《備考指南一輪 數(shù)學(xué)》課件-第8章 第4講

第八章第4講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則能得出a⊥b的是()A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥βC．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】對(duì)于C項(xiàng)，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b.故選C．2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，則四面體P－ABC各個(gè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【解析】由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB，即△PBC為直角三角形．故四面體P－ABC中共有4個(gè)直角三角形．3．(2020年河北衡水中學(xué)模擬)已知直線l⊥平面α，直線m∥平面β，若α⊥β，則下列結(jié)論正確的是()A．l∥β或l?β B．l∥mC．m⊥α D．l⊥m【答案】A【解析】對(duì)于A，直線l⊥平面α，α⊥β，則l∥β或l?β，A正確；對(duì)于B，直線l⊥平面α，直線m∥平面β，且α⊥β，則l∥m或l與m相交或l與m異面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線l⊥平面α，直線m∥平面β，且α⊥β，則m⊥α或m與α相交或m?α或m∥α，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線l⊥平面α，直線m∥平面β，且α⊥β，則l∥m或l與m相交或l與m異面，所以D錯(cuò)誤．故選A．4．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α【答案】C【解析】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤．5．如圖所示，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確．在正四面體P－ABC中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又DF∥BC，則DF⊥平面PAE.又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確．因DF⊥平面PAE，DF?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC.因平面PAE∩平面PDE＝PE，且PE與平面ABC不垂直，所以平面PDE與平面ABC不垂直．故D錯(cuò)誤．6．(2020年四川模擬)在四面體ABCD中，已知AB＝AC＝CD＝2，BC＝2eq\r(2)，且CD⊥平面ABC，則該四面體外接球的體積為()A．16π B．12πC．4eq\r(3)π D．6π【答案】C【解析】在四面體ABCD中，因?yàn)锳B＝AC＝CD＝2，BC＝2eq\r(2)，所以AC2＋AB2＝BC2，所以AB⊥AC.因?yàn)镃D⊥平面ABC，所以CD⊥AB.又AC∩CD＝C，所以AB⊥平面ACD，構(gòu)造正方體，得四面體外接球半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(4＋4＋4)＝eq\r(3)，所以該四面體外接球的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.故選C．7．(2019年濰坊期末)四面體PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB中點(diǎn)，請(qǐng)從以下平面中選出兩個(gè)相互垂直的平面________．(只填序號(hào))①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.【答案】①②或②⑤或①⑤【解析】因?yàn)樗拿骟wPABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB中點(diǎn)，所以CO⊥AB.又PO⊥AB，CO∩PO＝O，所以AB⊥平面POC.因?yàn)锳B?平面ABC，AB?平面PAB，所以平面POC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面POC.因?yàn)镺A＝OB＝OC，PA＝PB＝PC，PO⊥AB，所以PO⊥OC.易得PO⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC.所以?xún)蓚€(gè)相互垂直的平面為①②或②⑤或①⑤.故答案為①②或②⑤或①⑤.8．(2020年海安月考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，點(diǎn)D為棱C1C的中點(diǎn)，AC1與A1D交于點(diǎn)E，BC1與B1D交于點(diǎn)F，連接EF(1)AB∥EF；(2)平面A1B1D⊥平面B1BCC1.【證明】(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，又AB?平面A1B1D，A1B1?平面A1B1D，所以AB∥平面A1B1D因?yàn)锳B?平面ABC1，平面A1B1D∩平面ABC1＝EF，所以AB∥EF.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B⊥平面A1B1C又A1B1?平面A1B1C1所以BB1⊥A1B1.因?yàn)锳B⊥BC，所以A1B1⊥B1C1因?yàn)锽1B∩B1C1＝B1，B1B?平面B1BCC1，B1C1?平面B1BCC所以A1B1⊥平面B1BCC1.因?yàn)锳1B1?平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面B1BCC1.[B級(jí)能力提升]9．設(shè)a，b，c是空間的三條直線，α，β是空間的兩個(gè)平面，則下列命題中，逆命題不成立的是()A．當(dāng)c⊥α?xí)r，若c⊥β，則α∥βB．當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥βC．當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若b⊥c，則a⊥bD．當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若c∥α，則b∥c【答案】B【解析】A的逆命題為：當(dāng)c⊥α?xí)r，若α∥β，則c⊥β.由線面垂直的性質(zhì)知c⊥β，故A正確；B的逆命題為：當(dāng)b?α?xí)r，若α⊥β，則b⊥β，顯然錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；C的逆命題為：當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若a⊥b，則b⊥c.由三垂線逆定理知b⊥c，故C正確；D的逆命題為：當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若b∥c，則c∥α.由線面平行判定定理可得c∥α，故D正確．10．(2019年武漢一模)如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在平面ABC上的射影H必在A．直線AB上 B．直線BC上C．直線CA上 D．△ABC內(nèi)部【答案】A【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CA⊥AB，,CA⊥BC1))?CA⊥平面ABC1?平面ABC⊥平面ABC1，過(guò)C1在平面ABC1內(nèi)作AB的垂線，則垂足在直線AB上，易得此垂線垂直于平面ABC，垂足即為C1在平面ABC上的射影H.故選A．11．(2020年孝感模擬)在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】B【解析】作AE⊥BD，交BD于E，因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.又BC?平面BCD，所以AE⊥BC.而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以DA⊥BC.又因?yàn)锳E∩AD＝A，所以BC⊥平面ABD.而AB?平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC為直角三角形．故選B．12．(2019年長(zhǎng)沙模擬)已知在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(2)，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，則a的最小值是________．【答案】4eq\r(2)【解析】假設(shè)在BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥DQ，連接AQ，因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB＝2eq\r(2)，BC＝a，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ.因?yàn)镻Q∩PA＝P，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以∠AQD＝90°.由題意得△ABQ∽△QCD，設(shè)BQ＝x，所以x(a－x)＝8，即x2－ax＋8＝0(*)．當(dāng)Δ＝a2－32≥0時(shí)，(*)方程有解，所以當(dāng)a≥4eq\r(2)時(shí)，在BC上存在點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，故a的最小值為4eq\r(2).13．(2019年北京期末)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為AB，DC的中點(diǎn)，AD＝BD＝1，AB＝eq\r(2)，過(guò)EF的平面與棱PB，PC分別交于點(diǎn)M，N.(1)求證：EF∥MN；(2)求證：平面EFNM⊥平面PBD；(3)若eq\f(CN,CP)＝eq\f(2,3)，求四棱錐N－EBCF和四棱錐P－ABCD的體積比．【解析】(1)證明：E，F(xiàn)分別為AB，DC的中點(diǎn)，且四邊形ABCD是平行四邊形，可得EF∥BC.又EF?平面PBC，BC?平面PBC，可得EF∥平面PBC.由EF?平面EFNM，平面EFNM∩平面PBC＝NM，可得EF∥NM.(2)證明：在平行四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，AB＝eq\r(2)，可得AD⊥BD.由EF∥AD，可得EF⊥BD.由PD⊥底面ABCD.可得PD⊥EF.PD∩BD＝D，可得EF⊥平面PBD.又EF?平面EFNM，可得平面EFNM⊥平面PBD.(3)若eq\f(CN,CP)＝eq\f(2,3)，設(shè)P到平面ABCD的距離為PD＝h，可得N到平面EBCF的距離為eq\f(2,3)h.由E，F(xiàn)分別為AB，DC的中點(diǎn)，設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S，可得四邊形EBCF的面積為eq\f(1,2)S，則eq\f(VN－EBCF,VP－ABCD)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)S×\f(2,3)h,\f(1,3)Sh)＝eq\f(1,3).[C級(jí)創(chuàng)新突破]14．(多選題)如圖所示，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，則以下四個(gè)命題中正確的是()A．PA∥平面MOBB．