2024人教A版高一數(shù)學：必修4122122同角三角函數(shù)的基本關系教學設計語文

2024人教A版高一數(shù)學：必修4122122同角三角函數(shù)的基本關系教學設計語文?一、教學目標1.知識與技能目標理解同角三角函數(shù)的基本關系，能運用這些關系進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明。能根據(jù)已知三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值，掌握已知一個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的方法。2.過程與方法目標通過探究同角三角函數(shù)的基本關系，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納和概括的能力，體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法。在運用同角三角函數(shù)基本關系解題的過程中，提高學生的運算能力和邏輯推理能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過自主探究與合作交流，讓學生體驗成功的喜悅，增強學習數(shù)學的自信心。培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和勇于探索的精神，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。二、教學重難點1.教學重點同角三角函數(shù)基本關系的推導與理解。運用同角三角函數(shù)基本關系進行化簡、求值和證明。2.教學難點理解同角三角函數(shù)基本關系中"同角"的含義，以及在具體問題中如何靈活運用這些關系。三角函數(shù)值符號的確定，特別是在已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時，要根據(jù)角所在象限準確確定符號。三、教學方法1.講授法：講解同角三角函數(shù)基本關系的概念、推導過程和應用方法，使學生系統(tǒng)地掌握知識。2.探究法：引導學生通過自主探究、小組合作等方式，探究同角三角函數(shù)基本關系的推導過程，培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新思維。3.練習法：通過適量的練習題，讓學生鞏固所學知識，提高運用同角三角函數(shù)基本關系解題的能力。四、教學過程（一）新課導入1.復習回顧提問學生：什么是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)？讓學生在直角坐標系中畫出一個角\(\alpha\)，并指出\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\)的幾何意義。2.情境引入展示一個直角三角形，已知其中一個銳角的正弦值，如何求出這個角的余弦值和正切值呢？引導學生思考：在同一個角\(\alpha\)的三角函數(shù)之間是否存在某種內(nèi)在聯(lián)系呢？從而引出本節(jié)課的主題同角三角函數(shù)的基本關系。（二）探究新知1.同角三角函數(shù)基本關系的推導讓學生利用三角函數(shù)的定義，在直角坐標系中，設角\(\alpha\)終邊上一點\(P(x,y)\)，\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，則\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)\)。引導學生探究\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\)的值：\[\begin{align*}\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha&=(\frac{y}{r})^{2}+(\frac{x}{r})^{2}\\&=\frac{y^{2}}{r^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}}\\&=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}\\&=1\end{align*}\]再探究\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)與\(\tan\alpha\)的關系：因為\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\)，\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{y}{x}(x\neq0)\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)?？偨Y同角三角函數(shù)的基本關系：平方關系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)。商數(shù)關系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ)\)。2.對基本關系的理解強調(diào)"同角"的含義：即角是同一個角，但不一定是具體的某個度數(shù)，只要是同一個角的三角函數(shù)之間就滿足這些關系。讓學生思考：\(\sin^{2}2\alpha+\cos^{2}3\alpha=1\)是否成立？為什么？引導學生進一步理解同角的重要性。分析平方關系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)的變形：\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha\)。\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha\)。強調(diào)商數(shù)關系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)成立的條件是\(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，因為當\(\alpha=k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)時，\(\cos\alpha=0\)，\(\tan\alpha\)無意義。（三）例題講解1.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。分析：因為\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1\sin^{2}\alpha}\)。又因為\(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中余弦值為負，所以\(\cos\alpha\lt0\)。解：由\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可得：\(\cos\alpha=\sqrt{1(\frac{3}{5})^{2}}=\sqrt{1\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)再根據(jù)\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，可得：\(\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)總結：已知一個角的正弦值求余弦值時，要根據(jù)角所在象限確定余弦值的符號；求正切值時，直接利用商數(shù)關系。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)的值。分析：將所求式子分子分母同時除以\(\cos\alpha\)，然后利用\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)進行化簡求值。解：\[\begin{align*}\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}&=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}\\&=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\\&=\frac{2+1}{21}\\&=3\end{align*}\]總結：對于含有\(zhòng)(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)的齊次式（即式子中各項的次數(shù)相同），可以通過分子分母同時除以\(\cos\alpha\)的適當次冪，將其轉化為只含有\(zhòng)(\tan\alpha\)的式子來求值。3.求證：\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)。分析：要證明等式成立，可以通過交叉相乘，將等式兩邊化為相同的形式，再利用同角三角函數(shù)基本關系進行證明。證明：左邊\(=\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\)，右邊\(=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)。左邊\(\times\)右邊\(=\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\times\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{1\cos\alpha}\)。由\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可得\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha=(1+\cos\alpha)(1\cos\alpha)\)，即\(\frac{1+\cos\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha}{(1\cos\alpha)^{2}}\)。所以\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}\times\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=1\)，即左邊\(=\)右邊，原等式成立。總結：證明三角函數(shù)等式時，通常從一邊開始，通過適當?shù)淖冃?，利用同角三角函?shù)基本關系，逐步推導出另一邊，也可以兩邊同時變形，使其都等于同一個式子來證明。（四）課堂練習1.已知\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)是第三象限角，求\(\sin\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，求\(\cos^{2}\alpha\)的值。3.求證：\(\frac{\cos\alpha}{1\sin\alpha}=\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。（五）課堂小結1.同角三角函數(shù)的基本關系：平方關系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)。商數(shù)關系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ)\)。2.運用同角三角函數(shù)基本關系解題時的注意事項：注意"同角"的含義。求三角函數(shù)值時要根據(jù)角所在象限確定符號。對于齊次式可以通過除以\(\cos\alpha\)轉化為\(\tan\alpha\)來求值。證明三角函數(shù)等式時要靈活運用基本關系進行變形推導。（六）布置作業(yè)1.書面作業(yè)：教材P21練習第1、2、3題；習題1.2A組第5、6題。2.拓展作業(yè)：已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(0\lt\alpha\lt\pi\)，求\(\tan\alpha\)的值。五、教學反思