初中三角函數(shù)公式與定理

...wd......wd......wd...初中三角函數(shù)公式及其定理第十一次授課1、勾股定理：直角三角形兩直角邊、的平方和等于斜邊的平方。2、如以以以下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)：定義表達式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)(倒數(shù))余切(∠A為銳角)對邊鄰邊斜邊A對邊鄰邊斜邊ACB4、5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)0°30°45°60°90°011001--106、正弦、余弦的增減性：當0°≤≤90°時，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。7、正切、余切的增減性：當0°<<90°時，tan隨的增大而增大，cot隨的增大而減小。1、解直角三角形的定義：邊和角〔兩個，其中必有一邊〕→所有未知的邊和角。依據(jù)：①邊的關(guān)系：；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。(注意：盡量防止使用中間數(shù)據(jù)和除法)2、應用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。3、從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30°〔東北方向〕，南偏東45°〔東南方向〕，南偏西60°〔西南方向〕，北偏西60°〔西北方向〕。典型例題例題1(2009·安徽中考)長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角〔如以以以下圖〕，則梯子的頂端沿墻面升高了m．練習1(2008·慶陽中考)如圖，一架梯子斜靠在墻上，假設梯子底端到墻的距離=3米，，則梯子長AB=米.例題2〔2007·湖州中考〕小明發(fā)現(xiàn)在教學樓走廊上有一拖把以15°的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴重影響了同學們的行走安全。他自覺地將拖把挪動位置，使其的傾斜角為75°，如果拖把的總長為1.80m，則小明拓寬了行路通道_______________m．〔結(jié)果保存三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈26，cos15°≈0.97〕練習2〔2009·慶陽中考〕如圖〔1〕，一扇窗戶翻開后用窗鉤AB可將其固定．如圖〔2〕是如圖〔1〕中窗子開到一定位置時的平面圖，假設∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求點B到OA邊的距離．〔，結(jié)果準確到整數(shù)〕例題3〔2009·郴州中考〕如圖，數(shù)學活動小組來到校園內(nèi)的一盞路燈下測量路燈的高度，測角儀AB的高度為1.5米，測得仰角為，點B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米〔取=1.414，=1.732，結(jié)果保存兩位小數(shù)〕練習3〔2009·眉山中考〕海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離。例題4〔2009·常德中考〕如圖，某人在D處測得山頂C的仰角為30o，向前走200米來到山腳A處，測得山坡AC的坡度為i=1∶0.5，求山的高度〔不計測角儀的高度，，結(jié)果保存整數(shù)〕．練習4〔2008·廣安中考〕如圖，某幼兒園為了加強安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾角由45o降為30o，原滑滑板AB的長為5米，點D、B、C在同一水平地面上．〔1〕改善后滑滑板會加長多少〔準確到0.01〕〔2〕假設滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行說明理由。(參考數(shù)據(jù)：)家庭作業(yè)10.(2008·慶陽中考)如圖，一架梯子斜靠在墻上，假設梯子底端到墻的距離=3米，，則梯子長AB=米.答案：411.〔2007·湖州中考〕小明發(fā)現(xiàn)在教學樓走廊上有一拖把以15°的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴重影響了同學們的行走安全。他自覺地將拖把挪動位置，使其的傾斜角為75°，如果拖把的總長為1.80m，則小明拓寬了行路通道_______________m．〔結(jié)果保存三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈26，cos15°≈0.97〕答案：1.28三、解答題12.〔2009·慶陽中考〕如圖〔1〕，一扇窗戶翻開后用窗鉤AB可將其固定．如圖〔2〕是如圖〔1〕中窗子開到一定位置時的平面圖，假設∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求點B到OA邊的距離．〔，結(jié)果準確到整數(shù)〕【解析】如圖，過點B作BC⊥OA于點C∵∠AOB=45°，∴∠CBO=45°，BC=OC．設BC=OC=x，∵∠OAB=30°，∴AC=BC×tan60°=x．∵OC+CA=OA，∴x+x=60，∴x=≈22〔cm〕．即點B到OA邊的距離是22cm．13.〔2009·郴州中考〕如圖，數(shù)學活動小組來到校園內(nèi)的一盞路燈下測量路燈的高度，測角儀AB的高度為1.5米，測得仰角為，點B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米〔取=1.414，=1.732，結(jié)果保存兩位小數(shù)〕【解析】在直角三角形中，，米MP=10·tan300=10×≈5.773米因為米所以MN=1.5+5.77=7.27米答：路燈的高度為7.27米14.〔2009·眉山中考〕海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離?！窘馕觥咳鐖D，過B點作BD⊥AC于D∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°設BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝tan30°＝在Rt△BDC中，BD＝DC＝xBC＝又AC＝5×2＝10∴，得，∴〔海里〕答：燈塔B距C處海里15.〔2009·常德中考〕如圖，某人在D處測得山頂C的仰角為30o，向前走200米來到山腳A處，測得山坡AC的坡度為i=1∶0.5，求山的高度〔不計測角儀的高度，，結(jié)果保存整數(shù)〕．【解析】設山高BC=，則AB=，，得，解得米16.〔2008·廣安中考〕如圖，某幼兒園為了加強安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾角由45o降為30o，原滑滑板AB