2024高一數(shù)學新教材必修1教案學案-專題3.3-冪函數(shù)

2024高一數(shù)學新教材必修1教案學案-專題3.3-冪函數(shù)?一、教學目標1.知識與技能目標理解冪函數(shù)的概念，能根據(jù)定義判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)。掌握冪函數(shù)\(y=x\)，\(y=x^{2}\)，\(y=x^{3}\)，\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，\(y=x^{1}\)的圖象和性質，并能進行簡單的應用。能利用冪函數(shù)的單調性比較冪值的大小。2.過程與方法目標通過對冪函數(shù)概念的學習，培養(yǎng)學生歸納、抽象的能力。通過冪函數(shù)圖象和性質的探究，讓學生體會從特殊到一般的研究方法，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納的能力，提高學生運用數(shù)形結合思想解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過探究冪函數(shù)的性質，使學生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法，增強學生學習數(shù)學的興趣。在教學過程中，培養(yǎng)學生勇于探索、積極進取的精神，讓學生體會數(shù)學的簡潔美和對稱美。二、教學重難點1.教學重點冪函數(shù)的概念、圖象和性質。利用冪函數(shù)的單調性比較冪值的大小。2.教學難點冪函數(shù)圖象和性質的探究過程。理解冪函數(shù)的單調性與指數(shù)\(\alpha\)的關系。三、教學方法講授法、討論法、探究法相結合，通過引導學生自主探究、合作交流，讓學生經歷冪函數(shù)概念的形成過程、圖象和性質的探究過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和學習能力。四、教學過程（一）導入新課1.展示以下幾個函數(shù)：\(y=2x^{2}\)\(y=x^{3}+1\)\(y=3^{x}\)\(y=x^{\frac{1}{2}}\)\(y=2x\)\(y=x^{1}\)2.引導學生觀察這些函數(shù)的形式，提問：這些函數(shù)有什么共同特點？它們與我們之前學過的函數(shù)有什么不同？3.讓學生分組討論，然后每組派代表發(fā)言。教師對學生的回答進行總結和點評，引出冪函數(shù)的概念。（二）講解新課1.冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\inR\)）叫做冪函數(shù)，其中\(zhòng)(x\)是自變量，\(\alpha\)是常數(shù)。強調冪函數(shù)的形式特點：系數(shù)為\(1\)。底數(shù)是自變量\(x\)。指數(shù)是常數(shù)\(\alpha\)。請學生判斷導入新課時展示的函數(shù)中哪些是冪函數(shù)。\(y=2x^{2}\)不是冪函數(shù)，因為系數(shù)是\(2\)，不是\(1\)。\(y=x^{3}+1\)不是冪函數(shù)，因為它不是\(y=x^{\alpha}\)的形式。\(y=3^{x}\)不是冪函數(shù)，因為底數(shù)是常數(shù)\(3\)，不是自變量\(x\)。\(y=x^{\frac{1}{2}}\)是冪函數(shù)，符合冪函數(shù)的形式。\(y=2x\)不是冪函數(shù)，因為系數(shù)是\(2\)，不是\(1\)。\(y=x^{1}\)是冪函數(shù)，符合冪函數(shù)的形式。2.冪函數(shù)的圖象和性質探究冪函數(shù)\(y=x\)，\(y=x^{2}\)，\(y=x^{3}\)，\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，\(y=x^{1}\)的圖象讓學生利用描點法分別畫出這五個冪函數(shù)的圖象。教師可以利用幾何畫板等軟件動態(tài)展示這五個冪函數(shù)的圖象，讓學生更直觀地觀察圖象的特征。觀察圖象，總結性質定義域\(y=x\)的定義域是\(R\)。\(y=x^{2}\)的定義域是\(R\)。\(y=x^{3}\)的定義域是\(R\)。\(y=x^{\frac{1}{2}}\)的定義域是\([0,+\infty)\)。\(y=x^{1}\)的定義域是\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。值域\(y=x\)的值域是\(R\)。\(y=x^{2}\)的值域是\([0,+\infty)\)。\(y=x^{3}\)的值域是\(R\)。\(y=x^{\frac{1}{2}}\)的值域是\([0,+\infty)\)。\(y=x^{1}\)的值域是\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。奇偶性\(y=x\)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱。\(y=x^{2}\)是偶函數(shù)，圖象關于\(y\)軸對稱。\(y=x^{3}\)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱。\(y=x^{\frac{1}{2}}\)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，圖象只在第一象限。\(y=x^{1}\)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱。單調性\(y=x\)在\(R\)上單調遞增。\(y=x^{2}\)在\((\infty,0]\)上單調遞減，在\([0,+\infty)\)上單調遞增。\(y=x^{3}\)在\(R\)上單調遞增。\(y=x^{\frac{1}{2}}\)在\([0,+\infty)\)上單調遞增。\(y=x^{1}\)在\((\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上單調遞減?？偨Y冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\inR\)）的性質當\(\alpha>0\)時：冪函數(shù)的圖象都過點\((1,1)\)和\((0,0)\)（\(\alpha>0\)且\(\alpha\neq1\)時過\((0,0)\)）。在第一象限內，函數(shù)單調遞增。當\(\alpha<0\)時：冪函數(shù)的圖象都過點\((1,1)\)。在第一象限內，函數(shù)單調遞減，圖象無限接近\(x\)軸和\(y\)軸，但不相交。當\(\alpha\)為偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)；當\(\alpha\)為奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)。（三）例題講解例1.已知冪函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象過點\((2,\frac{\sqrt{2}}{2})\)，求函數(shù)\(f(x)\)的解析式。解：設冪函數(shù)\(f(x)=x^{\alpha}\)，因為圖象過點\((2,\frac{\sqrt{2}}{2})\)，所以\(\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{\alpha}\)，即\(2^{\frac{1}{2}}=2^{\alpha}\)，解得\(\alpha=\frac{1}{2}\)，所以\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)。例2.比較下列各組數(shù)的大?。篭(1.5^{\frac{1}{3}}\)與\(1.7^{\frac{1}{3}}\)\((1.2)^{\frac{2}{3}}\)與\((1.25)^{\frac{2}{3}}\)\(5.25^{1}\)與\(5.26^{1}\)解：因為函數(shù)\(y=x^{\frac{1}{3}}\)在\(R\)上單調遞增，且\(1.5<1.7\)，所以\(1.5^{\frac{1}{3}}<1.7^{\frac{1}{3}}\)。函數(shù)\(y=x^{\frac{2}{3}}\)是偶函數(shù)，所以\((1.2)^{\frac{2}{3}}=(1.2)^{\frac{2}{3}}\)，\((1.25)^{\frac{2}{3}}=(1.25)^{\frac{2}{3}}\)。又因為函數(shù)\(y=x^{\frac{2}{3}}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減，且\(1.2<1.25\)，所以\((1.2)^{\frac{2}{3}}>(1.25)^{\frac{2}{3}}\)，即\((1.2)^{\frac{2}{3}}>(1.25)^{\frac{2}{3}}\)。函數(shù)\(y=x^{1}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減，且\(5.25<5.26\)，所以\(5.25^{1}>5.26^{1}\)。例3.已知冪函數(shù)\(y=x^{m^{2}2m3}\)（\(m\inZ\)）的圖象與\(x\)軸、\(y\)軸都無交點，且關于\(y\)軸對稱，求\(m\)的值。解：因為冪函數(shù)的圖象與\(x\)軸、\(y\)軸都無交點，所以\(m^{2}2m3<0\)，解不等式得\(1<m<3\)。又因為\(m\inZ\)，所以\(m=0\)，\(1\)，\(2\)。當\(m=0\)時，\(m^{2}2m3=3\)，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當\(m=1\)時，\(m^{2}2m3=4\)，函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；當\(m=2\)時，\(m^{2}2m3=3\)，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意。所以\(m=1\)。（四）課堂練習1.已知冪函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象過點\((4,2)\)，則\(f(16)\)的值為（）A.\(2\sqrt{2}\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)2.比較下列各組數(shù)的大?。篭(2.5^{\frac{3}{4}}\)與\(2.5^{\frac{5}{4}}\)\((\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}\)與\((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}\)\(0.3^{3}\)與\(0.4^{3}\)3.已知冪函數(shù)\(y=x^{m^{2}+2m3}\)（\(m\inZ\)）的圖象關于\(y\)軸對稱，且在\((0,+\infty)\)上單調遞減，求\(m\)的值及函數(shù)的解析式。（五）課堂小結1.請學生回顧冪函數(shù)的概念、圖象和性質。2.教師對本節(jié)課的重點內容進行總結：冪函數(shù)的概念：\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\inR\)），強調系數(shù)為\(1\)，底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)。冪函數(shù)的圖象和性質：定義域、值域、奇偶性、單調性。當\(\alpha>0\)和\(\alpha<0\)時的不同特點。利用冪函數(shù)的單調性比較冪值的大小。求冪函數(shù)的解析式。（六）布置作業(yè)1.教材P112練習第1，2，3題。2.已知冪函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象過點\((\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)，求函數(shù)\(f(x)\)的解析式，并畫出其圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間。3.若\((a+1)^{\frac{1}{3}}<(32a)^{\frac{1}{3}}\)，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。五、教學反思通過本節(jié)課的教學，學生對冪函數(shù)的概念、圖象和性質有了較為系統(tǒng)的認識。在教學過程中，采用引導學生自主探究、合作交流的方式，讓學生經歷了知識的形成過程，培養(yǎng)了學生的數(shù)學思維能力和學習能力。但在教學中也發(fā)現(xiàn)了一些問題，比如部分學生對冪函數(shù)性質的理解還不夠深刻，在比較冪值大小和求解析式時容易出錯。在今后的教學中，還需要加強對這部分學生的輔導，通過針對性的練習，幫助他們更好地掌握冪函數(shù)的相關知識。同時，要進一步優(yōu)化教學方法，提高課堂教學效率，讓學生在數(shù)學學習中獲得更多的樂趣和成就感。六、學案部分（一）學習目標1.理解冪函數(shù)的概念，能判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)。2.掌握冪函數(shù)\(y=x\)，\(y=x^{2}\)，\(y=x^{3}\)，\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，\(y=x^{1}\)的圖象和性質，并能應用其解決相關問題。3.學會利用冪函數(shù)的單調性比較冪值的大小。（二）知識梳理1.冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)\(y=\)______（\(\alpha\inR\)）叫做冪函數(shù)，其中\(zhòng)(x\)是______，\(\alpha\)是______。2.冪函數(shù)的圖象和性質五個常見冪函數(shù)的圖象請畫出\(y=x\)，\(y=x^{2}\)，\(y=x^{3}\)，\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，\(y=x^{1}\)的圖象。性質總結定義域\(y=x\)：______\(y=x^{2}\)：______\(y=x^{3}\)：______\(y=x^{\frac{1}{2}}\)：______\(y=x^{1}\)：______值域\(y=x\)：______\(y=x^{2}\)：______\(y=x^{3}\)：______\(y=x^{\frac{1}{2}}\)：______\(y=x^{1}\)：______奇偶性\(y=x\)：______\(y=x^{2}\)：______\(y=x^{3}\)：______\(y=x^{\frac{1}{2}}\)：______\(y=x^{1}\)：______單調性\(y=x\)：______\(y=x^{2}\)：______\(y=x^{3}\)：______\(y=x^{\frac{1}{2}}\)：______\(y=x^{1}\)：______當\(\alpha>0\)時