二次函數(shù)（原卷版）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專(zhuān)題16二次函數(shù)

、二次函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)

【高頻考點(diǎn)精講】

關(guān)系式一般式>=q%2+b%+c(QWO)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h￥+k(QWO)

開(kāi)口方向當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng).<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。

b4ac-b23

頂點(diǎn)坐標(biāo)(，)(h,k)

2a4a

直線x=—2

對(duì)稱(chēng)軸直線x=h

2a

x<-2時(shí)，y隨x增大而減小；

x<h時(shí)，y隨x增大而減??；

2a

a>0

x>-2時(shí)，y隨x增大而增大。x>h時(shí)，y隨x增大而增大。

2a

增減性

x<-2時(shí)，y隨x增大而增大；

xVh時(shí)，y隨x增大而增大；

2a

a<0

x>-2時(shí)，y隨x增大而增大。x>h時(shí)，y隨x增大而減小。

2a

*—BH4_4ac-Z?2

a>0當(dāng)X時(shí)，V最小值一。當(dāng)％=h時(shí)，y最小值=左。

2a4a

最值

%BH-+4ac-b-

a<0ax—時(shí)，y最大值二o當(dāng)x=h時(shí)，y最大值=左。

2a最大值4a

【熱點(diǎn)題型精練】

1.（2022?株洲中考）已知二次函數(shù)y=ax2+6x-c（aWO）,其中b>0、c>0,則該函數(shù)的圖象可能為（

2.(2022?哈爾濱中考)拋物線y=2(x+9)2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)C.(9,3)D.(-9,3)

3.（2022?廣州中考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（aNO）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2,下列結(jié)論正確的是（）

A.6z<0

B.c>0

C.當(dāng)x<-2時(shí)，y隨X的增大而減小

D.當(dāng)x>-2時(shí)，/隨x的增大而減小

4.（2022?陜西中考）已知二次函數(shù)-2x-3的自變量xi,m，油對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為yi,當(dāng)-1<用

<0,l<X2<2,X3>3時(shí)，yi,yi,”三者之間的大小關(guān)系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<y\C.y3<y\<yiD.y2<yi<yi

5.（2022?郴州中考）關(guān)于二次函數(shù)y=（x-1）2+5,下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)圖象的開(kāi)口向下

B.函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,5）

C.該函數(shù)有最大值，最大值是5

D.當(dāng)x>l時(shí)，>隨x的增大而增大

6.（2022?衢州中考）已知二次函數(shù)y=a（x-1產(chǎn)-aQWO）,當(dāng)-時(shí)，y的最小值為-4,則a的值為（）

A.5或4B.1或一號(hào)C.—4或4D.或4

7.（2022?岳陽(yáng)中考）已知二次函數(shù)>=如？-4%2》-3（加為常數(shù)，第W0）,點(diǎn)P（xp,處）是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，

當(dāng)0Wx?W4時(shí)，切W-3,則m的取值范圍是（）

A,機(jī)21或加<0B.mNlC.-1D.-1

8.（2022?鹽城中考）若點(diǎn)P（w,n）在二次函數(shù)y=x2+2x+2的圖象上，且點(diǎn)尸到了軸的距離小于2,則〃的取值

范圍是.

9.（2022?長(zhǎng)春中考）已知二次函數(shù)/=-，-2x+3,當(dāng)aWxW*時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1,則。的值為.

10.（2022?北京中考）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)（1,m）,（3,n）在拋物線歹=4%2+6%+。（q>0）上，設(shè)拋物

線的對(duì)稱(chēng)軸為直線％=人

（1）當(dāng)。=2,加=〃時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及，的值;

(2)點(diǎn)Go,m)(xoWl)在拋物線上.若求f的取值范圍及xo的取值范圍.

二、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

【高頻考點(diǎn)精講】

1.。決定拋物線的開(kāi)口方向及大小

(1)a>0,拋物線開(kāi)口向上；a<0,拋物線開(kāi)口向下。

(2)|a|越大，拋物線的開(kāi)口越??；|a|越小，拋物線的開(kāi)口越大。

2.6共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置

(1)當(dāng)6=0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸無(wú)=----=0,對(duì)稱(chēng)軸為y軸。

2a

(2)當(dāng)°、6同號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸％=-2<0,對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)。

2a

(3)當(dāng)°、6異號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸》=-上->0,對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)。

2a

3.c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置

(1)當(dāng)c=0時(shí)，拋物線過(guò)原點(diǎn)。

(2)當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸。

(3)當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸。

4.4*決定拋物線與x軸的交點(diǎn)位置

(1)當(dāng)4ac=0時(shí),拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)。

(2)當(dāng)4ac>0時(shí),拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

(1)當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c；當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c；當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c；當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c。

(2)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l時(shí)，2a+b=0；當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1時(shí)，2a-b=0o

【熱點(diǎn)題型精練】

11.(2022?黔東南州中考)若二次函數(shù)y=a/+6x+c(aWO)的圖象如圖所示，則t?次函數(shù)〉="+6與反比例函數(shù)

在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為()

12.（2022?青島中考）已知二次函數(shù)y=Q/+bx+c的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

則下列結(jié)論正確的是（）

A.b>0B.c<0C.a+b+c>0D.3Q+C=0

13.（2022?煙臺(tái)中考）二次函數(shù)產(chǎn)辦（aWO）的部分圖象如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為直線x—義，且與x軸的

一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）.下列結(jié)論：①a6c>0；②a=6；③2a+c=0；④關(guān)于x的一元二次方程a^+bx+c

-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.③④D.②③

14.（2022?巴中中考）函數(shù)y=|ax2+bx+c|（a>0,b1-4ac>0）的圖象是由函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0,b1-4ac>0）

的圖象X軸上方部分不變，下方部分沿X軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

（J）2a+6=0；

②c=3；

③a6c>0；

④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線>=5有3個(gè)交點(diǎn).

C.②③④D.①③④

15.（2022?濟(jì)南中考）拋物線y=-，+2〃叱-m2+2與夕軸交于點(diǎn)c,過(guò)點(diǎn)C作直線/垂直于y軸，將拋物線在y軸

右側(cè)的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點(diǎn)“（"-1,yi）,N（m+1,y2）為圖形G上兩點(diǎn),

若歹1<?2,則m的取值范圍是（)

A.僅<-1或加>0B.-1<m<|C.0^m<V2D.-\<m<\

16.（2022?遂寧中考）拋物線y=ax2+6x+c（a,b,c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設(shè)加=a-6+c,則加的取值

范圍是?

17.（2022?錦州中考）如圖，拋物線y=ax2+6x+c（aWO）與x軸交于點(diǎn)（-1,0）和點(diǎn)（2,0）,以下結(jié)論：①"c

<0；②4a-26+c<0；③。+6=0；④當(dāng)時(shí)一隨x的增大而減小.其中正確的結(jié)論有.（填寫(xiě)代

表正確結(jié)論的序號(hào)）

18.（2022?呼和浩特中考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo)分別為（-1,-1）和（4,-1）,拋物線y

-2mx+2（/WO）與線段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則優(yōu)的取值范圍是.

三、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【高頻考點(diǎn)精講】

二次函數(shù)）=Q/+bx+c（QWO）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-匚，———）o

2a4a

i.拋物線關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)。

2a2a

2.拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解析式中的c。

3.拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（苞，0）,（x2,0）,則對(duì)稱(chēng)軸為x==2。

【熱點(diǎn)題型精練】

19.（2022?寧波中考）點(diǎn)4（m-1,yi）,B（機(jī)，y2）都在二次函數(shù)歹=（x-1）?+〃的圖象上.若/〈”，則冽的

取值范圍為（）

33

A.m>2B.m>fC.1D.一<m<2

22

20.（2022?溫州中考）已知點(diǎn)/（a,2）,B（6,2）,C（c,7）都在拋物線y=（x-1）2-2上，點(diǎn)/在點(diǎn)2左側(cè),

下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若c<0,則a<c<6B.若c<0,則a<6<c

C.若c>0,則a<c<6D.若c>0,則a<6<c

21.（2022?西安模擬）已知拋物線y=x2+mx-1經(jīng)過(guò)（-1,〃）和（2,〃）兩點(diǎn)，則加+〃的值為（）

A.-2B.0C.1D.2

22.（2022?淄博中考）若二次函數(shù)>=/+2的圖象經(jīng)過(guò)尸（1,3）,Q（m,H）兩點(diǎn)，則代數(shù)式后一4根2-加+9的

最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

23.（2022?廈門(mén)模擬）已知拋物線y=ax2+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,yo）,且對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)（xi，yi）都有

若點(diǎn)A（-2,m+2）與點(diǎn)B（t,〃）均在該拋物線上，且m-n<-2,則t的值可以是（）

A.7B.4C.1D.-1

24.（2022?徐州中考）若二次函數(shù)》=/-2x-3的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于加，則加的值為.

四、二次函數(shù)圖象與幾何變換

【高頻考點(diǎn)精講】

1.拋物線平移后形狀不變，所以系數(shù)a不變，平移后拋物線的解析式有兩種求法

（1）求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式。

（2）求出平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出解析式。

2.平移規(guī)律：左加右減，上加下減。

【熱點(diǎn)題型精練】

25.（2022?通遼中考）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=（x-1）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平

移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）2+3C.y=x2+lD.y=x2-1

26.（2022?玉林中考）小嘉說(shuō)：將二次函數(shù)的圖象平移或翻折后經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）有4種方法：

①向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

②向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

③向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度

④沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度

你認(rèn)為小嘉說(shuō)的方法中正確的個(gè)數(shù)有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

27.（2022?瀘州中考）拋物線j，=-32+x+i經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（）

11

A.y=—2X9B.y=-9-4

I

C.y——2-x2+2021.r-2022D.y—-x2+x+l

28.（2022?黔東南州中考）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=f+2x-1先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,再向下平移5個(gè)單

位，所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

29.（2022?荊州中考）規(guī)定：兩個(gè)函數(shù)/，”的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)互為函數(shù)”.例如：函數(shù)

g=2x+2與”=-2x+2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這兩個(gè)函數(shù)互為“丫函數(shù)”.若函數(shù)＞=扇+2"-1）x+03（k

為常數(shù)）的函數(shù)”圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則其函數(shù)”的解析式為.

30.（2022?湘西州中考）已知二次函數(shù)y=-/+4x+5及一次函數(shù)y=-x+b,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x

軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象（如圖所示），當(dāng)直線y=-x+6與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)

時(shí)，b的取值范圍是.

31.（2022?河北中考）如圖，點(diǎn)P（a,3）在拋物線C：＞=4-（6-%）2±,且在C的對(duì)稱(chēng)軸右側(cè).

（1）寫(xiě)出C的對(duì)稱(chēng)軸和〉的最大值，并求。的值；

（2）坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫(huà)出點(diǎn)P及C的一段，分別記為P,C'.平移該膠片，使

C所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為y=-/+6x-9.求點(diǎn)P移動(dòng)的最短路程.

五、二次函數(shù)的最值

【高頻考點(diǎn)精講】

1、當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低

點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-2b時(shí)，4ac—h

2a4a

2、當(dāng)a<0時(shí)，拋物線在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高

h4ac—h^

點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=—2時(shí)，y=aC

2a4a

3、確定二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo);

當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值的大小，從而獲得最值。

【熱點(diǎn)題型精練】

32.（2022?賀州中考）已知二次函數(shù)y=2f-4x-1在OWxWa時(shí)，y取得的最大值為15,則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

33.（2022?包頭中考）已知實(shí)數(shù)a,b滿足6-a=l,則代數(shù)式片+26-6a+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

34.（2022?嘉興中考）已知點(diǎn)/（a,b）,B（4,c）在直線y=fcc+3"為常數(shù)，30）上，若仍的最大值為9,

則c的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

35.（2022?六盤(pán)水中考）如圖是二次函數(shù)的圖象，該函數(shù)的最小值是.

36.（2022?涼山州中考）已知實(shí)數(shù)a、6滿足°-廬=4,則代數(shù)式/-3戶(hù)+。一14的最小值是.

37.（2022?紹興中考）已知函數(shù)y=-X2+6X+C（b,c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-3）,（-6,-3）.

（1）求b,c的值.

（2）當(dāng)-4WxW0時(shí)，求y的最大值.

（3）當(dāng)根WxWO時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2,求加的值.

六、二次函數(shù)的應(yīng)用

【高頻考點(diǎn)精講】

1、利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題

在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)、最大銷(xiāo)量等問(wèn)題，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定二次函數(shù)的

解析式，然后確定其最大值。實(shí)際問(wèn)題中自變量X的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此，在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一

定要注意自變量X的取值范圍。

2、幾何圖形中的最值問(wèn)題

①幾何圖形中面積的最值；②用料最佳方案；③動(dòng)態(tài)幾何中的最值討論。

3、構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門(mén)等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)貙⑦@些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角

坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過(guò)解析式解決問(wèn)題。

【熱點(diǎn)題型精練】

38.（2022?自貢中考）九年級(jí)2班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長(zhǎng)買(mǎi)回來(lái)8米長(zhǎng)的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻

（墻足夠長(zhǎng)）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這

三種方案，最佳方案是（）

方案I方案2方案3

A.方案1B.方案2

C.方案3