動(dòng)態(tài)問(wèn)題 專項(xiàng)練習(xí)（含解析）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

類型3動(dòng)態(tài)問(wèn)題

1.運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)（或線或面），并對(duì)這些點(diǎn)（或

線或面）在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中相伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究考

查.運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合性.

2.解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握動(dòng)點(diǎn)（或線或面）運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程，抓

住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系,并特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系.盡管一些試題大多屬于靜態(tài)的知識(shí)和

方法，然而，這些試題中常常滲透著運(yùn)動(dòng)與變化的思想方法，需要用運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn)去研究和解決.

3.運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題有時(shí)把方程、不等式聯(lián)系起來(lái).當(dāng)一個(gè)問(wèn)題是求有關(guān)圖形變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或

不等式模型求解；當(dāng)求圖形之間的特殊位置關(guān)系和一些特殊的值時(shí)，通常建立方程模型去求解.

［例1］如圖在RSAOB中,/AOB=9（rQA=3QB=4以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓與OB交于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)C

作CDLOB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)P是邊0A上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)PC+PD最小時(shí),0P的長(zhǎng)為（）

IOlcB

133

A.-B.-C.lD.-

242

【解析】本題考查軸對(duì)稱法確定線段和的最小值、平行線的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理.如圖，作點(diǎn)

C關(guān)于直線A0的對(duì)稱點(diǎn)，交。0于點(diǎn)E,連接ED,交A0于點(diǎn)P,易知此時(shí)PC+PD的值最小.：CD，OB,；./DCB

=90°.又ZAOB=90°,CD4O,.?喘=*.???OC=2,OB=4,BC=2,.??：=半解得CO=|-g='即|=

學(xué)，解得P0=*故選B.

—4

【答案】B

【例2】如圖1,AABC中,/ABC=6（F,D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合）,DE〃AB,交AC于點(diǎn)E,E

F〃:BC.交AB于點(diǎn)F.設(shè)BD的長(zhǎng)為x,四邊形BDEF的面積為y,y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，

其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）,則AB的長(zhǎng)為.

【解析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)圖象的結(jié)合、特殊角的三角函數(shù)值.由題圖2可知,BC=4.當(dāng)BD=2時(shí),四邊形

BDEF的面積為3,此時(shí)作FH_LBC于點(diǎn)H,，3=2?FH,.=|.在RsBHF中，乙ABC=60.BF=

3

,：=國(guó)二?此時(shí)D為BCDE/7AB,.-.DE^AABC的中位線，DE=-AB.5LEF〃BC,.?.四邊形B

sin602

DEF為平行四邊形,；.BF=DE=|AB,.\AB=2BF=2V3

【答案】2V3

【例3］如圖,在菱形ABCD中,AB=4,/BAD=60。,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速

度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQXAB于點(diǎn)Q,作PM±AD交直線AB于點(diǎn)M,交直線BC于點(diǎn)F.設(shè)△PQM與菱

形ABCD重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).

⑴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，求t的值

(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△BMF全等；

(3)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑷以線段PQ為邊，在PQ右側(cè)作等邊三角形PQE,當(dāng)2<t<4時(shí)，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).

【解】⑴；菱形ABCD中,/BAD=60。，

.?.△ABD為等邊三角形，

當(dāng)點(diǎn)P在AD邊中點(diǎn)時(shí),PBLAD,點(diǎn)M與點(diǎn)B重合,

VAB=4,

1

???AP=-AB,

2

/.t=2.

(2)依題意,△APQ和^BMF都是直角三角形，

且/PAQ=NFBM=60°,

.?.當(dāng)AP=BM時(shí),△APQ^ABMF.

①如圖1,當(dāng)0<t<2時(shí),

VAP=t,

AAM=2t

VAB=4,

ABM=4-2t.

4

4-2,t=t,t=

3

②如圖2,當(dāng)2<t<4時(shí),

VAP=t,

.\AM=2t.

VAB=4,

???BM=2t-4.

.\2t-4=t,

At=4.

.?.當(dāng)t=（或t=4時(shí),△APQ^ABMF.

⑶①如圖3,當(dāng)0<t<2時(shí)，重疊部分是△PMQ,

②如圖4,當(dāng)2<t<4時(shí),重疊部分是四邊形PQBF,

DC

S=SAPQM-SABFM

=-V3(t-2)

=嗎2_@(?2)2

82

=*2+2百t—2百

(4)如圖5,,?在RtAPQM中,NPMQ=30。,

點(diǎn)E是斜邊PM中點(diǎn)

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P在AD邊中點(diǎn)P1,此時(shí)

點(diǎn)E為P1B中點(diǎn)E1.

當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D位置，點(diǎn)E為DM1中點(diǎn)E1,同時(shí)也是BC的中點(diǎn).

/.2<t<4時(shí)，點(diǎn)E的路徑長(zhǎng)為線段E1E2的長(zhǎng)度.

方法一：過(guò)點(diǎn)E1作E1H±DE2于點(diǎn)H.

在RtAEiHE2中,ErH=2,HE2=V3,

KJ=J22+(V3)2=V7.

方法二:過(guò)點(diǎn)E2作E2N±AB于點(diǎn)N,

在RtAE2NB中,E2B=2,

AE2BN=60°,

BN=1,E2N=V3,

在RtAE2NA中,AN=AB+BN=4+1=5,

22

AE2=s+(V3)=V28=2V7,

由題意可得點(diǎn)El是AE1中點(diǎn),

故Ei%=*=V7.

1.如圖，在口ABCD中,NA=6（T,AB=2,AD=1,點(diǎn)E,F在口ABCD的邊上，從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿A-B—C

和A-D-C的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.線段EF掃過(guò)區(qū)域的面積記為y,運(yùn)動(dòng)時(shí)間

記為x,能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

73史

4

后

4-

2.如圖1,在菱形ABCD中,NA=60。,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DC-CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停

止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,△APB的面積為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長(zhǎng)為（）

A.V3B.2V3

C.3V3O.4V3

3.如圖.菱形ABCD中2B=60。,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿折線BC-CD方向移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)D停止.在△ABP形

狀的變化過(guò)程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等邊三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等邊三角形

C.直角三角形一等邊三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等邊三角形->直角三角形一等腰三角形

4.如圖1,矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)點(diǎn)P沿BC從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,設(shè)B,P兩點(diǎn)間的距離為x,PA-

PE=y，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則BC的長(zhǎng)為（）

C.6D.7

5.如圖線段AB=10,點(diǎn)C、D在AB上,AC=BD=1.已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著A

B向點(diǎn)D移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動(dòng).在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中作如下操作：先以點(diǎn)P為圓心，PA、PB的長(zhǎng)為半徑

分別作兩個(gè)圓心角均為60。的扇形，再將兩個(gè)扇形分別圍成兩個(gè)圓錐的側(cè)面.設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t（秒），兩個(gè)圓錐

的底面面積之和為S,則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是（）

48t

D

6.如圖1,在AABC中,/B=36。.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線A—B—C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止.若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）,AP的長(zhǎng)度為y（cm）,y與t的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)AP恰好平分/

BAC時(shí)t的值為

7.如圖，在矩形ABCD中，黑=|,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),

沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN.動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為V1，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為v2，且V1

<v2.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M,N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形

MABN.若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，恰好與CD的中點(diǎn)重合，則V/的值為.

8.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在DC上且DM=2,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值是

9.如圖，在△ABC中,NACB=90o,NA=30o,AB=6CHL動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B

勻速運(yùn)動(dòng).以PA為一邊作/APQ=120。另一邊PQ與折線AC-CB相交于點(diǎn)Q,以PQ為邊作菱形PQMN點(diǎn)N在

線段PB上設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),菱形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為y(cm2).

⑴當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，PQ的長(zhǎng)為cm.(用含x的代數(shù)式表示)

⑵當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí).求x的值

⑶求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

10.已知拋物線y=?—2ax+c(a,c為常數(shù)a#))經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-1),頂點(diǎn)為D.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵當(dāng)a>0時(shí)點(diǎn)E(0,l+a),若DE=2V2DC,求該拋物線的解析式；

⑶當(dāng)a<-l時(shí)，點(diǎn)F(0,l-a)過(guò)點(diǎn)C作直線1平行于x軸，M(m,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn),N(m+3,--l)是直線1上的動(dòng)

點(diǎn).當(dāng)a為何值時(shí)，F(xiàn)M+DN的最小值為2聞,,并求此時(shí)點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

壓軸預(yù)測(cè)

1.如圖1,菱開鄉(xiāng)ABCD的一個(gè)角/A=60。點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)沿A-B-D以2cm/s的速度勻速

運(yùn)動(dòng)，圖2是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí),△FAD的面積y(cm2)隨時(shí)間x(s)變化的關(guān)系圖象,則AD的值為()

2.如圖，在邊長(zhǎng)為4cm的正方形ABCD中動(dòng)點(diǎn)P沿折線A-B-D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)

Q沿折線BTD—C以&si/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,各自到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△DPQ的面積

CD

3.如圖，在△ABC中,NC=9(r,AC=2,BC=6.D是在邊BC上的動(dòng)點(diǎn),則18。+AD的最小值是.

B

D

CA

4.如圖1,已知等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12,ADJ_BC.垂足為點(diǎn)D動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1.5個(gè)單位/秒的

速度，沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B

時(shí)，點(diǎn)Q即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作PRLAD,垂足為R,連接QR,PQ/、APQR關(guān)于QR的對(duì)稱△

MQR.

⑴如圖2,當(dāng)PQXAB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；

⑵求^PBQ與4PQR面積差的最大值；

(3)當(dāng)點(diǎn)M落在△ABC的邊上時(shí)，求t的值

5.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3(a，0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),B(3,-3),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵如圖1,點(diǎn)P是線段AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ〃BC交AC于點(diǎn)Q,當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)度

取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PQ長(zhǎng)度的最大值；

(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+3(aHO)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，新拋物線與拋物線y=a%2

+bx+3(a豐0)交于點(diǎn)D.E為新拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M,N為直線BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)D,

E,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)E的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)E的坐標(biāo)的過(guò)程寫出來(lái).

圖2

類型3動(dòng)態(tài)問(wèn)題

1.A【解析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、二次函數(shù)的圖象、三角形的面積公式.由題意，當(dāng)時(shí)，y=|.x號(hào)光

=日/,其函數(shù)圖象是拋物線的一部分，且開口向上，故排除選項(xiàng)B,D;當(dāng)2<x<3時(shí)，y=2x1x日后x(3-x)x

(3-久)X*=遮-冷(久-3產(chǎn)其函數(shù)圖象是拋物線的一部分，且開口向下，故排除選項(xiàng)C,故選A.

2.B【解析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)的圖象、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì).連接BD.在菱形AB

2

CD中,NA=60。,；.AABD為等邊三角形.設(shè)AB=a,由題圖2可知，SABD=30.SABD=^a=3低解得a=2V3,

4

故選B.

3.C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、等腰三角形、等邊三角形的判定.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí),APLBC于

點(diǎn)P,AAPB為直角三角形;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),△APB為等邊三角形；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CD中點(diǎn)時(shí)，△APB為

直角三角形；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)D重合時(shí)，△APB為等腰三角形，故選C.

4.C【解析】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用、勾股定理.由圖象可知當(dāng)x=0時(shí),y=l,即當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí).y=PA-PE

=1,即AB-BE=1.設(shè)BE=x(x>0)廁AB=x+l.又知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，y有最大值為5,此時(shí)PE=O,.\AE=5在Rt

22222

AABE中,由勾股定理得AE=AB+BE,BP5=(x+l)+遙解得X1=3,x2=一4(舍去),；.BE=3.：E是BC

的中點(diǎn),，BC=2BE=6,即BC的長(zhǎng)為6,故選C.

5.D【解析】本題考查探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、圓錐的側(cè)面展開圖、扇形的弧長(zhǎng)、圓的面積公式、函數(shù)圖象的應(yīng)用.由

題意可知，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PA=t+l,.?”=%,.??PA為半徑的扇形的弧長(zhǎng)匕=駕詈=久(；+1),以

PB為半徑的扇形的弧長(zhǎng)［2=嗎甘=-t),當(dāng)這兩個(gè)扇形圍成圓錐后，底面半徑分別為勺=-t+1)k2=

I(91),??.Si=4(t+l)2,S2與(9-t)2,s=S】+S2與9+1)2+.(91)2=q(?4)2+鬻,..該函數(shù)圖

象是頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為4的開口向上的拋物線，故選D.

6.(2V5+2>【解析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)圖象的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).

當(dāng)AP恰好平分NBAC時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，如圖1,連接AP.由圖2知AB=BC=4cm.因?yàn)镹B=36o,AB=BC,所以/

BAC=NC=72。.因?yàn)锳P平分NBAC,所以/BAP=/PAC=/B=36。,所以AP=BP,/APC=72o=NC,所以AP=AC=BP.

因?yàn)镹PAC=NB,NC=/C,所以△APCs^BAC,所以段=*所以AP2=AB.PC=4(4-AP),解得AP=2顯-2(舍負(fù))，

所以.BP=AP=2甚一2(on),所以當(dāng)AP恰好平分/BAC時(shí)，t=(4+—2)+1=(2而+2)s.

7.|【解析】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)探究問(wèn)題.設(shè)AD

與AB相交于點(diǎn)QB'N=BN^x.：.令A(yù)B=2k,BC=3k.；四邊形ABCD是矩形,/.AD=BC=3k,DC=AB=2k,

BC3

NC=/D=90。.在RtACNB，中,由勾股定理得CN2+CB'2=N夕2,即（3k-x）2+fc2=比2,整理得久=|k,BN=N

B'=^k,CN=BC-BN=3k-|/c=1k.由翻折可知,NA'B'N=NB=90°,；.ZDB'Q+/.CB'N=NCB'N+/.CNB'=

90°,z.DB'Q=NCNB'.又/D=/C=90°,，ADB'QsZ\CNB',；.DQ:DB':B'Q=CB':CN:NB'=3:4:5.；DB'=；

■2

DC=k,DQ=-fc.vZ.DQB'=/-MQA',/-D=/.A!=90°Z.ADQB'<^AA'QM,A'Q:A'M:MQ=DQ:DB':B'Q=3:

4

4:5.設(shè)A'M=AM=y,則MQ=|y,vDQ+QM+AM=3k,|fc+|y+y=3k,整理得y=k,.?.藍(lán)=翳=白=

“23

即VIVIV2的值為-I

8.10【解析】本題考查正方形的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì).如圖，在BC邊

上取BE=DM=2,連接EN,由正方形的性質(zhì)可知/ACD=NACB=45o,CD=BC,所以CM=CE.又CN=CN,所以△CNM也

△CNE,所以MN=NE.連接DE,交AC于點(diǎn)G,則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)N重合時(shí)，DN+MN取得最小值，且((DN

+“N)min=DE=>JCD2+CE2=V82+62=10

9.(l)2x(2)1(3)當(dāng)0<x<l時(shí),y=2V5j；當(dāng)l<x<1.5時(shí),y=—7>j3x2+18>/3—9百;當(dāng)1.5<x<3時(shí),y—V3x2—

6信+9V3

(1)先求出NAQP,再利用等角對(duì)等邊證明^APQ是等腰三角形即可求解；(2)根據(jù)點(diǎn)M落在邊BC上，表示

出線段AP,PN,NB,再根據(jù)AB的長(zhǎng)列出方程，即可求出x的值;(3)分0<x<l,l<x<1.5,1.5<x<3三種情況討論，當(dāng)0

<x<l時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QDXPN于點(diǎn)D,表示出DQ的長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的面積公式即可列出函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)l<x<1.5時(shí),

設(shè)QM,MN與BC分別交于點(diǎn)E,F,易知△EFM是等邊三角形，表示出FM,再根據(jù)菱形的面積公式與三角形的面

積公式即可列出函數(shù)關(guān)系式，整理即可求解；當(dāng)1.5<x<3時(shí)，易知△PQB是等邊三角形，表示出PB,再根據(jù)三角

形的面積公式即可列出函數(shù)關(guān)系式，整理即可求解.

解:⑴2x.

⑵如圖1,當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí),AP=PN=NB=2x.

c

因?yàn)锳P+PN+NB=AB=6,

所以2x+2x+2x=6.

解得x=l.

所以當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí),x=L

⑶如圖2,當(dāng)0<xSl時(shí)過(guò)點(diǎn)Q作QD±PN于點(diǎn)D,則DQ=V3x.

所以=PN.DQ=2V3%2.

八變形PQMNy

所以y=2V3%2.

如圖3,當(dāng)l<x<1.5時(shí),△EFM是等邊三角形,FM=6x-6.

所以'=$變形PQMN-SEFM=2岳2一中侄久-6產(chǎn)

所以y=-7V3X2+18V3X-9V3.

如圖4,當(dāng)1.5<x<3時(shí),APQB是等邊三角形,PB=6-2x.

所以SpQB=7（6-2x）2.

所以y=V3x2—6-\/3x+9遮

評(píng)分說(shuō)明：自變量取值含?；?均不扣分.

10.(l)(l,-2)(2)y=j%2-%-lagy=|%2-3%-l⑶點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-g。),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(青-1)

(1)將a的值代入拋物線的解析式，再結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)，可求出拋物線的解析式，化為頂點(diǎn)式，即可得頂點(diǎn)坐

標(biāo)；(2)先求出拋物線的對(duì)稱軸，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D作DGLy軸于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理表示出DE2和DC2,

結(jié)合DE和DC的數(shù)量關(guān)系，列出關(guān)于a的方程，求出a的值，即可求出拋物線的解析式；(3)先寫出點(diǎn)D平移后

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)，再作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F1,得出FM+DN的最小值，再作垂線得直角三角形，利用勾股

定理列出方程，求出a的值，即可求出點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而求出直線FD的解析式，再求出直線與x軸的交

點(diǎn)，即可求出m的值，最后求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo).

解：⑴當(dāng)a=l時(shí)，拋物線的解析式為y=x2-2x+c.

:拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-l),

0-0+c=-l.

解得c=-L

拋物線的解析式為y=%2-2%-1.

■■■y=x2—2x—1=(x—l)2—2,

..?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).

⑵當(dāng)a>0時(shí)，

由拋物線y=ax2-2ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,--l),可知c=-l.

，拋物線的解析式為y=ax2-2ax-1.

可得拋物線的對(duì)稱軸為x=l.

當(dāng)x=l時(shí),y=-a-l.

.??拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-a-l).

過(guò)點(diǎn)D作DGLy軸于點(diǎn)G

在RtADEG中,DG=1,

EG=1+a-(-a-l)=2a+2,

DE2=DG2+￡G2=1+(2a+2)2.

在RtADCG中,DG=l,CG=-l-(-a-l)=a,

???DC2=DG2+CG2=1+a2.

DE=2&DC,即DE2=8DC2,

1+(2a+2/=8(1+a2).

解得di=|,a2=|-

拋物線的解析式為y=#-久-1或y=|/_3x-l.

(3)當(dāng)a<-l時(shí)，將點(diǎn)D(l,-a-l)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)D(2,-a).

作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F；得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(O,a-1).

當(dāng)滿足條件的點(diǎn)M落在線段FD上時(shí),FM+DN最小，此時(shí),FM+DN=F'D'=

過(guò)點(diǎn)D作DHLy軸于點(diǎn)H.

在RtAF'D'H中，D'H=2,

FH=-a-(a-l)=l-2a,

???F'D'2=FrH2+D'H2=(1-2a)2+4.

又F'D'2=40,

即((1—2a尸+4=40.

解得的=-|,。2=，舍).

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0--0,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2，|).

可得直線FD的解析式為y=-3x-|.

當(dāng)y=0時(shí)，%=-

O

7,311

???m=—,7n+3=—.

66

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(_10),點(diǎn)N的坐標(biāo)為借，-1).

壓軸預(yù)測(cè)

1.B【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用力艮據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，△FAD的

面積y取得最大值V3,即S.D=如圖，過(guò)點(diǎn)B作BELAD,垂足為點(diǎn)E,因?yàn)镹A=60。,四邊形ABCD為菱形，

2

所以BE=日22則SABD=|?^-AD=8解得AD=2,故選B.

2.D【解析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)的圖象.由題意得當(dāng)0<長(zhǎng)4時(shí)，即點(diǎn)P從A到B,點(diǎn)Q從B到D,A

P=t,BQ=42t,S=^DQ-^-BP=1x(4企一X亨(4一t)=/4一t)2,圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為t

=4;當(dāng)4<t<4+2迎時(shí)，即點(diǎn)P從B到D,點(diǎn)Q從D到|C,S=.曰DQ=3X(472+4—t)?日(&t-4

V2)=-|t2+(2V2+4)t-8V2-8,圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為t=4+2四;當(dāng)4+2V2<t<4+4V2

時(shí)，即P在BD±.Q在C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，S=|x4x(4+2或—乎t)=-V2t+8+4Vx此時(shí)圖象為直線，故A,

B,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D.

3.智咨【解析】本題考查直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，勾股定理.如圖，過(guò)D點(diǎn)在三角形外部構(gòu)造R

tABDE,DE_LBE,NDBE=a,使得sina=|,則cosa=—(|?=當(dāng)在RsABC中,AC=2,BC=6廁AB=V22+62=

2VIU,令/ABC邛，則sin/?=^=曙,cos￡=島=甯.|。+AD=DE+4D,D為BC上一動(dòng)點(diǎn)求^BD+AD

的最小值就是求DE+AD的最小值，由“兩點(diǎn)之間，線段最短"可知當(dāng)D,A,E三點(diǎn)共線時(shí)，DE+AD有最小值,

此時(shí)過(guò)A點(diǎn)作AFLBE,垂足為F,交BC于點(diǎn)D;此時(shí)AF即為最小值.在RtAABF中,sin/ABE=sin(a+p)=sinac

osp+cosasinp=竺,求得/AF=AB?(sinacos0+cosasin￡)=2-/10xf-x+—x—=12+2汽即4BD+AD

AB\310310/33

的最小值為12+2%

3,

的虛⑵|⑶j或再/或6或詈或

(1)根據(jù)已知用t表示出線段BP,BQ,再根據(jù)銳角三角函數(shù)列出方程，求出t的值，即可求出PQ的長(zhǎng)；(2)

過(guò)點(diǎn)P作PELBC于點(diǎn)E,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出PE,再表示出PR，代入三角形的面積公式，可整理得

二次函數(shù)，即可求出兩個(gè)三角形的面積差的最大值；⑶分情況討論：當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時(shí)，判定四邊形PRMQ

是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)表示出線段的長(zhǎng)，利用勾股定理列出方程，求出t的值；當(dāng)點(diǎn)M落在AC上時(shí)，點(diǎn)Q

與點(diǎn)D重合.DR與AD重合，此時(shí)t=BD=6;當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D不重合時(shí)延長(zhǎng)PR交AC于點(diǎn)T，由對(duì)稱得線段相等，

利用三角形的內(nèi)角和定理證明PMXAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用銳角三角函數(shù)列出方程，求出t的值；當(dāng)點(diǎn)M

落在AB上時(shí)，延長(zhǎng)QR交AB于N,根據(jù)垂直得直角三角形，利用銳角三角函數(shù)表示出線段的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股

定理列出方程，求出t的值

解:(1)：AB=AC=10,AD±BC,BC=12,BD=CD=6.

由勾股定理得AD=8,

43

???sinB=-,cosB=

55

由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可知,BP=10-L5t,BQ=t,

當(dāng)PQ±AB時(shí),cosB=II=籌=*

￡>(<//it)□

...一=|,解得t=詈，

.：PQ=BQ.sinB=^x^^.

⑵如圖過(guò)點(diǎn)P作PE_LBC于點(diǎn)E,

貝！JPE//AD,AABPE^>ABAD,

.BP_PEnp._PE

**BA~AD^10—8'

PE=8--i.

5

vAP=1.5t,???PR=^AP=0.9t,

?1?SPBQ-SPQR=(8-|i)-1X0.9tx(8-|t)=+|.

???-。<0,拋物線開口向下，

...當(dāng)t=費(fèi)時(shí)，SpBQ-SpQR的最大值為|

⑶①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D不重合時(shí)，點(diǎn)M落在BC上，如圖，設(shè)PM,RQ交于點(diǎn)O,

,/APQR和4MQR關(guān)于QR對(duì)稱,

PQ=MQ,PR=MR,PM±QR,

???ZRPM=ZRMP.

VPR/7QM,.*.NRPM=NPMQ,

???ZRMP=ZPMQ.

XZROM=ZQOM,OM=OM,

:.AROM^AQOM,:.RM=QM,

???RM=QM=QP=PR,

???四邊形PRMQ是菱形，

AQM=PR=0.9t.

VRD=AD-AR=8-1.2t,

DM=QM-QD=0.9t-(6-t)=1.9t-6,RM=QM=0.9t.

在RtARDM中,由勾股定理可得

(0.9t)2=(8-1.21)2+(1.9t-6產(chǎn)

解得「叫尹或竺需口

②當(dāng)點(diǎn)M落在AC上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合,DR與AD重合，此時(shí)t=BD=6;

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D不重合時(shí)，延長(zhǎng)PR交AC于點(diǎn)T,由對(duì)稱可知PR=MR=RT=0.9t,RQ±PM,

???乙PMR+匕TMR=乙RPM+乙PTM=1(乙PMR+乙TMR+乙RPM+乙PTM)=1(乙MPT+乙PTM+乙PMT

)=90。，

APMXAC,

APQ/7AC,

JZRQD-ZC,

pno

tanC=tanZ-RQD=—=-

yDQ4

8-1.2t_3

=4-

解得”詈;

③當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，如圖，延長(zhǎng)QR交AB于N,則QN±AB,

4

QN=BQ?sinB=~t,

NR=AR?cosB=-x1.2t=—t,

525

.?.RQ=NQ-RN=4l--18t=—2t

yy5t2525f

在RtARDQ中，

由勾股定理可得

(爭(zhēng))i

(t-6)2+(8-1.2t)2

解得”鬻

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M落在△ABC的邊上時(shí)，t的值為25（：/）或25（2：尸）或6或黑翳

lUolUoiysy

5.(l)y=-一|x+3((2)P(—多日)(3)(8，—12)■，—7—底)或