數(shù)學(xué)分析教案九含參量積分

數(shù)學(xué)分析教案九含參量積分?一、教學(xué)目標(biāo)1.理解含參量正常積分的概念，掌握其連續(xù)性、可微性與可積性定理，并能熟練運(yùn)用這些定理進(jìn)行相關(guān)的證明與計(jì)算。2.了解含參量反常積分的一致收斂概念，掌握一致收斂的判別法，包括魏爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。3.理解含參量反常積分的連續(xù)性、可微性與可積性定理，并能運(yùn)用這些定理解決相關(guān)問題。4.通過含參量積分的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論的理解和應(yīng)用水平。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)含參量正常積分的性質(zhì)及其應(yīng)用。含參量反常積分一致收斂的概念和判別法。含參量反常積分的性質(zhì)及其應(yīng)用。2.難點(diǎn)含參量正常積分性質(zhì)的證明思路和方法。含參量反常積分一致收斂性的判別，特別是狄利克雷判別法和阿貝爾判別法的應(yīng)用。含參量反常積分性質(zhì)的證明及其在具體問題中的應(yīng)用。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入（5分鐘）通過回顧定積分的概念和計(jì)算方法，引出含參量積分的概念。例如，在計(jì)算一些實(shí)際問題中的積分時(shí)，積分表達(dá)式中可能會(huì)出現(xiàn)參數(shù)，這就需要研究含參量積分的性質(zhì)和計(jì)算方法。（二）含參量正常積分（25分鐘）1.定義設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在矩形區(qū)域$R=[a,b]×[c,d]$上有定義。若對(duì)于$[a,b]$上每一固定的$x$，積分$\int_{c}^dg0xguif(x,y)dy$都存在，則它是$x$在$[a,b]$上的函數(shù)，記作$I(x)=\int_{c}^kozi9a4f(x,y)dy$，稱它為含參量$x$的正常積分，簡(jiǎn)稱含參量積分。2.連續(xù)性定理19.1（連續(xù)性）：若函數(shù)$f(x,y)$在矩形區(qū)域$R=[a,b]×[c,d]$上連續(xù)，則函數(shù)$I(x)=\int_{c}^oy5udw0f(x,y)dy$在$[a,b]$上連續(xù)。證明思路：利用連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性，通過$\vertI(x+\Deltax)I(x)\vert$的估計(jì)來證明。3.可微性定理19.2（可微性）：若函數(shù)$f(x,y)$與$f_x(x,y)$都在矩形區(qū)域$R=[a,b]×[c,d]$上連續(xù)，則函數(shù)$I(x)=\int_{c}^edyhfj4f(x,y)dy$在$[a,b]$上可微，且$I^\prime(x)=\int_{c}^un5pygef_x(x,y)dy$。證明思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義，通過差商的極限來證明，關(guān)鍵在于交換積分與極限的順序。4.可積性定理19.3（可積性）：若函數(shù)$f(x,y)$在矩形區(qū)域$R=[a,b]×[c,d]$上連續(xù)，則$\int_{a}^dx\int_{c}^fzkyw5kf(x,y)dy=\int_{c}^odrudmvdy\int_{a}^f(x,y)dx$。證明思路：利用二重積分的性質(zhì)，通過將二重積分化為累次積分來證明。（三）課堂練習(xí)（15分鐘）1.計(jì)算$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}e^{y^2}dy$。提示：交換積分次序，再利用含參量積分的可積性定理。2.設(shè)$f(x)=\int_{0}^{1}\frac{y^2}{1+x^2y^2}dy$，求$f^\prime(x)$。提示：利用含參量積分的可微性定理。（四）含參量反常積分（30分鐘）1.定義設(shè)函數(shù)$f(x,y)$定義在無界區(qū)域$R=[a,b]×[c,+\infty)$上，若對(duì)于$[a,b]$上每一固定的$x$，反常積分$\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$都收斂，則它是$x$在$[a,b]$上的函數(shù)，記作$I(x)=\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$，稱它為含參量$x$的無窮限反常積分，簡(jiǎn)稱含參量反常積分。2.一致收斂性定義：設(shè)含參量反常積分$I(x)=\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$在區(qū)間$I$上有定義。若對(duì)任給的正數(shù)$\epsilon$，總存在某一實(shí)數(shù)$N\gtc$，使得當(dāng)$M\gtN$時(shí)，對(duì)一切$x\inI$，都有$\vert\int_{M}^{+\infty}f(x,y)dy\vert\lt\epsilon$，則稱含參量反常積分$I(x)=\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$在區(qū)間$I$上一致收斂于$I(x)$。幾何意義：一致收斂意味著對(duì)于給定的$\epsilon$，存在一個(gè)與$x$無關(guān)的$N$，使得在$x\inI$時(shí)，曲線$y=f(x,y)$在$y\geqN$部分下方的曲邊梯形面積小于$\epsilon$。3.判別法魏爾斯特拉斯判別法：設(shè)有函數(shù)$g(y)$，使得$\vertf(x,y)\vert\leqg(y)$，$x\inI$，$y\in[c,+\infty)$，且反常積分$\int_{c}^{+\infty}g(y)dy$收斂，則含參量反常積分$\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$在$I$上一致收斂。狄利克雷判別法：設(shè)對(duì)一切實(shí)數(shù)$N\gtc$，函數(shù)$F(x,N)=\int_{c}^{N}f(x,y)dy$對(duì)參量$x$在$I$上一致有界，即存在正數(shù)$M$，對(duì)一切$N\gtc$及一切$x\inI$，有$\vertF(x,N)\vert\leqM$。對(duì)每一個(gè)$x\inI$，函數(shù)$g(x,y)$關(guān)于$y$是單調(diào)遞減且當(dāng)$y\rightarrow+\infty$時(shí)，對(duì)參量$x$，$g(x,y)$一致地趨于0，即對(duì)任給的$\epsilon\gt0$，存在實(shí)數(shù)$N\gtc$，當(dāng)$y\gtN$時(shí)，對(duì)一切$x\inI$，有$\vertg(x,y)\vert\lt\epsilon$。則含參量反常積分$\int_{c}^{+\infty}f(x,y)g(x,y)dy$在$I$上一致收斂。阿貝爾判別法：設(shè)反常積分$\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$在$I$上一致收斂。對(duì)每一個(gè)$x\inI$，函數(shù)$g(x,y)$關(guān)于$y$是單調(diào)的，且$g(x,y)$在$I×[c,+\infty)$上有界，即存在正數(shù)$M$，使得$\vertg(x,y)\vert\leqM$，$x\inI$，$y\in[c,+\infty)$。則含參量反常積分$\int_{c}^{+\infty}f(x,y)g(x,y)dy$在$I$上一致收斂。（五）含參量反常積分的性質(zhì)（25分鐘）1.連續(xù)性定理19.7：設(shè)$f(x,y)$在區(qū)域$R=[a,b]×[c,+\infty)$上連續(xù)，若含參量反常積分$I(x)=\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$在$[a,b]$上一致收斂，則$I(x)$在$[a,b]$上連續(xù)。證明思路：利用一致收斂性和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，通過極限與積分交換順序來證明。2.可微性定理19.8：設(shè)$f(x,y)$與$f_x(x,y)$在區(qū)域$R=[a,b]×[c,+\infty)$上連續(xù)，若含參量反常積分$I(x)=\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$在$[a,b]$上收斂，$\int_{c}^{+\infty}f_x(x,y)dy$在$[a,b]$上一致收斂，則$I(x)$在$[a,b]$上可微，且$I^\prime(x)=\int_{c}^{+\infty}f_x(x,y)dy$。證明思路：利用可微性的定義和一致收斂性，通過交換積分與求導(dǎo)的順序來證明。3.可積性定理19.9：設(shè)$f(x,y)$在區(qū)域$R=[a,b]×[c,+\infty)$上連續(xù)，若含參量反常積分$I(x)=\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy$在$[a,b]$上一致收斂，則$I(x)$在$[a,b]$上可積，且$\int_{a}^dx\int_{c}^{+\infty}f(x,y)dy=\int_{c}^{+\infty}dy\int_{a}^f(x,y)dx$。證明思路：利用一致收斂性和二重積分的性質(zhì)，通過交換積分順序來證明。（六）課堂小結(jié)（5分鐘）1.含參量正常積分的概念、性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）及其證明方法。2.含參量反常積分一致收斂的概念、判別法（魏爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法）。3.含參量反常積分的性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）及其證明方法和應(yīng)用。（七）課后作業(yè)1.計(jì)算$\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{ax}e^{bx}}{x}dx$，其中$a,b\gt0$。提示：利用含參量反常積分的可微性定理，先構(gòu)造含參量積分，再求導(dǎo)計(jì)算。2.證明含參量反常積分$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sinxy}{y}dy$在$[a,+\infty)$上一致收斂，其中$a\gt0$。提示：利用狄利克雷判別法進(jìn)行證明。3.設(shè)$f(x)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{xy}}{1+y^2}dy$，求$f(