1

4、合并----------------------分配律

5、系數(shù)化為1----------------------等式的性質(zhì)2

6、驗(yàn)根----------------------把根分別代入方程的左右邊看求得的值是否相等

四、解一元一次方程的注意事項(xiàng)

1、分母是小數(shù)時，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分母轉(zhuǎn)化為整數(shù)；

2、去分母時，方程兩邊各項(xiàng)都乘各分母的最小公倍數(shù)，此時不含分母的項(xiàng)切勿漏乘，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于括號，去分

母后分子各項(xiàng)應(yīng)加括號；

3、去括號時，不要漏乘括號內(nèi)的項(xiàng)，不要弄錯符號；

4、移項(xiàng)時，切記要變號，不要丟項(xiàng)，有時先合并再移項(xiàng)，以免丟項(xiàng)；

5、系數(shù)化為1時，方程兩邊同乘以系數(shù)的倒數(shù)或同除以系數(shù)，不要弄錯符號；

6、不要生搬硬套解方程的步驟，具體問題具體分析，找到最佳解法。

7要注意所求得的解是否為原方程的解,即解完方程后，應(yīng)將所求得的解分別代入方程的左右兩邊，如果左邊

=右邊，說明所求的解是原方程的解；如果左邊工右邊，說明求解過程有錯誤，應(yīng)認(rèn)真檢查看是哪一步計(jì)算出了錯.這

一步可以不寫在書面上，但是不可疏漏.

五、列方程解應(yīng)用題的一般步驟

1、審題

2、設(shè)未數(shù)

3、找相等關(guān)系

4、列方程

5、解方程

6、檢驗(yàn)

7、寫出答案

等式?方程?方程的解

1.等式與方程的區(qū)別

表示相等關(guān)系的式子叫做等式.含有未知數(shù)的等式叫做方程，可見方程必須具備兩個條件：一是必須含有未知數(shù),

二是必須是一個等式.

2.等式性質(zhì)的應(yīng)用

應(yīng)用等式的性質(zhì)對等式進(jìn)行變形時，必須注意：（1）強(qiáng)調(diào)一個“都”字.性質(zhì)1告訴我們，等式兩邊都加上（或

減去）同一個數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式；性質(zhì)2也有個“都”字，要求對等式進(jìn)行變形的方式要保持對等，也就是

說，變形必須兩邊同時進(jìn)行.

3.方程的解與解方程

方程是一個有待于研究的等式，即研究這個等式中的未知數(shù)取什么確定數(shù)值時等式才成立.解方程的任務(wù)就是“確

定使方程左右兩邊相等的未知數(shù)所取的數(shù)值”，我們把這個值叫做方程的解（一元方程的解又叫做“根”）.這樣的值可

能有一個或多個，也可能沒有，所以方程可能有一解、多解，也可能無解.如3x-5=4x+3的解只有一個x=-8,方程2x-7

=5x-（3x+7）的解就有無數(shù)個，而方程2x-3=2x+2則無解.求方程的解或判定方程無解的過程叫做解方程.利用等式

的性質(zhì)，通過一定的變形，就可以求出方程的解.

4.方程解的檢驗(yàn)方法

要檢驗(yàn)一個數(shù)是不是方程的解，其方法是：將這個數(shù)代入方程的左邊和右邊，計(jì)算其左、右兩邊的值，如果左、

右兩邊的值相等，則這個數(shù)就是方程的解；如果左、右兩邊的值不等，則這個數(shù)就不是方程的解.

第三章《圖形初步認(rèn)識》總復(fù)習(xí)

(一)多姿多彩的圖形

一、常見的立體圖形

(1)柱體：

①棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個相鄰的四邊形的公共邊互相平行，由這些面圍成

的幾何體叫棱柱。如三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

②圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊圍繞它旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱

(2)錐體：

①棱錐：：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫棱錐。如三棱

錐、四棱錐、五棱錐等。

②圓錐：以宜角三角形一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊圍繞它旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。

(3)球體：

半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的兒何體叫做球體。

(4)多面體：

圍成棱柱和棱錐的面是平的面，像這樣的立體圖形叫做多面體。

如圖：下列圖形分別為：棱柱(長方體)、棱錐(三棱錐)、圓柱、球體、圓柱。

溫馨提示：空間想象能力的培養(yǎng)必須以日常觀察為基礎(chǔ)，從不同的方向看立體圖形關(guān)鍵是要分清楚物體各部分上

下左右的關(guān)系。

二、平面圖形：

立體圖形是由平面圖形所圍成的，因此研究立體圖形往往要從平面圖行開始。

圓是由曲線圍成的封閉圖形，由線段圍成的封閉圖形叫做多邊形，它具有兩個基本性質(zhì)：①由線段圍成，②是一

個封閉的圖形。按邊數(shù)多邊形可以分為：三角形、四邊形、五邊形等。

在多功形中三角形是最基本的圖形，仟何一個多功形都可以分割為若干個三角形，特別是從〃邊形的一個頂點(diǎn)出

發(fā)，可以將它分為(〃-2)三角形。

三、立體圖形的畫法一一三視圖法

①視圖的概念：

從正面、上面、左面三個方向看一物體，然后描繪出三張所看到的圖即視圖，這樣就把立體圖形轉(zhuǎn)化為了平面圖

形。

②正視圖、俯視圖、左視圖的概念：

從正面看到的圖形稱為正視圖；

從上面看到的圖形稱為俯視圖；

從左面看到的圖形稱為左視圖。

③視圖和立體圖形的聯(lián)系：

由立體圖形可以畫出該物體的三視圖，反之，由立體圖形的三視圖可以說出立體圖形的形狀。

四、立體圖形的展開圖：

（1）圓柱和圓錐的展開圖：

圓柱的側(cè)面展開是一個長方形，這個長方形的長和寬分別為圓柱的高和底面周長，圓錐展開是一個扇形。

（2）棱柱和棱錐的展開圖：

棱柱和棱錐都是由平面圍成的多面體，沿它們的某些棱剪開，所得到的平面圖形就是它們的平面展開圖，對于同

一個立體圖形當(dāng)我們按不同的方式展開式，得到的平面圖形是不同的。

（3）根據(jù)展開圖判斷立體圖形的規(guī)律：

①展開圖全是長方形或正方形時，應(yīng)考慮長方體或正方體；

②展開圖中有圓和長方形時一般是圓柱；

③展開圖中有扇形時應(yīng)考慮是圓錐：

④展開圖中有三角形時應(yīng)考慮棱錐或棱柱，當(dāng)展開圖中有兩個三角形和3個長方形應(yīng)為三棱柱，如果全是三角形

（4個）時應(yīng)為三棱錐。

多姿多彩的圖形導(dǎo)學(xué)

一、立體圖形

我們生活在立體三維世界中，隨時隨地看到和接觸到的物體都是立體的.有些物體，像石頭、植物等呈現(xiàn)出極不

規(guī)則的奇形怪狀.同時也有許多物體有較為規(guī)則的形狀.我們研究的是一些具有較為規(guī)則形狀的物體.如柱體、錐體、

球體等.

1.常見的立體圖形

日常生活中，我們常見這幾種立體圖形：圓柱、圓錐、正方體、長方體、棱柱、球.

說明：I.長方體和正方體都屬于棱柱，因?yàn)樗鼈儽容^常見，為大家所熟悉，所以在此單獨(dú)列出.

II.棱柱分為直棱柱和斜棱柱.________

（1）柱體c,__a

①圓柱：底面是圓，側(cè)面是曲面（如圖）.!

②棱柱：底面是多邊形，側(cè)面是長?.形或者正g形.麗宥蘭肥四棱柱、五棱柱、六棱柱等（如圖）.

⑵/a卒言?

①圓錐：底喋叫涉I,與曲面物弓J卜I1+勺

②棱錐：底面是多邊形，側(cè)面是三隹形.棱露看三贏、四棱錐、五棱錐、六棱錐等（如圖）.

（3）球體：封閉曲面組成的圖形.

（4）多面體：圍成立體圖形的面都是平的面，像這樣的立體圖形又稱為多面體.

2.棱柱與圓柱的區(qū)別及聯(lián)系

棱柱與圓柱有相同之處，又有許多差別，如何正確區(qū)分它們呢？

3.圓柱與圓錐的區(qū)別及聯(lián)系

圓柱與圓錐能比較容易地區(qū)別開來，則它們之間有什么相同或不同之處呢？

二、平面圖形日常生活中，我們還會遇到很多平面圖形（planefigure）.長方形、正方形、三角形、圓等

都是一些我們十分熟悉的平面圖形.生活中經(jīng)常遇到一些由簡單的平面圖形組合成的優(yōu)美圖案.

三、視圖

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.不識廬山真面目，只緣身在此山中.”這是宋代詩人蘇軾的《題西林壁》.這

首詩說的是：從前面看，覺得廬山是一座又開闊又高大的山嶺：從側(cè)面看，又覺得廬山是一座險峻陡峭的高峰；再從

遠(yuǎn)處和近處，從高處和低處看廬山，總覺得它千姿百態(tài)，變化無窮.我實(shí)在說不出到底什么才是廬山的真面目，因?yàn)?/p>

我自己就在廬山中呀.

這首詩正是詩人從不同方向觀察同一物體看到了不同的景觀的結(jié)果.下面我們也學(xué)著用詩人的眼光去從不同方向

觀察同一物體.

1.三視圖

主視圖：從正面看到的圖，

左視圖：從左面看到的圖，從上面看

俯視圖：從上面看到的圖.

下面我們看幾個由小正方體搭建成的圖如工圖所示:U

隊(duì)看一）——_7

當(dāng)我們從正面看就得到主視圖：從左面看就得到左視圖；從上面看就得到/晚修/（如：圖師不）

四、立體圖形的平面展開圖,一」,

許多立體圖形是由一些平面圖形圍城的，將它們適當(dāng)?shù)丶糸_，就可以啜睢面圖形.這就是我們以下要研究的

立體圖形的平面展開圖（net）.我們以正方體為例進(jìn)行研究.

將正方體展成一個平面圖形，是指正方形的六個面展開后所成的六個正方形中的每一個至少有一條邊與其他的正

方形的某條邊重合即相連.

則，具體應(yīng)該怎樣操作呢？

我們都知道，正方體有6個面，12條棱，如果把它展成平面圖形，6個正方形中的每一個正方形至少有一邊與其

他正方形相連.因此，我們從它的上底面入手，先將上底面中的四條棱中剪開二條，然后沿著和連著的棱有公共點(diǎn)的

側(cè)棱順次剪下去，到達(dá)下底面，然后再將下底面的四條棱中剪開三條，便可得到正方體的平面展開圖.

如圖，我們給正方體的12條棱進(jìn)行編號.

如果沿著棱②一③一④一⑤一?一?一⑩剪開，我們就得到展開圖（1）;

如果沿著②f③一④一⑤f⑨f⑩f?展開，就得到展開圖（2）；

如果沿著②f③f④一⑤一?一⑨f⑩展開就得到圖（3）；

如果沿著②f③f④一⑤一?一?一⑨展開，就可得到圖（4）.

展開的方法很多，剛才的展開圖，都是沿著和邊④有公共點(diǎn)的邊⑤剪開的，如果沿著和邊④也有公共點(diǎn)的邊

⑥剪開后，和以上四種展開圖差不多.

如果沿⑥繼續(xù)剪開，正方體的平面展開圖經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，平移等都可以得到以上四種展開圖，因此，我們在此不考慮

由于旋轉(zhuǎn)等造成的相對位置不同，將這種展開方式歸于前面一類.

同樣將上底面的②一③一④這三條棱展開，但接下來不沿著和①有公共點(diǎn)的棱⑤剪，而是沿著和①無公共點(diǎn)的側(cè)

棱⑦或⑧繼續(xù)剪至下底面的三條棱，便可得到如下兩個平面展開圖（圖（5）、圖（6））

我們可以觀察以上六個立方體的平面展開圖，它們有規(guī)律可尋找嗎？

這六個平面展開圖有共同的特性，中間連排的四個正方形恰好是正方體的側(cè)面，而分布側(cè)面兩邊的兩個正方形無

論和四個側(cè)面中的哪一個相連，都能是正方體的平面展開圖.

則，是不是立方體的平面展開圖只有六種呢？

我們還像前面那樣給正方體的每條棱做同樣的編號，如果沿著②一③一④剪開后，再分別沿著⑥一⑨一?和⑦剪

開，便可得到展開圖（7）.類似的還可以得到圖（8）、（9）.

在以上的幾種展開第中，是側(cè)前的:部丁芷才即.如果讓他們兩個兩個相連結(jié)果會如何呢？

我們剪出六個同樣大小的正比照作為咻的六個菽1國這六個面擺成下面兩個圖的情形，如圖（10）、（11）,

然后將它們折疊，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這方介面圍成S了飛傘正方體.⑼

(10)di)

只要沿著②一③f④剪開后，再分別沿⑤一和⑦以及⑨剪開便可得到圖（10）.

沿著②一③f④剪開后，再將⑥f⑩一和⑤剪開，便得到展開圖（11）.

我們再來看，如圖（12）,這個平面圖形經(jīng)過折疊后能否圍成一個正方體.

答案是否定的.因?yàn)榘岩粋€正方體展開后6個正方形的每一個正方形至少有一邊與其他正方形的某邊重合，

在這個圖中，雖然滿足了上面的要求，但右上角的正方形和相鄰的三個正方形相連的情形是無法折疊起來的，因此不

能圍成一個正方體.

則，將正方體的某些棱剪開，展成一個平面圖形，需要剪開幾條棱呢？

由于正方體有12條棱，6個面，將其表面展成一個平面圖形，其面與面之間相連的棱（即未剪開的棱）有5條，

因此需剪開7條棱.

五、點(diǎn)、線、面、體

幾何體也簡稱體（solid）.我們學(xué)過的長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體.

包圍著體的是面（surface）.面有平的面和曲的面兩種.平靜的水面（如圖）給我們以平面的形象，而酒杯（如

圖）的凹槽則給我們以曲面的形象.

夜晚流星劃過天空時留下一道明亮的光線（如圖），節(jié)日的焰火畫出的曲線組成優(yōu)美的圖案（如圖），這些

都給我們以線（line）的形象.面和面相交的地方形成線.

天上的星星、世界地圖上的城市等都給我們以點(diǎn)（point）的形象.線和線相交的地方是點(diǎn).

點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系：點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體.

幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的，點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素.點(diǎn)、線、面、體經(jīng)過運(yùn)動變化，就能組合成

各種各樣的幾何圖形，形成多姿多彩的圖形世界.

立體圖形j棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等。

1、兒何，形

平面圖形：三角形、四邊形、圓等。

主（正）視圖丁------從正面看

2、幾何體的三視圖側(cè)（左、右）視圖——從左（右）邊看

俯視圖---------------從上面看

（1）會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖。

（2）能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌汀?/p>

3、立體圖形的平面展開圖

（1）同一個立體圖形按不同的方式展開，得到的平現(xiàn)圖形不一樣的。

（2）了解直棱柱、圓柱、圓錐、的平面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作立體模型。

4、點(diǎn)、線、面、體

（1）幾何圖形的組成

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

（2）點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體。

快速識別正方體的平面展開圖

圖形分類

正方體的平面展開圖按展開圖中正方形所在的行數(shù)及正方形的個數(shù)，歸納起來有四情形.

1.1一4-1型：展開圖有3行，中間一行有4個正方形，其余兩行均1個正方形，如圖1中所示.

圖1

2.2—3—1型：展開圖有3行，中間一行有3個正方形，第1行有2個正方形，第3行有1個正方形，如圖2中

所示.

圖2

3.2—2—2型：展開圖有3行，每一行均有2個正方形，如圖3所示.

圖3圖4

4.3—3型：展開圖有2行，每一行均有3個正方形，如圖4所示.

規(guī)律：這里給出幾種不是正方體的展開圖的情況：

(1)出現(xiàn)“出”字格；

(2)由現(xiàn)的形狀；

(3)連續(xù)四個正方形連成一行,而另外兩個都在這“一行”的同側(cè)；

(4)連續(xù)五個連成一行。

記住上面這四個規(guī)律，解答時采用排除法又快又準(zhǔn)。

二.快速確定正方體的“對面”

如下圖，我們先來統(tǒng)一以下認(rèn)識：把含有圖(1)所示或可由其作旋轉(zhuǎn)后的圖形統(tǒng)稱為型圖；把所給平面

圖中含有(2)、(3)、(4)所示或可由其作旋轉(zhuǎn)后的圖形統(tǒng)稱為“Z”型圖。

(2)(3)(4)

結(jié)論：如果給定的平面圖形能折疊成一個正方體，則在這個平面圖形中所含的“/”型圖或“Z”型圖兩端的正

方形(陰影部分)必為折成正方體后的對面。

應(yīng)用上面的結(jié)論，我們可以迅速地確定出正方體的“對面”。

(二)直線、射線、線段

直線

1、直線的兩種表示方法:

(1)用直線上的兩個大寫字母表示.如圖：記作直線.

表示直線的兩個大寫字母可以是直線上的任意兩點(diǎn)，兩個字母的順序可以隨意排放

(2)用一個小寫字母表示.如圖：記作直線4.

若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則有AC=BC=TAB或AB=2AC=2BC.

兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)之間的線段的長度.

直線的性質(zhì)

經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。

簡單地：兩點(diǎn)確定一條直線。

點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

(1)0點(diǎn)在直線上，如圖，敘述方法：點(diǎn)。在直線。上，或直線《經(jīng)過點(diǎn)0.

(2)0點(diǎn)在直線外，如圖，敘述方法：點(diǎn)?在直線a外，或直線4不經(jīng)過點(diǎn)。.

相交直線

如果兩條直線有一個交點(diǎn)，我們叫這兩條直線相交.這個公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)，這兩條直線叫相交直線.

射線

射線：直線上的一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線，這個點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn).

射線的表示方法

(D可以用兩個大寫字母表示：代表端點(diǎn)的字母寫在前面。

(2)射線也可以用一個小寫字母表示.

線段

線段：直線上兩個點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段.這兩點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).4.線段的表示方法

線段的兩種表示方法：14、5為端點(diǎn)的線段，可以記作線段48或線段班

對字母的排放順序沒有要求；

2也可以記作線段a.

線段的中點(diǎn)(二等分點(diǎn))、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等

定義：把一條線段平均分成兩條相等線段的點(diǎn)。

圖形：

AMB

符號：若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),則AM=BM=AB,AB=2AM=2BM<?

線段的性質(zhì)

兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡單地：兩點(diǎn)之間，線段最短。

線段的畫法

(1)畫線段時，要畫出兩個端點(diǎn)之間的部分，不要畫出向任何一方延伸的情況.

(2)以后我們說“連結(jié)法”就是指畫以同、B為端點(diǎn)的線段.說明：“連結(jié)”是幾何的專用名詞，專

指畫M兩點(diǎn)間的線段的意思.

線段大小比較的兩種比較方法：

1重疊比較法將兩條線段的各一個端點(diǎn)對齊，看另一個端點(diǎn)的位置.步驟有三：

U)將線段AB的端點(diǎn)A與線段CD的端點(diǎn)C重合.

(2)線段AB沿著線段CD的方向落下.

(3)若端點(diǎn)B與端點(diǎn)D重合，則得到線段AB等于線段CD,可以記AB=CD.

若端點(diǎn)B落在D上，則得到線段AB小于線段CD,可以記作ABVCD.

若端點(diǎn)B落在D外，則得到線段AB大于線段CD,可以記作ABACD.

2度量法

直線射線線段區(qū)別聯(lián)系

直線射線線段

圖形

直線上的一點(diǎn)和它直線上兩個點(diǎn)和它

一旁的部分叫做射們之間的部分叫做

定義

線，這個點(diǎn)叫做射線段.這兩點(diǎn)叫做線

線的端點(diǎn).段的端點(diǎn).

聯(lián)系射線、線段都是直線的一部分，線段是直線的有限部分.

直線無端點(diǎn)，長度無限，向兩方無限延伸.射線只有一個

區(qū)別端點(diǎn)，長度無限，向一方無限延伸.線段有兩個端點(diǎn)，長

度有限.

端點(diǎn)個數(shù)無一個兩個

直線a線段a

表示法射線AB

直線AB(BA)線段AB(BA)

作線段a；

作直線AB；

作法敘述作射線AB作線段AB；

作直線a

連接AB

延長線段AB；

延長敘述不能延長反向延長射線AB

反向延長線段BA

端點(diǎn)個

延伸方向可否度量表示方法相同點(diǎn)

數(shù)

線段2無能兩種

向一方延都是直的，由無數(shù)個點(diǎn)組

射線1不能兩種

伸成，沒有粗細(xì)之分，線段、

向兩方延射線都是直線的一部分。

直線0不能兩種

伸

1、直線沒有端點(diǎn)，他可以向兩方無限延伸，因此他的長度是無限的，我們不能度量他的長度；射線有一個端點(diǎn),

他可以向一方無限延伸，因此他的長度也是無限的；線段有兩個端點(diǎn)，他不能向任何一方延伸，所以既可以度量他們

的長度，也可以用度量法或疊合法（即把其中一條線段移到另一條線段上去）比較他們的大小。

另外，線段不能延伸，但他可以延長，而直線和射線能延伸，卻不能延長。特別地，射線可以反向延長。

2、如圖，三兄弟都可以用一個小寫字母來表示，但用大小字母來表示時，就要注意：

①線段用表示端點(diǎn)的兩個字母來表示，圖1中的線段可表示為線段AB或線段BA；

②射線用表示端點(diǎn)的字母和表示射線上另一點(diǎn)的字母來表示的，這兩個字母有嚴(yán)格的先后順序，必須把表示端點(diǎn)

的字母寫在前面，圖2中的射線只能表示為射線0C；

③直線可以用它上面的任意兩個點(diǎn)的字母來表示，圖3中的直線可表示為直線DE或直線EDo

3、如圖3,過點(diǎn)D和E有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，這里的“確定”和“有且只有”的含義相同。

“有”是指直線的存在性，“只有”指直線的惟一性。不難看出，過點(diǎn)D、E的線段和射線都是存在的，但他們都不是

惟?的。

4、線段是三兄弟中最小的，他的故事卻是最多的，這里先向大家介紹兩個：

（1）把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)。如圖，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則有

AC=CB=LAB,或AB=2AC=2BCoA~C~B

2

（2）兩點(diǎn)之間，線段最短。

（三）角

1.角的相關(guān)概念及計(jì)算

尸止的定義

一正乂二1"旋轉(zhuǎn)的定義

一表不方法

—度量一度、分、秋進(jìn)位制60）

角-、_

誓2「同危或等角通余角相等

二？鱉色力「同用或等角通補(bǔ)角相等

1-用角度表示萬位

角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)叫角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫角的兩邊.

角：角還可以看成是一條射線從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

2、角的表示法（四種）：

平角、周角的概念

射線0A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，終止位置03和起始位置。4成一條直線時，所成的角叫平角，如圖2所示.同樣可

表示為乙408，頂點(diǎn)°，兩邊為射線。4和射線05.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，回到起始位置時，所成的角叫做周角，如

圖3所示.周角的頂點(diǎn)為0,兩邊重合成一條射線.

直線上取點(diǎn)表示點(diǎn)在直線上的位置，而平角是由頂點(diǎn)和邊組成的角這一幾何圖形.

3、角的度量單位及換算

度、分、秒的互換：如果一個角比1°還小，則怎樣度量它的大??？為了更秘密地度量角.我們把1°的角60等

份，每一份叫做1分的角，1分記作1';又把1'的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒記作1''.即1°=60',1'

=60''.這表明角的度、分、秒是60進(jìn)制的，這和計(jì)量時間的時、分、秒是一樣的.

4、角的分類

NB銳角直角鈍角平角周角

范圍0<ZP<90°ZB=90°900<Z3<180°Z3=180°Z3=360°

知識結(jié)構(gòu)

5角的大小的比較有兩種方法：

(1)重合法：即把要比較的兩個角的頂點(diǎn)和一條邊重合，再比較另一條邊的位置；

①EF與BC重合，ZDEF等于乙必C,記作“?乙3C.

②EF落在乙由C的內(nèi)部，/DEF小于“C,記作"EF<5C.

③EF落在4加C的外部，/DEF大于"SC,記作ZPEF>乙蛆C.

在比較角的大小時，應(yīng)注意角的大小只與開口的大小有關(guān)，而與角的邊畫出部分的長短無關(guān).這是因?yàn)榻堑倪吺?/p>

射線而非線段.若用射線旋轉(zhuǎn)成角的定義，也可以說轉(zhuǎn)得較多的角較大.

(2)度量法：即比較兩個角的度數(shù).

利用比較角大小的上述兩種方法，就可以畫出角的和、差、倍、分，并進(jìn)而比較角的和、差、倍、分的大小.

6角的和、差、倍、分

(1)Z2在4內(nèi)部時，ZABC是N1與N2的差，記作：乙蛆.

(2)G在N1外部時，是/I與，2的和，記作：乙D￡F?Z1+A.

7、畫一個角等于已知角

(1)借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0?180。之間共能畫出11個角。

(2)借助量角器能畫出給定度數(shù)的角。

(3)用尺規(guī)作圖法。

8、角平分線

定義：一條射線杷一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.

幾何語言表示："是ZX函的平分線，ZAM2ZXZCOB--zMB)

對于角平分線的概念，要注意以下兩點(diǎn)：

(1)它是角的內(nèi)部的一條射線，并且是一條特殊的射線，它把角分成了相等的兩部分.

(2)要掌握角平分線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：若0C是乙<第的平分線，則乙48&或

Zi<OC-ZCCB-izXQB.

知識結(jié)構(gòu)

9、互余、互補(bǔ)

(1)若Nl+N2=90°,則N1與N2互為余角。其中/I是/2的余角，N2是/I的余角。

(2)若Nl+N2=180。，則N1與N2互為補(bǔ)角。其中N1是N2的補(bǔ)角，N2是N1的補(bǔ)角。

（3）余（補(bǔ)）角的性質(zhì)：等角的補(bǔ)（余）角相等。

VZ1與/2互補(bǔ)，.?."?A>80*gpZ2-18O*-Zl.

VZ3與24互補(bǔ)，,\Z3+Z4-I8（r即N4?l8Cf?z3.

?/Z1-Z3,/.Z2-Z4.

若兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角，若兩個角的和是一個平角，這兩個角叫做互為補(bǔ)角.理解這

兩個概念，要把握以下幾點(diǎn)：（1）必須具備兩個角；（2）兩個角的和是一個定值：互余兩角的和是，互補(bǔ)兩角的和

是；（3）與兩個角的位置無關(guān)，只考慮兩角間的數(shù)量關(guān)系.

10、方向角

（1）正方向

（2）北（南）偏東（西）方向

（3）東（西）北（南）方向

第四章數(shù)據(jù)的收集與整理

一、數(shù)據(jù)處理的一般過程

二、設(shè)計(jì)調(diào)查問卷的步驟

1、確定調(diào)查目的

2、選擇調(diào)查對象

3、設(shè)計(jì)調(diào)查問題

三、設(shè)計(jì)調(diào)查問卷時要注意

1、提問時不涉及提者個人的觀點(diǎn)2、不要提人們不原意回答的問題

3、提供的答案要盡可能全面4、問題應(yīng)簡明5、問卷應(yīng)簡短

1.普查、抽樣調(diào)查的概念

為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查.

普查可以直接獲得總體的情況，但有時總體中個體的數(shù)目較多，普查的工作量較大；有時受客觀條件的限制，無法對

所有個體進(jìn)行普查；有時普查具有破壞性，不允許普查，這時人們往往從總體中抽取部分個體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查

稱為抽樣調(diào)查.

如何從總體中選取樣本比較合理

要想使樣本具有代表性，不偏向總體中的某些個性，有一個對每個個體都公平的方法，決定哪些個體進(jìn)入樣本，這

種理想的抽樣方法我們把它稱為簡單的隨機(jī)抽樣.簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣.其特點(diǎn)是：每個樣本單位被抽中的

可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性.簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣

形式的基砒通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法.為了確保調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性，調(diào)

有對象在總體中要有代表性，樣本容量要足夠大.

如何進(jìn)行隨機(jī)抽樣

常見的隨機(jī)抽樣方式有以下幾種：

1.抽簽法

抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一

個號簽，連續(xù)抽取n