2024年杭州市高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷

2024年杭州市高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷?一、試卷整體概述2024年杭州市高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷全面考查了高中數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，注重對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及數(shù)學(xué)思維能力的檢測(cè)。試卷結(jié)構(gòu)合理，難度適中，具有較好的區(qū)分度，能夠較為準(zhǔn)確地反映出學(xué)生在現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。二、各題型考點(diǎn)分布及特點(diǎn)選擇題1.考點(diǎn)分布涵蓋了集合、函數(shù)的定義域與值域、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、三角函數(shù)的基本性質(zhì)、向量的運(yùn)算、數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)。2.特點(diǎn)題目難度相對(duì)較低，主要考查學(xué)生對(duì)基本概念和公式的理解與運(yùn)用。例如，關(guān)于集合的交集、并集運(yùn)算的題目，直接運(yùn)用集合運(yùn)算的定義即可得出答案。部分題目具有一定的靈活性，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形和推理。如考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用的題目，需要學(xué)生根據(jù)已知條件分析函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而得出結(jié)論。填空題1.考點(diǎn)分布涉及到復(fù)數(shù)的運(yùn)算、圓錐曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、數(shù)列的求和公式等內(nèi)容。2.特點(diǎn)注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深度理解和綜合運(yùn)用。例如，在圓錐曲線(xiàn)相關(guān)的填空題中，常常需要學(xué)生結(jié)合曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)以及幾何關(guān)系來(lái)求解問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的分析和計(jì)算能力有一定要求。一些題目需要學(xué)生具備一定的解題技巧。如利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程的題目，需要學(xué)生熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式，并能靈活運(yùn)用到切線(xiàn)問(wèn)題中。解答題1.考點(diǎn)分布數(shù)列解答題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及數(shù)列的遞推關(guān)系，通常會(huì)涉及到等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用。立體幾何解答題側(cè)重于考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、線(xiàn)面位置關(guān)系的證明以及空間角的計(jì)算，如異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角等。概率統(tǒng)計(jì)解答題主要圍繞概率的計(jì)算、隨機(jī)變量的分布列與期望等內(nèi)容展開(kāi)，可能會(huì)結(jié)合實(shí)際生活中的案例進(jìn)行考查。導(dǎo)數(shù)解答題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，常常需要學(xué)生進(jìn)行函數(shù)的求導(dǎo)、分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性等一系列運(yùn)算。2.特點(diǎn)題目綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生能夠?qū)⒍鄠€(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合和運(yùn)用。例如，在數(shù)列與函數(shù)的綜合解答題中，需要學(xué)生根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列的性質(zhì)。解答題注重考查學(xué)生的解題過(guò)程和邏輯推理能力。每一步的推導(dǎo)都需要有合理的依據(jù)，要求學(xué)生書(shū)寫(xiě)規(guī)范、條理清晰。如在立體幾何的證明題中，學(xué)生需要準(zhǔn)確地闡述線(xiàn)面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以完成證明過(guò)程。具有一定的選拔性，部分題目難度較大，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。例如，導(dǎo)數(shù)解答題中可能會(huì)出現(xiàn)一些含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，需要學(xué)生根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，從而得出函數(shù)的各種性質(zhì)。三、具體題目分析選擇題1.已知集合\(A=\{x|x^22x3\leq0\}\)，\(B=\{x|y=\ln(2x)\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\([1,2)\)B.\((1,2)\)C.\([1,2)\)D.\((1,2]\)答案：A解析：先求解集合\(A\)，由\(x^22x3\leq0\)，即\((x3)(x+1)\leq0\)，解得\(1\leqx\leq3\)，所以\(A=[1,3]\)。再看集合\(B\)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，\(2x>0\)，解得\(x<2\)，所以\(B=(\infty,2)\)。則\(A\capB=[1,2)\)，故選A。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的交集運(yùn)算，以及一元二次不等式的求解和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題。2.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^24}}\)的定義域?yàn)閈((\)\)A.\((2,2)\)B.\([2,2]\)C.\((\infty,2)\cup(2,+\infty)\)D.\((\infty,2]\cup[2,+\infty)\)答案：C解析：要使函數(shù)\(f(x)\)有意義，則分母不為零且根號(hào)下的數(shù)大于零，即\(x^24>0\)，解得\(x>2\)或\(x<2\)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閈((\infty,2)\cup(2,+\infty)\)，故選C。點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)定義域的求解，關(guān)鍵是要根據(jù)函數(shù)的形式確定使函數(shù)有意義的條件，屬于基礎(chǔ)題。填空題1.已知復(fù)數(shù)\(z=\frac{2+i}{1i}\)，則\(|z|=\)。答案：\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)解析：先將復(fù)數(shù)\(z\)化簡(jiǎn)，\(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)。然后求其模，\(|z|=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)。點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)再求模是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。2.已知雙曲線(xiàn)\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一條漸近線(xiàn)方程為\(y=\frac{4}{3}x\)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為\(\)。答案：\(\frac{5}{3}\)解析：由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程\(y=\frac{a}x\)，已知一條漸近線(xiàn)方程為\(y=\frac{4}{3}x\)，所以\(\frac{a}=\frac{4}{3}\)。又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(e=\sqrt{1+(\frac{a})^2}=\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}=\frac{5}{3}\)。點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和離心率的計(jì)算，掌握兩者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。解答題1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，且\(S_n=2n^2+n\)。(1)求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；(2)若\(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(T_n\)。解析：(1)當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_1=S_1=2\times1^2+1=3\)；當(dāng)\(n\geq2\)時(shí)，\(a_n=S_nS_{n1}=2n^2+n[2(n1)^2+(n1)]\)\(=2n^2+n(2n^24n+2+n1)\)\(=2n^2+n2n^2+4n2n+1\)\(=4n1\)。當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_1=3\)也滿(mǎn)足\(a_n=4n1\)，所以\(a_n=4n1\)。(2)由(1)知\(a_n=4n1\)，則\(a_{n+1}=4(n+1)1=4n+3\)。所以\(b_n=\frac{1}{(4n1)(4n+3)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{4n1}\frac{1}{4n+3})\)。則\(T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\)\(=\frac{1}{4}[(\frac{1}{3}\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}\frac{1}{11})+\cdots+(\frac{1}{4n1}\frac{1}{4n+3})]\)\(=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}\frac{1}{4n+3})\)\(=\frac{n}{3(4n+3)}\)。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和。在求通項(xiàng)公式時(shí)，要注意\(n=1\)時(shí)的情況；裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵是正確地將數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)，屬于中檔題。2.如圖，在三棱錐\(PABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，\(PA=AB=BC=2\)。(1)證明：\(BC\perp\)平面\(PAB\)；(2)求異面直線(xiàn)\(PC\)與\(AB\)所成角的大?。?3)求二面角\(PBCA\)的大小。解析：(1)因?yàn)閈(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(BC\subset\)平面\(ABC\)，所以\(PA\perpBC\)。又因?yàn)閈(AB\perpBC\)，\(PA\capAB=A\)，\(PA,AB\subset\)平面\(PAB\)，所以\(BC\perp\)平面\(PAB\)。(2)由(1)知\(BC\perp\)平面\(PAB\)，\(AB\subset\)平面\(PAB\)，所以\(BC\perpAB\)。因?yàn)閈(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\subset\)平面\(ABC\)，所以\(PA\perpAB\)。分別以\(BA,BC,BP\)所在直線(xiàn)為\(x,y,z\)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則\(A(2,0,0)\)，\(B(0,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(P(0,0,2)\)。\(\overrightarrow{PC}=(0,2,2)\)，\(\overrightarrow{AB}=(2,0,0)\)。設(shè)異面直線(xiàn)\(PC\)與\(AB\)所成角為\(\theta\)，則\(\cos\theta=|\frac{\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{PC}|\cdot|\overrightarrow{AB}|}|=|\frac{0\times(2)+2\times0+(2)\times0}{\sqrt{0^2+2^2+(2)^2}\times\sqrt{(2)^2+0^2+0^2}}|=0\)。因?yàn)閈(0<\theta\leq\frac{\pi}{2}\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，即異面直線(xiàn)\(PC\)與\(AB\)所成角的大小為\(\frac{\pi}{2}\)。(3)平面\(ABC\)的一個(gè)法向量為\(\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)\)。設(shè)平面\(PBC\)的法向量為\(\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{PB}=(0,0,2)\)，\(\overrightarrow{BC}=(0,2,0)\)。則\(\begin{cases}\overrightarrow{n_2}\cdot\overrightarrow{PB}=2z=0\\\overrightarrow{n_2}\cdot\overrightarrow{BC}=2y=0\end{cases}\)，令\(x=1\)，得\(\overrightarrow{n_2}=(1,0,0)\)。設(shè)二面角\(PBCA\)為\(\alpha\)，則\(\cos\alpha=|\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot|\overrightarrow{n_2}|}|=|\frac{0\times1+0\times0+1\times0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\times\sqrt{1^2+0^2+0^2}}|=0\)。因?yàn)槎娼荺(PBCA\)為銳二面角，所以\(\alpha=\frac{\pi}{2}\)，即二面角\(PBCA\)的大小為\(\frac{\pi}{2}\)。點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直的證明、異面直線(xiàn)所成角以及二面角的求解。利用空間向量法求解立體幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，屬于中檔題。3.某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)的興趣情況，從該校高二年級(jí)中隨機(jī)抽取了\(100\)名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中男生\(55\)名，女生\(45\)名。在抽取的學(xué)生中，對(duì)該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)感興趣的男生有\(zhòng)(30\)名，女生有\(zhòng)(20\)名。(1)完成下面的\(2\times2\)列聯(lián)表，并判斷是否有\(zhòng)(99\%\)的把握認(rèn)為"對(duì)該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)感興趣與性別有關(guān)"？||感興趣|不感興趣|總計(jì)|||||||男生|||||女生|||||總計(jì)||||(2)從被抽取的對(duì)該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)不感興趣的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取\(9\)名學(xué)生，再?gòu)倪@\(9\)名學(xué)生中隨機(jī)抽取\(3\)名學(xué)生，記這\(3\)名學(xué)生中女生的人數(shù)為\(X\)，求\(X\)的分布列和數(shù)學(xué)期望。附：\(K^2=\frac{n(adbc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(zhòng)(n=a+b+c+d\)。|\(P(K^2\geqk)\)|\(0.10\)|\(0.05\)|\(0.025\)|\(0.010\)|\(0.005\)|\(0.001\)||||||||||\(k\)|\(2.706\)|\(3.841\)|\(5.024\)|\(6.635\)|\(7.879\)|\(10.828\)|