第27講 尺規(guī)作圖 2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（廣東專用）

第七章圖形的變化第27講：尺規(guī)作圖（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一：尺規(guī)作圖04題型精研·考向洞悉命題點一實數(shù)的分類命題點一：尺規(guī)作圖?題型01尺規(guī)作圖-作線段?題型02尺規(guī)作圖-作角度類型一作一個角等于已知角類型二過直線外一點作這條線的平行?題型03作角平分線?題型04尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）?題型05尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高、垂直平分線?題型06尺規(guī)作圖-畫圓?題型07尺規(guī)作圖-過圓外一點作圓的切線?題型08尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形?題型09尺規(guī)作圖-格點作圖05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測尺規(guī)作圖能用尺規(guī)作圖:①作一個角等于已知角；作一個角的平分線.

②作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線.

③過直線外一點作這條直線的平行線.

④已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

⑤過不在同一直線上的三點作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形.

⑥過圓外一點作圓的切線.10年8考本考點內(nèi)容以考查尺規(guī)作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為6分左右．預(yù)計2025年廣東中考還將繼續(xù)考查這兩個知識點.中考對尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對作圖技法操作進(jìn)行考查，而考點一尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖的定義：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖．五種基本作圖：類型圖示作圖依據(jù)作一條線段等于已知線段圓上的點到圓心的距離等于半徑.作一個角等于已知角1)三邊分別相等的兩個三角形全等；2)全等三角形的對應(yīng)角相等；3)兩點確定一條直線.作一個角的平分線作一條線段的垂直平分線1)到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；2)兩點確定一條直線.過一點作已知直線的垂線1)等腰三角形“三線合一”；

2)兩點確定一條直線.根據(jù)基本作圖作三角形類型圖示已知三角形的三邊，求作三角形已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形根據(jù)基本作圖作圓類型圖示過不在同一直線上的三點作圓

（即三角形的外接圓）作三角形的內(nèi)切圓尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題；3)切記作圖中一定要保留作圖痕跡．命題點一：尺規(guī)作圖?題型01尺規(guī)作圖-作線段1．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）已知：線段a和，求作：，使，且，．【答案】見詳解【分析】本題主要考查作圖，涉及作已知角的角平分線、坐一個角等于已知角和作垂線，首先作的角平分線，其次，以已知線段的一個端點為點作，再次過點B作已知角的另一邊的垂線，垂足為C，此時即為所求．【詳解】解：如圖，2．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，．(1)實踐操作：用尺規(guī)作圖法過點B作邊上的高；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，在線段上截取線段，使，連接，求證四邊形是矩形，并求出它的周長．【答案】(1)圖見解析(2)圖與證明見解析，周長為【分析】（1）根據(jù)垂線作法直接作垂線即可；（2）截取線段，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合可證得四邊形是平行四邊形，再結(jié)合（1）作法可得，從而證得平行四邊形是矩形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和菱形的性質(zhì)即可求得矩形的長與寬，從而求得四邊形的周長．【詳解】（1）解：如圖所示，線段即為所求作的高．（2）證明：如圖所示，截取線段，連接．∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形．由（1）作法知：，∴，∴平行四邊形是矩形，∴，∴，∴．∵四邊形是菱形，，∴．在中，∵，，∴，，∴，∴矩形的周長為：．【點睛】本題考查了作垂線，作線段等于已知線段，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運用相關(guān)知識．3．（2024·廣東佛山·二模）已知如圖，中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線交于點，在上取點，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)在（1）的條件下，連接，證明：四邊形是菱形．【答案】(1)圖見解析；(2)證明見解析．【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖可得；以點為圓心，的長為半徑畫弧，與的交點即為點；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再結(jié)合角平分線的定義得出、根據(jù)菱形的判定，即可證明．【詳解】（1）解：如圖，和點即為所求．（2）證明：四邊形為平行四邊形，∴，．為的平分線，，，．，，四邊形為平行四邊形．，四邊形為菱形．4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點C、D在圓上，，平分，與相交于點E．(1)在的延長線上找一點F，使，連接（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：是的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)基本作圖的基本要求作圖解答即可．（2）連接．根據(jù)直徑，得到，進(jìn)而得出，再由圓周角定理，得到，，從而推出，得到，即可證明是的切線．本題考查了基本作圖，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定定理，熟練掌握作圖，切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，作圖如下：則點、為所求．（2）證明：連接．是的直徑，，平分，，，，，．，，，，，．，，，，，．又為半徑，是切線．?題型02尺規(guī)作圖-作角度類型一作一個角等于已知角5．（2024·廣東佛山·一模）如圖，在中，是邊上的一點．(1)請用尺規(guī)作圖，在內(nèi)部求作，使交于點（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)9【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．6．（2024·廣東·一模）已知：如圖，在矩形中，是邊上的點，連接．(1)尺規(guī)作圖，以為邊，為頂點作，交線段于點．（要求：基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）．(2)求證：四邊形為平行四邊形【答案】(1)作圖見解析；(2)證明見解析．【分析】（）根據(jù)作一個角等于已知角的作法作圖即可；（）由矩形得到，，，，再證明得到，進(jìn)而得到，即可求證；本題考查了作一個角等于已知角，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵四邊形為矩形，∴，，，，，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴四邊形為平行四邊形．7．（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖，在中，是邊上的一點．

(1)請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)，求作，使，交于點（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)要求，利用基本作圖（作一個角等于已知角）；（2）根據(jù)，則可判斷出利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2），，，，，，．【點睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．8．（2023·廣東·模擬預(yù)測）作圖并證明：(1)如圖，在的邊AC的上方作，在射線AE上截取，連接CD；（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】對于（1），以點C為圓心，任意長為半徑畫弧，再以點A為圓心，為半徑畫弧，然后以點G為圓心，為半徑畫弧，交于點H，作射線，再截取，連接；對于（2），根據(jù)（1）可知，進(jìn)而得出，即可得出四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）圖中的，AD，CD為所求作的圖形；（2）∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作一個角等于已知角，平行四邊形的性質(zhì)和判定等，尺規(guī)作出一個角等于已知角是解題的關(guān)鍵．類型二過直線外一點作這條線的平行9．（2020·廣東東莞·一模）如圖，在△ABC中，點E是AB延長線上一點，且BE＝AB．（1）尺規(guī)作圖：在∠CBE內(nèi)作射線BD，使BD∥AC．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在BD上取點F，使BF＝AC，連接EF，求證△ABC≌△BEF．

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．【分析】（1）利用尺規(guī)作∠CBD=∠C即可．（2）根據(jù)SAS證明三角形全等即可．【詳解】解：（1）如圖，射線BD即為所求．

（2）∵BD∥AC，∴∠EBD＝∠A，∵BE＝AB，BF＝AC，∴△EBF≌△BAC（SAS）．【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形，E為邊上一點．求作：四邊形內(nèi)一點P，使，且點P到的距離相等．【答案】見解析【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線和作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖方法．作的平分線，以E為頂點，為一邊作，交于P，點P即為所求．【詳解】解：作的平分線，以E為頂點，為一邊作，交于P，如圖，點P即為所求．11．（2024·江蘇連云港·二模）如圖，為的直徑，點為外一點，連接．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點作，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接，當(dāng)點滿足什么條件時，四邊形是平行四邊形？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握平行四邊形的判定方法．（1）在上方作等于的鄰補角即可；（2）根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷即可．【詳解】（1）解：（1）如圖，射線即為所求；（2）當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．理由：，，四邊形是平行四邊形．12．（2024·河南鄭州·三模）如圖，平行四邊形中，，點為的中點，連接.(1)過點作，交于點（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：四邊形為菱形；(3)若平行四邊形的周長為18，，求四邊形的面積.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】本題考查作圖-基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．（1）利用作一個角等于已知角作圖即可解題；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，再結(jié)合作圖得到四邊形為平行四邊形，然后證明即可得到結(jié)論；（3）連接，先利用勾股定理求出長，再證明是平行四邊形，求出長，利用菱形的性質(zhì)求面積即可．【詳解】（1）如圖，即為所作；（2）證明：∵是平行四邊形，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，點為的中點，∴，∴四邊形為菱形；（3）連接，設(shè)，∵平行四邊形的周長為18，∴，即，∵，即，解得，又∵四邊形為菱形，∴，，又∵，∴是平行四邊形，∴，∴．?題型03作角平分線13．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在中，是的角平分線．(1)實踐與操作：作的角平分線，交于點（尺規(guī)作圖，不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)應(yīng)用與證明：求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查尺規(guī)基本作圖-作角的平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)基本作圖-作角的平分線以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）按照尺規(guī)基本作圖-作角的平分線的作圖步驟作圖即可．（2）證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，為所求．（2）證明：，．平分平分，．在和中，，．．14．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，是的一個外角，，．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，求證：四邊形是菱形【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了作圖—基本作圖，角平分線的定義，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和菱形的判定，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）利用基本作圖作的平分線即可；（2）根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，，得證四邊形是平行四邊形，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）證明：，，平分，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形．15．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，．(1)實踐與操作：作的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)應(yīng)用與計算：記的平分線交于點D，E是上一點，且．若，，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)作法利用尺規(guī)作圖即可．（2）由（1）得為的平分線，利用角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角函數(shù)得到，再根據(jù)三角形全等的判斷及性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖所示，即為所求．（2）解：∵，∴，∵為的平分線，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖（角平分線），角平分線的定義，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)．16．（2024·廣東東莞·三模）如圖，矩形．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，若，，寫出長為____________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法求解即可；（2）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，然后等量代換得到，求出，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖所示；線段即為所求；（2）∵四邊形是矩形，∴，，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，角平分線的概念和平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．?題型04尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）17．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是正方形．

(1)尺規(guī)作圖：以為邊，在正方形內(nèi)部作等邊．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接，在第（1）問的基礎(chǔ)上，若，求點E到的距離．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的判定，以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在正方形內(nèi)部交于點，連接，即可．（2）過點作，交于點，作，分別交、于點、，利用等邊三角形的性質(zhì)、正方形性質(zhì)可得：，，利用銳角三角函數(shù)在和中分別求出，的值，再在中，求出的值，即為點到的距離．【詳解】（1）解：如圖，以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在正方形內(nèi)部交于點，連接，，則等邊三角形即為所求．

（2）過點作，交于點，作，分別交、于點、，∵四邊形是正方形，，∴，，∴，∵是等邊三角形，，∴，，，在和中，，∴，，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴，即點到的距離為．【點睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023·廣東珠?！ざ＃┤鐖D1，在中，．用尺規(guī)作圖，在線段上作點D，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)如圖2，小明的作法是：以點B為圓心，為半徑作弧，交于點D，連接．請你幫助小明說明這樣作圖的理由；(2)請用另一種作法完成作圖．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分別求出，即可得到；（2）可以作的垂直平分線或者的角平分線都可以．【詳解】（1）解理由如下：∵∴由作圖可知，∴∴∴∴∴（2）如圖所示或【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．（2024·廣東廣州·一模）數(shù)學(xué)中的軸對稱就像鏡子一樣，可以展現(xiàn)出圖形對稱的美，初中常見的軸對稱圖形有：等腰三角形、菱形、圓等．如圖，在等腰中，．(1)尺規(guī)作圖：作關(guān)于直線對稱的（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)連接，交于點，若，四邊形周長為，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）分別以點A、C為圓心，為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接、即可；（2）先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得，，則可求得，再根據(jù)（1）知四邊形為菱形，根據(jù)菱形的周長可求得，由勾股定理，可求出，從而求得，然后由菱形的面積公式可求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，由作圖可知：，∵∴∴四邊形為菱形，∴與關(guān)于直線對稱．（2）解：如圖，∵與關(guān)于直線對稱．∴，，∴，由（1）知四邊形為菱形，∴，∵四邊形周長為，∴，由勾股定理，得，∴．∴四邊形的面積．【點睛】本題考查尺規(guī)作三角形，軸對稱的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積．熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，，．

(1)求作及，滿足為等邊三角形，，其中，點，與點在的同側(cè)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先由三邊相等的三角形為等邊三角形作，再由題中條件，根據(jù)鄰補角定義作即可得到答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：如圖所示：

，，，延長，尺規(guī)作圖，及即為所求；（2）解：連接，，，如圖所示：

，，，，，，，三點共線，．【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖-作相等線段及作相等角，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?題型05尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高、垂直平分線21．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，且．(1)作的垂直平分線，交于點D，交于點E，連接，延長，交直線于點F；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了垂直平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，證明是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．（1）作圖：分別以為圓心，大于為半徑作圓弧相交于兩點，過兩點作直線，交于點D，交于點，即可求解；（2）根據(jù)和（1）的結(jié)論，證明是等腰三角形，且，即可證明．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）如（1）中所作的圖，且是的垂直平分線，，，，，，，，，，是等腰三角形，又，．22．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）如圖，在中，(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作邊的高（保留作圖痕跡，不用寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，，，求的長．【答案】(1)圖見解析(2)【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線及解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．（1）過點作邊的垂線，垂足為，即為所求；（2）利用、的正切值分別求出、的長即可得答案．【詳解】（1）解：如圖所示：為所要求作的高．（2）∵為邊上的高，∴，∴，在中，，即，∴，在中，，即，∴，∴．23．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知矩形的平分線交的延長線于點E．(1)尺規(guī)作圖：過點B作的垂線交于點G（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）所作的圖形中，連接，若平分，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）以點B為圓心，畫弧交于兩點，再以這兩個交點為圓心畫弧交于一點，連接B與這點，并延長交于于一點，即為G；（2）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得出，再證明因為四邊形是矩形，所以，用等角對等邊，得，結(jié)合，則結(jié)合勾股定理，得，，因為，所以，即可作答．本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖（1）所示，即為所求．（2）證明：如圖（2），∵平分，∴又∵，∴∴．∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴．∵平分，∴．又∵，∴，，∵，∴24．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）如圖所示，是等邊三角形，點是的中點，延長到，使．(1)用尺規(guī)作圖的方法，過點作，垂足是M（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了過直線外一點作已知直線的垂線及考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)；作圖題要注意保留做題痕跡．證得是正確解答本題的關(guān)鍵．（1）按照過直線外一點作已知直線的垂線步驟來作圖；（2）要證可證，根據(jù)三線合一得出．【詳解】（1）作圖如下：（2）是等邊三角形，是的中點平分（三線合一）又又又．?題型06尺規(guī)作圖-畫圓25．（2023·廣東湛江·一模）如圖，已知四邊形是矩形，把沿對角線翻折得到，交于點，是的外接圓．

(1)利用尺規(guī)作出的外接圓（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：；(3)若，試判斷與直線的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)直線是的切線，理由見解析【分析】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，銳角三角函數(shù)，求出是解本題的關(guān)鍵．（1）先作出，的垂直平分線，找出圓心，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先求出，進(jìn)而依次求出，，，再判斷出，進(jìn)而求出，判斷出是等邊三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，為所求作的圖形．

（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊知，，∴，∴．（3）解：直線是的切線，如圖，連接，，

∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，由（2）知，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵點在上，∴直線是的切線．26．（2023·廣東梅州·二模）如圖所示，已知在中，，；

(1)求的面積以及的值；(2)作出的外接圓（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）如圖所示，過點作，垂足為，由等腰三角形三線合一，得，，由勾股定理可知，所以，．（2）如圖，分別作線段，的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，兩垂直平分線的交點O到三角形三個頂點的距離相等，即外接圓圓心，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作，垂足為，

∵

∴為中點即，平分即，由勾股定理可知，∴，∴．（2）解：如圖，分別作線段，的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，兩垂直平分線的交點O到三角形三個頂點的距離相等，即外接圓圓心，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，即為所求．

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，尺規(guī)作圖作三角形外接圓；作等腰三角形的底邊上高，運用三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：以為直徑作，連接并延長，分別交于，兩點（點位于右側(cè)，點位于左側(cè)）；(2)連接，，求證：；(3)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意作出圖即可；（2）由為的直徑，得到，由，得到，從而得到，又由即可得到；（3）在中，，得到，即可得到，從而得到為等邊三角形，再根據(jù)三角形的外角得到，即，作交于，根據(jù)三角函數(shù)即可求得的長，根據(jù)勾股定理可求出的長，最后即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

；（2）解：如圖所示：

，為的直徑，，，，，，，；（3）解：在中，，，，，，為等邊三角形，，，，作交于，

，，，，，，．【點睛】本題主要考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，尺規(guī)作圖，熟練掌握勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．28．（2023·廣東廣州·二模）如圖，在等腰中，，過點C作交于點D，

(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，交于點O，以點O為圓心，為半徑作（保留痕跡，不要求寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，①求證：是的切線；②若的半徑為，問線段上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與相似?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)①見解析；②存在，或1【分析】（1）因為，所以以為直徑作圓即為；（2）①過半徑外端點C，要證是過A，D，C三點的圓的切線，只證即可；②通過證明，再利用相似比即可求得的長．【詳解】（1）作的垂直平分線，交于點O，

以點O為圓心，長為半徑作圓即為所作的．（2）①∵，∴，∴是的直徑．連接，∵，∴．又∵，∴．∴．∴．∴是的切線．②存在．∵，∴．∴．在中，，∴．過點D作，則，∴．∵，∴．②過點D作，則，∴．∵，∴．綜上，的長為或1．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，外接圓作法及切線的判定的綜合運用．?題型07尺規(guī)作圖-過圓外一點作圓的切線29．（2024·廣東東莞·一模）如圖，點為外一點．(1)過點作兩條切線、(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；(2)證明：平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，作的垂直平分線，以的中點為圓心，長為半徑作圓，交于點，作直線，則即為所求；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）解：如圖，、為所求，理由：為直徑，，，，是的切線；（2）證明：連接、，、為兩條切線，，，在與中，，，，平分．【點睛】本題考查了作垂線，作圓的切線，直徑所對的圓周角是直角，切線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．30．（2024·廣東廣州·一模）如圖，為經(jīng)過圓心的一條線段，且與交于點．(1)過在的上方作的切線，切點為，過作，垂足為，與交于點．請尺規(guī)作圖，不用寫作圖的詳細(xì)步驟．(2)求證：平分；(3)若，，求的半徑．【答案】(1)作圖見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（）作線段的垂直平分線，交于點，以點為圓心，為半徑畫圓，交于點，作射線，由直徑所對的圓周角是直角可得，即為的切線，再根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法可作出；（）證明可得，又由，得到，進(jìn)而得到，即可求證；（）連接，證明，得到，由根據(jù)，得到，求出即可求解；本題考查了過圓外一點作圓的切線，過直線外一點作已知直線的垂線，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：如圖，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分（3）解：連接，∵是直徑，∴，∴，∵是切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，，∴，∴的半徑為．31．（2023·黑龍江綏化·中考真題）已知：點是外一點．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過點作出的兩條切線，，切點分別為點、點．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，若點在上（點不與，兩點重合），且．求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）①連接，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫圓，兩圓交于點兩點，作直線交于點，②以點為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點，作直線，（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

①連接，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點兩點，作直線交于點，②以點為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點，作直線，則直線即為所求；（2）如圖所示，點在上（點不與，兩點重合），且，∵是的切線，∴，∴，當(dāng)點在優(yōu)弧上時，，當(dāng)點在劣弧上時，，∴或．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．32．（2023·江蘇徐州·三模）如圖，已知P是外一點．按要求完成下列問題：

(1)作圖：(保留作圖的痕跡)①連接，與交與點A，延長，與交于點B；②以點P為圓心，長為半徑畫弧，以點O為圓心，長為半徑畫??；③兩弧相交于點C，連接，與交于點D，連接，．(2)證明：為的切線；(3)計算：利用直尺、三角尺或量角器測量相關(guān)數(shù)據(jù)，可計算出弧與弦所圍“弓形”的面積為______．(結(jié)果保留根號或精確到)【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意完成作圖即可；（2）先連接，得到是等腰三角形，點D是的中點，再利用等腰三角形“三線合一”證明即可；（3）測量出圓的半徑和扇形的圓心角，再根據(jù)面積公式計算即可；數(shù)據(jù)僅供參考，以實際測量為準(zhǔn)．【詳解】（1）解：依題意畫圖如下：

（2）如下圖：連接，依題意得：，；

∵，∴是等腰三角形，∵，，∴∴點D是的中點，是中底邊上的中線，∴是中底邊上的高，即，∴，∴為的切線；（3）經(jīng)測量得到，半徑，(數(shù)據(jù)僅供參考，以實際測量為準(zhǔn))過點O作于E，則由垂徑定理可知，

∵，，∴°，∴，∴∴弧與弦所圍“弓形”的面積為：．【點睛】本題考查用尺規(guī)作圓的切線的方法，圓切線的證明，弓形面積的求法等知識，根據(jù)題意正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．?題型08尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形33．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，已知直線l和l外一點A，請用尺規(guī)作圖法，求作一個正方形，使得頂點B和頂點D都在直線l上（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【分析】此題考查了作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握作圖的方法．過點A作于點O，以O(shè)為圓心，為半徑畫弧交直線l于點B，D，交直線于點C，連接，，，，正方形即為所求．【詳解】解：正方形如圖所示：34．（2024·江蘇無錫·一模）尺規(guī)作圖：(1)請在圖①中以矩形的邊為邊作菱形，使得點E在上；(2)請在圖②中以矩形的邊為直徑作，并在上確定點P，使得的面積與矩形的面積相等.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）結(jié)合菱形的判定，以點D為圓心，的長為半徑畫弧，交為點E，再分別以點E、點A為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接、、即可；（2）作線段的垂直平分線，交于點O，以點O為圓心，的長為半徑畫圓，即可得，以點O為圓心，的長為半徑畫弧，在的上方交于點E，再作，作直線，分別交于點、，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，菱形即為所求，（2）解：如圖，點、即為所求，【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖、菱形的判定、矩形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)，理解題意、靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．35．（2024·上海閔行·二模）滬教版九年級第二學(xué)期的教材給出了正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．同時還提到了一種用直尺和圓規(guī)作圓的內(nèi)接正六邊形和圓的內(nèi)接正五邊形的方法，但課本上并未證明．我們現(xiàn)開展下列探究活動．活動一：如圖1，展示了一種用尺規(guī)作的內(nèi)接正六邊形的方法．①在上任取一點，以為圓心、為半徑作弧，在上截得一點；②以為圓心，為半徑作弧，在上截得一點；再如此從點逐次截得點、、；③順次連接、、、、、．(1)根據(jù)正多邊形的定義，我們只需要證明__________，________（請用符號語言表示，不需要說明理由），就可證明六邊形是正六邊形．活動二：如圖2，展示了一種用尺規(guī)作的內(nèi)接正五邊形的方法．①作的兩條互相垂直的直徑和；②取半徑的中點；再以為圓心、為半徑作弧，和半徑相交于點；③以點為圓心，以的長為半徑作弧，與相截，得交點．如此連續(xù)截取3次，依次得分點、、，順次連接、、、、，那么五邊形是正五邊形．(2)已知的半徑為2，求邊的長，并證明五邊形是正五邊形．（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）【答案】(1)，(2)，證明五邊形是正五邊形見詳解【分析】（1）各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形，據(jù)此即可獲得答案；（2）首先結(jié)合題意并根據(jù)勾股定理解得，進(jìn)而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可確定的值；連接，，，，，結(jié)合為直徑易得，利用三角函數(shù)可得，由圓周角定理可得，進(jìn)而可得，然后利用全等三角形的性質(zhì)可證明，，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)正多邊形的定義，我們只需要證明，，就可證明六邊形是正六邊形．故答案為：，；（2）解：根據(jù)題意，可得，，∵點為半徑的中點，∴，∴在中，，∵以為圓心、為半徑作弧，和半徑相交于點，∴，∴，∴在中，，∵以點為圓心，以的長為半徑作弧，與相截，得交點，∴；如下圖，連接，，，，，∵為直徑，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∴，，∴五邊形是正五邊形．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖、多邊形的定義和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形等知識，正確理解題意，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．36．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．平面直角坐標(biāo)系中畫一個邊長為2的正六邊形背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經(jīng)典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述．已知條件點與坐標(biāo)原點重合，點在軸的正半軸上且坐標(biāo)為操作步驟①分別以點，為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；②以點為圓心，長為半徑作圓；③以的長為半徑，在上順次截?。虎茼槾芜B接，，，，，得到正六邊形．問題解決任務(wù)一根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務(wù)二將正六邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，直接寫出此時點所在位置的坐標(biāo)：______．【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：【分析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．任務(wù)一：根據(jù)操作步驟作出，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，分別作出，即得出，最后順次連接即可；任務(wù)二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，即得出，即此時點所在位置的坐標(biāo)為．【詳解】解：任務(wù)一：如圖，正六邊形即為所作；任務(wù)二：如圖，由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴．故答案為：．?題型09尺規(guī)作圖-格點作圖37．（2024·廣東梅州·一模）（綜合與實踐）下圖是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，回答下列問題．（要求：作圖只用無刻度的直尺）(1)作，使得；(2)作出的角平分線，并簡要說明點的位置是如何找到的（不用證明）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了余弦的定義，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作已知角的角平分線等，根據(jù)網(wǎng)格作圖知識．（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，構(gòu)造，其中，，即可得到；（2）在上取點E，使得，連接，取的中點C，就是的平分線．【詳解】（1）解：如圖1，即為求作的角：；證明：在中，，∴；（2）解：如圖2所示，在上取點E，使得，連接，取的中點C，就是的平分線．證明：∵，C為線段的中點，∴就是的平分線．38．（2024·浙江寧波·一模）圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，分別按要求畫出圖形．

(1)在圖1中畫出一個以為邊的，且點C和點D均在格點上；(2)在圖2中畫出一個以為對角線的菱形，且點E和點F均在格點上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作圖的應(yīng)用與設(shè)計，掌握等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)作圖；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)作圖．【詳解】（1）如圖所示，即為所求；

（2）如圖所示，菱形即為所求；

39．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點O，A，B均在格點上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：①過點A作切線，且（點C在A的上方）；②連接，交于點D；③連接，與交于點E．(1)求證：為的切線；(2)求的長度．【答案】(1)畫圖見解析，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，即可證明出為的切線；（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）如圖所示，∵是的切線，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵點D在上，∴為的切線；（2）∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴解得．【點睛】此題考查了格點作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．40．（2022·廣東廣州·三模）圖1、圖2分別是7×6的網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1．請按要求畫出下列圖形，所畫圖形的各個頂點均在所給小正方形的頂點上．(1)在圖1中畫一個周長為8的菱形ABCD（非正方形）；(2)在圖2中畫出一個面積為9，且∠MNP=45°的?MNPQ，并直接寫出?MNPQ較長的對角線的長度．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析．較長的對角線NQ=3【分析】（1）根據(jù)菱形的周長為以及菱形的性質(zhì)可知菱形的邊長為，因此只需利用網(wǎng)格特點構(gòu)造直角邊長分別為2、4的直角三角形，則直角三角形的斜邊即為，由此進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)面積為9可以設(shè)計底和高都是3的平行四邊形，再利用小正方形的對角線和邊長成45°即可畫出，利用勾股定理可以求對角線長．【詳解】（1）解：如圖1中，菱形ABCD即為所求．（2）如圖2中，平行四邊形MNPQ即為所求．∴較長的對角線NQ==3．【點睛】本題考查了作圖，熟練掌握菱形的判定、平行四邊形判定、勾股定理以及網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)鞏固1．（2025·廣東深圳·一模）在矩形中，連接．(1)如圖1，請用尺規(guī)在邊上求作一點，連接，使；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)如圖2，已知點在邊上，且，連接，交于點，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）作的垂直平分線交于，點即為所求；（2）設(shè)，則，由勾股定理可得，證明，再由相似三角形的性質(zhì)計算即可得解．【詳解】（1）解：如圖，即為所作；，由作圖可得：，∴；（2）解：如圖，，∵，又，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，設(shè)，∴，∴，解得，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，又，∴．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形的頂點均在網(wǎng)格的格點上．(1)求的值．(2)操作與計算：用尺規(guī)作圖法過點C作，垂足為E，并直接寫出的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）【答案】(1)(2)圖見解析，【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂線，熟練掌握正弦的定義是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以為直角的直角三角形，再根據(jù)正弦的定義求解即可得；（2）先以點為圓心、為半徑畫弧交于點，再分別以點為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點，然后畫直線，交于點，則即為所作；最后利用正弦的定義即可求出的長．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，，，∴，∴是以為直角的直角三角形，∴．（2）解：用尺規(guī)作圖法過點作，垂足為，作圖如下：在中，．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖所示，已知中，．

(1)過點B作平分面積的直線l．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）(2)設(shè)（1）中的直線交于點D．若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的中線平分面積，作的中垂線，連接中垂線與的交點與點形成的直線即為直線l；（2）過點A作，垂足為點E，過點D作，三線合一結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，直線l即為所求；

（2）過點A作，垂足為點E，過點D作，垂足為點F，

∵，在中，∵平分面積，∴點D為的中點，即在中，在中，，【點睛】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，三角形的中線，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．4．（2024·廣東東莞·三模）已知：點是外一點．(1)尺規(guī)作圖：如圖，過點作出的兩條切線，，切點分別為點、點．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，證明切線長定理（，平分）．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）①連接，分別以點為圓心，大于的長為半徑畫圓，兩圓交于點兩點，作直線交于點，②以點為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點，作直線，（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，，即為所求，證明：連接，，∵是圓的直徑，∴，∴，，∵、是的半徑，∴、是的切線；（2）證明：連接，，∵、是的切線，∴，，在和中，，∴∴，，∴平分．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，角平分線的定義，三角形全等的判定及性質(zhì)，尺規(guī)作線段的垂直平分線，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2024·廣東揭陽·模擬預(yù)測）如圖，射線交一圓于點B，C，射線交該圓于點D，E，且．(1)判斷與的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）(2)利用尺規(guī)作圖，分別作線段的垂直平分線與的平分線，兩線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法），求證：平分．【答案】(1)相等(2)圖見解析，證明見解析【分析】本題考查圓周角定理，尺規(guī)作圖—作垂線，作角平分線，中垂線的性質(zhì)：（1）連接，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得到，等角對等邊，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)尺規(guī)作—垂線和角平分線的方法，作圖，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，結(jié)合等邊對等角，進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：連接，．（2）如圖所示，點F即為所求作的點．證明：，，∵是的垂直平分線，且平分，．∴平分．6．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，中，，是的外接圓，的延長交邊于點D．

(1)試?yán)脽o刻度的直尺畫出的平分線，并說明理由；(2)若，的半徑為2，求劣弧的長．【答案】(1)畫圖見解析；理由見解析(2)【分析】（1）延長交于E，由，可得垂直平分，進(jìn)而可得平分；（2）設(shè)，則，，，由，可得，則，由，可得，由，可得，可求，則，由圓周角定理得，根據(jù)劣弧的長為，計算求解即可．【詳解】（1）解：如圖，為的平分線．理由如下：

延長交于E，∵，∴垂直平分，∴平分；（2）解：設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴，∵∴，∴劣弧的長為∴劣弧的長為．【點睛】本題考查了外接圓，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作角平分線，垂直平分線的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，弧長等知識．熟練掌握外接圓，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作角平分線，垂直平分線的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，弧長是解題的關(guān)鍵．7．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在等邊中，為邊上的高．(1)實踐與操作：利用尺規(guī)，以為邊在下方作等邊，延長交于點；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡、不寫作法，標(biāo)明字母）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，證明．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作線段，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握作線段，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，分別以為圓心，的長為半徑畫弧，交點為，連接，則等邊即為所作，延長交于點，點即為所作；（2）證明，進(jìn)而可證．【詳解】（1）解：如圖，分別以為圓心，的長為半徑畫弧，交點為，連接，則，等邊即為所作，延長交于點，點即為所作；（2）證明：∵為等邊三角形，為邊上的高，∴，∵等邊，∴，∴，又∵，∴，∴．8．（2024·廣東廣州·三模）如圖，中，是斜邊的中線．(1)尺規(guī)作圖：作出以為直徑的，與交于點，與交于點；(2)若，，求的長；(3)連接，交于點，若，求的值．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）以為圓心定長為半徑畫弧，以為圓心定長為半徑畫弧，兩弧交于點、，連接交于點，以為圓心，為半徑畫圓；（2）連接，由相似三角形的判定與性質(zhì)可得，，的長，然后由三角形的面積公式可得問題的答案；（3）根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)及平行線的判定得，再由平行線截線段成比例得，令，則，，根據(jù)勾股定理得長，即可得到答案．【詳解】（1）解：以為圓心定長為半徑畫弧，以為圓心定長為半徑畫弧，兩弧交于點、，連接交于點，以為圓心，為半徑畫圓；（2）連接，，，，同理，，，，，，．（3）為中線，，，，，，，，令，則，，，．即【點睛】此題考查圓的綜合，作圖及直角三角形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，求角的正切值，掌握其性質(zhì)定理是解決此題關(guān)鍵．能力提升1．（2024·廣東中山·三模）如圖，已知中，為的中點．(1)請用尺規(guī)作圖法作邊的中點，并連接保留作圖痕跡，不要求寫作法(2)在（1）的條件下，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題主要考查了垂直平分線的作法、三角形中位線的應(yīng)用等知識點，掌握運用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線成為解題的關(guān)鍵．（1）先尺規(guī)作圖作出的中點，然后連接即可；（2）先說明是的中位線，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：如圖：即為所求．（2）解：∵點為的中點，點為的中點，是的中位線，，．2．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖，已知等腰中，，D是上中點．(1)實踐與操作：作的垂直平分線分別交、于點E、F（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了是在等腰三角形為幾何背景下的尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，需要清晰線段垂直平分線的作法，理解等腰三角形的性質(zhì)，本題旨在引導(dǎo)教師在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．（1）根據(jù)垂直平分線的基本作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，，，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得出，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：∵，D是上中點，∴，，，∵垂直平分線，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．3．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）如圖，在中，，(1)在上作一點，使(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在（1）的條件下，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查尺規(guī)作圖作線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三