2025屆高中數(shù)學(xué)三輪沖刺：高考模擬卷（七）（含解析）

高考仿真卷（七）

（時間：120分鐘分值：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的）

1.已知集合止{x|x<0或無>2},N={x|?<2},貝等于（）

A.{x|0<x<2}B.{刃0Wx<2}

C.{x|0W%v4}D.{x|0vxv4}

2.已知右，改是單位向量，則0+2°2與62的夾角為（）

A.-B.-C.-D.—

6433

3.（2024衡陽模擬）如圖，一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為?這個

電路是通路的概率是（）

4.（1-置）8的展開式中X2的系數(shù)是（)

A.-70B.70C.-1D.1

5.在△A3C中，AB=2,E是3c邊中點，線段AE長為日，ZBAC=120°,。是3c邊上一點，AD是N

A4c的平分線，則AD等于（）

A.|B.lC.2D.V3

6.與直線x-y-4=0和圓（x+Ip+O-l>=2都相切的半徑最小的圓的方程是（）

A.（x+l）2+（y+l）2=2

B.（K+l）2+（y+1）2=4

C.（x-l）2+（y+1）2=2

D.（x—l）2+（y—1）2=4

22

7.已知雙曲線E：^=l（a>0,6>0）的右焦點為凡過點/作直線,與漸近線bx-ay=0垂直，垂足為點

P,延長尸尸交E于點。.若麗=3而，則E的離心率為（）

A.-B.-C,-D.V2

543

x\nx,x>0,

8.(2024?聊城模擬)已知函數(shù)八x)=—l,x=0,若關(guān)于x的方程有5個不同的實數(shù)根，貝I]

jdn(一%)—2,x<0.

〃的取值范圍是()

A.(l,+8)B.(2,+8)

C.(l,e)D.(2,2e)

二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.已知函數(shù)/(x)=cos￡ox(co>0,0<r<7t),則下列結(jié)論正確的是()

A.若火x)單調(diào)遞減，則。

B.若大幻的最小值為-1,則。>1

C.若加)僅有兩個零點，則聲?！?/p>

D.若火x)僅有兩個極值點，則2<oW3

10.(2024?合肥模擬)已知復(fù)數(shù)zi,Z2滿足：zi為純虛數(shù)，|Z2-1|=2|Z2-4|,則下列結(jié)論正確的是()

A.Zi=-|zi|2

B.3W|Z2|W7

C.|Z1-Z2|的最小值為3

D.|z「Z2+3i|的最小值為3

11.(2024.武漢模擬)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,對Vx,yGR,fix+yyf(x-y)=2fi1,且穴1)=1,f(x)

為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，貝版)

A.?x)為偶函數(shù)

B.火2024)=0

C/(l)+f(2)+-+f(2025)=0

D.o)F+[/u-x)F=i

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.(2024?長沙模擬)分子是1的分數(shù)叫做單位分數(shù)，古代埃及人在進行分數(shù)運算時，只使用分子是1的

分數(shù)，因此這種分數(shù)也叫做埃及分數(shù).從；，；，；，…，白這13個分數(shù)中，取出3個不同的分數(shù)組成空

34515

間直角坐標系內(nèi)的一個點的坐標，則滿足這3個分數(shù)的和為扣勺不同對應(yīng)點的個數(shù)是.(用數(shù)

字作答)

13.(2024.濟南模擬)已知矩形A3CO中，AB=2A/3,BC=2,以AC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形A3CD旋

轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積為

14.設(shè)拋物線/=4x的焦點為凡過點7（2,0）的直線/與拋物線交于A,3兩點，與y軸的負半軸交于C

點，已知SABCF:SAACF=1:2,貝!]|3川=.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）（2024?銅陵模擬）如圖，在六棱錐尸-A3CDE/中，底面ABCDEF是邊長為舊的正六邊形，PA

，底面A3COEFG為棱尸E上一點，且PG=2GE.

（1）證明：/G〃平面P4C；（5分）

⑵若PA=1,求平面。尸G與平面尸CR夾角的余弦值.（8分）

16.（15分）已知a>0,函數(shù)次x）=alnx-ln（x+l）.

⑴當a=l時，求曲線y=/⑴在點（1,#））處的切線方程；（4分）

⑵當0<a<l時，

①求?x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（6分）

②設(shè)兀0的極大值為g（a）,求g（a）的最小值.（5分）

17.（15分）數(shù)列｛?,｝的前〃項和為Sn,且S?=2a?-n（nGN*）.

⑴求證:數(shù)列｛斯+1｝是等比數(shù)列，并求｛?！埃耐椆?；（6分）

（2）在歐和M+i/WN*）中插入上個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列｛勿｝：a1,2,。2，4,6,U-2），8,10,12,〃4，,,,,

插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項為2,公差為2的等差數(shù)列,求｛仇｝的前50項和750.（9分）

18.（17分）（2024?齊齊哈爾模擬）某中學(xué)有A,B兩個餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、

張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下（其中餐廳選擇

表示為（午餐，晚餐））：

⑶A)(A,B)(B,A)(B,B)

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.

（1）估計一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；（5分）

（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和均值E（X）；（5分）

（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，P（M）>0,已知推

出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大,

證明：尸（叫花）.（7分）

22

19.（17分）已知曲線C：^+^=t（a>b>0）,當D>0）變化時得到一系列的橢圓，我們把它稱為“a-b橢圓

群”.

（1）求“2-1橢圓群”中橢圓的離心率；（5分）

（2）若“a-b橢圓群”中的兩個橢圓Ci，G對應(yīng)的/分別為人，d且才=2/2（世>0），則稱G，C2為“和諧

橢圓對”.已知Ci，C2為“和諧橢圓對”，尸是。2上的任意一點，過點P作C2的切線交G于A,3兩

點，Q為Ci上異于A,3的任意一點，且滿足的=a^l+麗，問：川+加是否為定值？若為定值，求出

該定值；否則，說明理由.（12分）

答案精析

1.C[由M={x|x<0或x>2},

得CRM={X|0?2}.

又2{%|0<》<4},

所以(CRM)UN={x|0<x<4}.]

2.A[(ei+2e2)2=e"+4eJe2+4或=1-2+4=3,

故ei+2e?|=V^.

(ei+2e2>e2=ere2+2$=，+2=|,設(shè)ei+2e?與e?的夾角為6,

又作［0,兀］,故0=2］

O

3.B［元件B,C都不正常的概率pi=(l-0(1-0=;,

則元件3,C至少有一個正常工作的概率為1-0三,

而電路是通路，即元件A正常工作，元件B,C至少有一個正常工作同時發(fā)生，所以這個電路是通路的概

率p=lX-=-.］

248

_k

4.D［因為(1-皆"的展開式的通項為T,+i=Cg(-W=C^(-D^,

令打2，得28,所以％2的系數(shù)是另(-1)8=11

5.A［因為E是BC邊中點，所以荏=/荏+前),

^XAE2=-(AB2+AC2+2AB-AC),

4

所以扉『=罰碼祠2+2|西麻|cos120°),

所以為(4+1祠2-2|祠),即福2_2阿|+1=0,

得的1=1,

因為AD是/及1C的平分線，

所以NRW=/CAO=60°,

因為S^ABC=SAABD+S/^ACD,

所以/AACsin/BAC=18?A￡)sin/R4￡)+14C?A￡)sinZCAD,

fi/rU(|x2x1Xy=1x2AZ)Xy+|xA￡)Xy,

解得AD=|.]

6.C[如圖，過圓(x+l)2+(y—1)2=2的圓心C(-l,1)作直線l:x-y-4=0的垂線CE,垂足為E,

則以O(shè)E為直徑的圓D(設(shè)其半徑為r)即為所求圓.理由如下：

另作一個圓F,與圓C相切,與直線/切于點G,設(shè)其半徑為r1,

由圖知|CR+|FG|>|CG|>|C￡|,即近+2r>/+2r,即r<r',

即圓。是符合要求的最小圓.

由點C(-l,1)到直線/：x-y-4=0的距離為|CE|上，心=3/,則4券=也,

設(shè)點D(x,y),由CDL可得，

冷=-1,即產(chǎn)-x,①

由點D(x,y)到直線I：x-y-4=0的距離等于近，可得三產(chǎn)=魚，②

聯(lián)立①②可解得，尸3或尸1,由圖知僅x=l符合題意，

即得。(1,-1),故所求圓的方程為(x-l)2+(y+1)2=2]

7.B[設(shè)F(c,0),0為坐標原點,則陽=黑=等。，

從而cosZOFP=~.c

設(shè)E的左焦點為F',\QF\=t,連接QF,由雙曲線的定義，得|QF|=f+2a.

在手中，由余弦定理，得(什2。)2=/2+(2。)2-2林2cx(―2),解得仁與.

由所=3而，得丹=36，解得衿，所以e=：=Jl+(T=Jl+G)4

8.A［由題意得以=/(x)+l,

xlnx+1,%>0,

則直線產(chǎn)QX與函數(shù)h(x)=J(x)+l=0,x=0,的圖象有5個交點.

、％ln(一%)—l,x<0

顯然，直線產(chǎn)ax與%(x)的圖象交于點(0,0).

又當x>0時,-x<0,

h(-x)=-xlnx-l=-h(x)；

當x<0時,-x>0,

h(-x)=-xln(-x)+1=-h(x)；

當x=0時，h(x)=0,所以%(x)是奇函數(shù).

則只需直線y=ax與曲線y=xlnx+l(x>0)有2個交點即可，

所以方程?=lnx+F有2個實數(shù)根.

令r(x)=lnx+|,貝(J/0)=妥,

當0<%<1時，t'(x)<0,t(x)單調(diào)遞減；

當x>l時,t'(x)>0,t(x)單調(diào)遞增,

所以?)1*1)=1.

111

t(x)=lnx+-X=X—In-X，

當時，工f+8,《X)f+8；

X

當x—+8時，ln1f+8,Lf(),

X

?)一+8,

所以只需〃>L］

9.BD［因為0<x<Tt,

所以0<COX<COTl,

因為兀r)單調(diào)遞減，所以由余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)得0〈。兀WTI,

即0＜oWl,故A錯誤；

因為兀r)的最小值為-1,故由余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)得。兀＞兀，即。＞1,故B正確；

因為於)僅有兩個零點，故由余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)得當兀，

即,故C錯誤；

因為兀0僅有兩個極值點，故由余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)得2兀＜。無＜3兀,

即2＜。＜3,故D正確.]

10.ABD[對于A,：zi為純虛數(shù)，

?'.可設(shè)zi=6iSW0),

z^=-b2=-\zi\-,A正確；

對于B,設(shè)Z2=m+ni(m,n￡R),

V|Z2-1|=2|Z2-4|,

JU!!(m-1)2+n2=4(m-4)2+4n2,

即(加-5)2+"2=4,

則Z2所對應(yīng)點的軌跡是以(5,0)為圓心，2為半徑的圓，

，3＜|Z2|W7,B正確；

對于c,????為純虛數(shù)，

???zi對應(yīng)的點在y軸上(除去原點)，

Z2所對應(yīng)點的軌跡是以(5,0)為圓心，2為半徑的圓，

，izia的取值范圍為(3,+8),

；?|Z1-Z21無最小值,C錯誤；

對于D,|zi-Z2+3i|=|(6+3)i-Z2|,

表示點(0,。+3)到以(5,0)為圓心，2為半徑的圓上的點的距離，

?.?(6+3)i(6W0)為純虛數(shù)或0，點(0,6+3)在y軸上滁去點(0,3)),

，當b=-3時，|zi-Z2+3i|取得最小值3,D正確」

11.BCD［對于A,令x=0,

則處)

=2%),

二危)為奇函數(shù)，故A不正確；

對于B,令4產(chǎn)0,貝［|火。)=0,

令產(chǎn)1,則於+1)人尤-1)=紈1㈤/⑴=紈14)，

../x)為奇函數(shù)，

,次x+l)=/>l),

?'猶x+2)=於),

，/(x+4)=Xx),

.?優(yōu)x)的周期為4,

■,-A2024)那)=0,故B正確;

對于C,'VU)為奇函數(shù)，

?'?火x)=-1K-x),

二八元)為偶函數(shù)，

?/>+l)=^x-l),

?V(x+l)=/(x-l),

f(x+2)=/(x),

：.f(x+4)=f(x),

.d(x)的周期為4,

?"(x)為偶函數(shù),

?V(x+l)=/(l-x),

，八X)關(guān)于點(1,0)對稱,

所以八1)=0,

令％=2,可得八3)=/(1)=0,

令尸3,可得八4)=*2),

所以八4)tf(2)=0,

故八l)tf(2)"(3)+f(4)=0,

???/(Dtf(2)+…tf(2025)=506x0tf(l)=0,故C正確；

對于D,令.『1-y,

則火1)貝々)=2町)『，

即加)川-2X)=2[/(X)]2,①

令y=l-x,

則丸1)式2x-l)=2貝㈤]2,②

由①+②得2|?]2+2貝㈤六身⑴蟲[2x)式2x-l)=紈1)=2,

貝㈤]2=1,故D正確」

12.12

解析設(shè)勺<z<15,x,y,zCN*),則這3個分數(shù)的平均數(shù)為:，且這3個分數(shù)不能都小于《,

xyz266

所以至少有1個是熹或裝4或右

若其中1個分數(shù)為*，則另外2個分數(shù)分別是:，紜；

若其中1個分數(shù)為1則不存在符合題意的另外2個分數(shù)；

若其中1個分數(shù)為:，則另外2個分數(shù)分別是：，*；

若其中1個分數(shù)是+,則另外2個分數(shù)分別是2,當

綜上，符合題意的分數(shù)有2組，則得到不同對應(yīng)點的個數(shù)是2Ag=12.

56TI

U.—

9

解析如圖，以AC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，△A3C旋轉(zhuǎn)一周形成兩個共底面的圓錐，△ADC旋轉(zhuǎn)一周形成一

這兩個幾何體重疊的部分是以圓。為底面，A,C為頂點的兩個小圓錐，其體積記為V2,

2

則所求幾何體體積V=2V/2=2x］（遍）2x4號r（羊）乂4=等

14.V2+1

解析設(shè)P到直線AC的距離為d,

因為SABCF:SAAC產(chǎn)1：2,

一二

可得1

1\AC\-d2

所以BC:AC=1：2,

所以包M,

X

A乙

即XA=2XB^.XA,無B>0,

X=ty+2,

設(shè)直線AB的方程為x=ty+2,聯(lián)立方程組

y2=4x,

整理得產(chǎn)4y8=0,

貝!]J=16?+32>0,

所以班犯=-8,/=4無A,呼=4%,

04功）2二64二4

則XXB=-

A16-16一,

X=2X,

聯(lián)立方程組?AB

xAxB=4,

解得xA=2^j2,XB=V2,

由拋物線的定義，

可得13F|=%嗎=點+1.

15.⑴證明如圖，連接AE交DF于點H,連接GH.

因為六邊形ABCD所是邊長為次的正六邊形，

所以NHED=/AFH=90。,ZEDH=ZHAF=3Q°,AF=DE3,

所以EH=EDtan30°=1,

所以AH=2EH

又PG=2GE,所以GH//PA.

因為PAu平面PAC,GHC平面PAC,

所以GH〃平面P4C.

又DF//AC,ACu平面PAC,ORt平面PAC,

所以〃平面PAC.

又DFCGH=H,DF,GHu平面DFG,

所以平面。尸G〃平面PAC.

又PGu平面DFG,

所以歹G〃平面PAC.

⑵解由PA_L平面ABCDEF,AFLAC，得AF,AC,PA兩兩垂直.

以A為坐標原點，A歹，AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0),P(0,0,1),F(V3,0,0),C(0,3,0),

所以瓦^,0,-1),PC=(0,3,-1),^F=(V3,0,0).

設(shè)平面PCF的法向量為m={x,y,z),

則-PF=V3x-z=0,

[m-PC=3y—z=0,

令y=l,得尤=g,z=3,

則平面PC尸的一個法向量為

m=(V3,1,3).

由(1)得平面DFG〃平面PAC,

又A"L平面PAC,

所以A尸，平面。歹G,

從而而為平面DFG的一個法向量.

設(shè)平面DFG與平面PCF的夾角為3,

則cos歸cos{m,AF)|=超=懸胡魯，

所以平面D/G與平面PCF夾角的余弦值為善.

16.解⑴當?=1時，

f(x)=lnx-ln(x+l),

=

Jf('x)'x~--x-+-1-z

fW=l,川)=」n2,

所以曲線y=Ax)在點(1,/⑴)處的切線方程為y+ln2=扯-1),

整理得x-2y-21n2-1=0.

(2)?fix)=alnx-ln(%+l),%>0,

.a1_(a-l)x+a

JI)比x+1x(x+l)'

因為0<fl<l,令八x)=0,

解得,所以，

1-a1-a

因為x>0,當x變化時，八x),火龍)的變化情況如表：

(占a

X0,(1,+8)

11—a/1—(Z-a)

+0-

?單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

所以函數(shù)產(chǎn)於)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,七)，單調(diào)遞減區(qū)間是(士，+8),

所以人X)有極大值，沒有極小值.

/(X)的極大值為/(E)=aln￡-ln(士+l)=Mna+(l-a)ln(l-a).

②由①得

g(<a)=alna+(1-<2)ln(1-a)(Q<a<1),

g'(a)=l+lna-ln(l-d)-l=lna-ln(l-a),

令g(a)=。,解得a=：.

因為0<a<l,當a變化時,gr(a),g(a)的變化情況如表：

1

a

(04)2

g'(a)-0+

g(a)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

而g?月小嗚

=-ln2,

所以g(a)的最小值為-In2.

17.⑴證明因為Sn=2a?-n,

當n=l時，<21=1；

當n》2時，Sn-i=2a?-i-(n-1),

兩式相減得斯=2篇1+1,

所以o?+l=2(an_1+1),

又<21+1=2,

所以數(shù)列｛%+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得斯+1=2",

n

即an=2-l.

⑵解由題意得,插入的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項公式為2+2(n-l)=2n,在新數(shù)列｛兒｝中，從的到ak,共插入了

1+2+???+&-1)=竺/項，

則｛兒｝中共有人空3項.

當上9時，9+安^=45<50；當k=lO時，10+四產(chǎn)=55>50,

所以在新數(shù)列｛為｝的前50項中，有｛廝｝的前9項，新插入的等差數(shù)列｛2n｝的前41項.

乙o=(2-1)+(22-1)+--+(29-1)+(2+4+…+82)=2(；］；)-9+41X2+^|^X2=2735.

18.(1)解設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因為30天中王同學(xué)午餐和晚餐選

擇不同餐廳就餐的天數(shù)為6+12=18,

所以P(O=i!=0.6.

⑵解由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3,王同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就

餐的概率為0.1,張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2,張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐

的概率為0.4,X的所有可能取值為1,2,

所以P(X=l)=0.3x0.2+0.1x0.4=0.1,尸(X=2)=l-尸(X=l)=0.9,

所以X的分布列為

X12

P0.10.9

則E(X)=lxO.l+2xO.9=1.9.

⑶證明由題知

P(N\M)>P(N\M),

P(]VM)_P(N)-P(NM)

所以舒>----=——--------------------

P(M)l-P(M)

所以P(NM)>P(N)P(M),

所以P(NM)-P(N)P(NM)>P(N)P(M)-P(N)P(NM),

即P(NM)P(N)>P(N)P(NM),

所以鬻>需，

即P(M\N)>P(M\N).

22

19.解⑴由題意可知，“2-1橢圓群”的方程為力+1(介。),

,24t-t3,V3

??e-------——.??c——.

4t42

2222

(2)由題意得，G：沁g2(4*0)；C2：*2"。),

①當直線AB斜率不存在時，直線