高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)壓軸小題（十五大題型）原卷版

重難點(diǎn)專題21三角函數(shù)壓軸小題十五大題型匯總

題型1新文化問(wèn)題................................................................1

題型2新定義問(wèn)題................................................................3

題型3黃金分割相關(guān)問(wèn)題..........................................................4

題型4扇形相關(guān)問(wèn)題..............................................................6

題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問(wèn)題......................................................9

題型6三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題.........................................................10

題型7識(shí)圖問(wèn)題.................................................................11

題型8湊角求值問(wèn)題.............................................................14

題型9最值相關(guān)問(wèn)題.............................................................15

題型103相關(guān)問(wèn)題..............................................................16

題型11⑴相關(guān)問(wèn)題...............................................................17

題型12實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題............................................................18

題型13恒成立問(wèn)題..............................................................21

題型14零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題............................................................22

題型15與數(shù)列相關(guān)問(wèn)題..........................................................23

題型1新文化問(wèn)題

【例題1】(2023秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所

謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.

假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)4(肛％),BQ2,及)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量雨，而夾

角的余弦值,記作cos(4B),余弦距離為1-cos(A,B).已知P(cosa,sina),Q(cos/7,si呼),R

(cosa,-sina),若P,Q的余弦距離為tana?tan。=則Q,R的余弦距離為()

A.-2RD--3CJ-4D-7

【變式1-1]1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))法國(guó)著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一

個(gè)幾何定理："以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形

的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b

,c,且10(sin等丫=7-COS2A以4為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依

次為。1,。2,。3.則角a=

【變式1-1】2.（2023?全國(guó)?鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家梅文鼎，為清代

"歷算第一名家"和"開山之祖"，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓

證明正弦定理的方法.如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時(shí)的構(gòu)圖中，。為銳角三角形4BC外

接圓的圓心.若sin/BAC=苧，則COS2/0BC=（）

【變式1-1】3.（2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在公元

前6世紀(jì)研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618,這一數(shù)值也可

以表示為a=2cos72°,貝廣^^=.

【變式1-1】4.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做

Proofwithoutwords,也被稱為無(wú)字證明，是指僅用圖象而無(wú)需文字解釋就能不證自明的

數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無(wú)字證時(shí)被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條

理.如下圖，點(diǎn)c為半圓。上一點(diǎn)，垂足為H,記/。。8=依貝!］由tanz_BCH=器可

以直接證明的三角函數(shù)公式是（）

c

AOHB

A.tan；=-^-B.tan；=-f^-

21—cos^2l+cos^

4.,?01-COS0c.1+cos。

Urta%=F^D.ta%=多廠

【變式1-115.（2023?江蘇南京?南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代

數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用"九服號(hào)影算法”在《大衍歷》中建立了暑影長(zhǎng)I與太陽(yáng)天頂距。

（0。＜。＜90。）的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一整正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可

知，暑影長(zhǎng)度I等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)天頂距。正切值的乘積，即/=htan。，對(duì)同一"表高"兩

次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為a、P,若第一次的"號(hào)影長(zhǎng)"是"表高"的3

倍，且tan（a—8）=1則第二次“號(hào)影長(zhǎng)"是"表高"的（）倍.

A.1B.|C.|D.I

【變式1-1】6.（2022秋?安徽合肥?高三校考期中）數(shù)學(xué)必修二101頁(yè)介紹了海倫-秦九韶

公式：我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊

長(zhǎng)求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高

的數(shù)學(xué)水平，其求法是："以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大

斜幕減上，余四約之，為實(shí).一為從隔，開平方得積若把以上這段文字寫成公式，即5=

J強(qiáng)2c2_（七）］,其中&b、c分別為△ABC內(nèi)角4艮c的對(duì)邊.若宗等=熹,

b=2,則△ABC面積S的最大值為（）

A.y/3B.V5C.2D.V2

題型2新定義問(wèn)題

【例題2】（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┱睿⊿ecant）及余割

（Cosecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩

個(gè)符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中,

定義正割seca=高，余割csca=熹.則函數(shù)f(刀)=去+總的值域?yàn)?)

A.[—1,1]B.[—

C.[-2,2]D.[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]

【變式2-1】1.(多選)(2023?安徽安慶?安慶一中?？寄M預(yù)測(cè))正割(Secant)及余割

(Cosecant)這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩個(gè)

符號(hào)是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定

1111

義正割seca=—,余割csca=/京.已知函數(shù)f(x)=京+京，給出下列說(shuō)法正確的是

bllI14-(-九人

()

A./(%)的定義域?yàn)椋鸎|%豐k-nkez｝；

B./(x)的最小正周期為2n；

C.f(久)的值域?yàn)閇-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]；

D./(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=—￡+kir(kez).

【變式2-1]2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))一般地，存在一個(gè)幾次多項(xiàng)式〃(久)，使得cosnx

22

=7\(cos久)，這些多項(xiàng)式rn(久)稱為切比雪夫多項(xiàng)式.由cos2x=2cosx-1,知R。)=2x

-1,通過(guò)運(yùn)算，可以得到cos3x的切比雪夫多項(xiàng)式J")=—,結(jié)合上述知識(shí)計(jì)算cos

36°=.

題型3黃金分割相關(guān)問(wèn)題

【例題3】(2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))黃金分割點(diǎn)是指將一條線段分為兩部分，使得

較長(zhǎng)部分與整體線段的長(zhǎng)的比值為亨的點(diǎn).利用線段上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)可以作出正五角

星，如圖所示，已知C,D為AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，研究發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：笨=登=等=

亨.若等腰十口￡的頂角”口=8,則cose=()

E

l強(qiáng)_]B遮+]C3yD3+西

?4?4?8?8

【變式3-1】1.（2023?江西?校聯(lián)考二模）被譽(yù)為"中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅

庚先生于1946年9月應(yīng)普林斯頓大學(xué)邀請(qǐng)去美國(guó)講學(xué),之后又被美國(guó)伊利諾依大學(xué)聘為終

身教授.新中國(guó)成立的消息使華羅庚興奮不已，他放棄了在美國(guó)的優(yōu)厚待遇，克服重重困難,

終于回到祖國(guó)懷抱，投身到我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)研究事業(yè)中去.這種赤子情懷，使許多年輕人受到

感染、受到激勵(lì)，其中他倡導(dǎo)的"0.618優(yōu)選法"在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)

用，0.618就是黃金分割比匕=亨的近似值，黃金分割比還可以表示成2sinl8。，則

A.-4B.4C.-2D.2

【變式3-1】2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研

究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割均為0.618,這一數(shù)值也可以表示為4=2

sinl80,則管穿=（）

A.1B.1C.孝D.唱

【變式3-1]3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中.在

三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認(rèn)為是最美的三角形,

它是兩底角為72。的等腰三角形.達(dá)?芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個(gè)畫面里形成了一

個(gè)黃金三角形.如圖，在黃金三角形ABC中，第=亨，根據(jù)這些信息，可得sin540=

A2V5-lg逐+1

?4°4

r遮+4口遮+3

?8,8

A

【變式3-1]4.（2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模）隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)攝影越

來(lái)越得到人們的喜爰，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用"黃金分割構(gòu)圖法”可以讓

照片感覺更自然.更舒適，"黃金九宮格"是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫豎各

分三部分，以比例1：0.618:1為分隔，4個(gè)交叉點(diǎn)即為黃金分割點(diǎn).如圖，分別用4BCD

表示黃金分割點(diǎn)若照片長(zhǎng)、寬比例為4:3,設(shè)=a,則告著-tana=（）

DC

AB

題型4扇形相關(guān)問(wèn)題

【例題4】（2023秋?貴州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知"水滴"的表面是一個(gè)由圓錐的側(cè)面和

部分球面（常稱為"球冠"）所圍成的幾何體.如圖所示，將"水滴"的軸截面看成由線段

AB,AC和優(yōu)弧BC所圍成的平面圖形，其中點(diǎn)B,C所在直線與水平面平行，AB和AC與

圓弧相切.已知"水滴"的"豎直高度"與"水平寬度"（"水平寬度”指的是平行于水平

面的直線截軸截面所得線段的長(zhǎng)度的最大值）的比值為￡則sinNB4C=（）

【變式4-1】1.（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，

其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜爰.古人曾有詩(shī)贊曰："開合清風(fēng)紙半張,

隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形COD,

其中NC。。=第OC=3OA=3,動(dòng)點(diǎn)P在而上（含端點(diǎn)），連接0P交扇形04B的弧近于

A.若y=2x,則而?而=一|7^B.x+ye[|,|]

C.PA-~PB>YD.AB-PQ>-2

【變式4-1]2.（2023春?廣東深圳?高三?？茧A段練習(xí)）以乙4cB的頂點(diǎn)C為圓心作圓交角

的兩邊于A,B兩點(diǎn)；取線段力B三等分點(diǎn)O,D;以B為焦點(diǎn)，A,D為頂點(diǎn)作雙曲線，與

圓弧AB交于點(diǎn)E,連接CE,貝此4cB=3NBCE.若圖中CE交力B于點(diǎn)P,SAP=6PB,貝JcosN

ACP=

【變式4-1】3.（2023?河南焦作統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知P,Q分別為乙4OB兩邊上的點(diǎn),

^AOB=f,PQ=3,過(guò)點(diǎn)P,Q作圓弧，R為所的中點(diǎn)，且"QR=顏］線段。R長(zhǎng)度的最大

【變式4-1】4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為創(chuàng)建全國(guó)文明城市，上饒市政府決定對(duì)某小

區(qū)內(nèi)一個(gè)近似半圓形場(chǎng)地進(jìn)行改造，場(chǎng)地如圖，以。為圓心，半徑為一個(gè)單位，現(xiàn)規(guī)劃出

以下三塊場(chǎng)地，在扇形AOC區(qū)域鋪設(shè)草坪，△OCD區(qū)域種花，△OBD區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，

若乙4OC=NCOD,且使這三塊場(chǎng)地面積之和最大，則cos乙4OC=.

【變式4-1】5.（2022?湖北?恩施市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）共和國(guó)勛章，是中華人民共

和國(guó)最高榮譽(yù)勛章，授予在中國(guó)特色社會(huì)主義建設(shè)和保衛(wèi)國(guó)家中作出巨大貢獻(xiàn)、建立卓越功

勛的杰出人士.2020年8月11日，國(guó)家主席習(xí)近平簽署主席令，授予鐘南山“共和國(guó)勛章”.

某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個(gè)人，制作的榮譽(yù)勛章的掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，0為圖中

兩個(gè)同心圓的圓心，三角形ABC中，AB=AC,大圓半徑。4=2,小圓半徑。B=0C=1,

記S為三角形OAB與三角形OAC的面積之和.設(shè)陰影部分的面積為S,當(dāng)S，-S取得最大值

時(shí)cosNBOC=

A

掛哈結(jié)構(gòu)示意圖

題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問(wèn)題

【例題5】（2023秋?江蘇南京?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知aGQn）,且3tana=10cos2a,則

cosa可能為（）

A_Vw_V5VwV5

RrnU

A.10D-5J10-5

【變式5-1】1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知0<a<3<2兀，函數(shù)/（x）=5sin

（久一今，若/'（a）=/（0）=1,則cos（8—a）=（）

A.||B.-||C.|D.

【變式5-1】2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知銳角三角形4BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的

7

邊分別是a,b,C,目力〉B,若sinC=2cos4sinB+元，則tanB的取值范圍為.

【變式5-1】3.（2023秋?黑龍江七臺(tái)河?高三勃利縣高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在“BC中,

已知sin4sinBsin（C-8）=Asin2C,其中tan。=|（0<6?<%若高+高+高為定值，則

實(shí)數(shù)4=.

【變式5-1】4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)4（cosa,sina

),B(cosS，sin￡),C(竽,2偽,且△ABC的重心G的坐標(biāo)為(竽,&)，cos(a-0)=

【變式5-1】5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)G是aABC的重心，目G41GC,若

+熹=1,貝!JtanB的值為

【變式5-1】6.（2021秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考期中）在

△4BC中，已知sinAsinBsin(C-0)=Asin2C,其中tan。=|(其中0<8<5)，若意+高

+高為定值，則實(shí)數(shù)4的值是（）

A.嚼B.坐C.國(guó)D.普

題型6三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題

【例題6】（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選題）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（（3"—,）+學(xué)

3>0）,若f（x）的圖象與直線y=-1在［0,2汨上有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.3的取值范圍是黑第

B.人久）在［0,2汨上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

C.若f（x）的圖象向右平移各個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱，則3=g

D.若將/（久）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)以久）的圖象，則g（x）在|。用上單

調(diào)遞增

【變式6-1】1.（多選）（2023秋河南鄭州?高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（

%）的定義域?yàn)镽,f（x-當(dāng)為奇函數(shù)，/（久+5為偶函數(shù),當(dāng)xe［—甥］時(shí)，/（x）=cosx,則

下列結(jié)論正確的是（）

A./（爭(zhēng)=WB./（X）在（3TT,4TT）上為減函數(shù)

C.點(diǎn)（手,0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心D.方程/⑶-lgx=o僅有3個(gè)實(shí)數(shù)解

【變式6-1】2.（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)f（x）=2sin洗一3sin|%|

+1,以下說(shuō)法正確的有（）

A.f（x）是偶函數(shù)

B./（X）在區(qū)間（―?0）上單調(diào)遞增

C.f（X）在［—Bn］上有4個(gè)零點(diǎn)

D.久久）的值域是［―5,6］

【變式6-1］3.（2023秋?黑龍江鶴崗?高三鶴崗一中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)人久）=謁cos

x-m-2，+i的圖象和函數(shù)g（x）=聶—3的圖象有唯一交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.1B.3C.—1或3D.1或3

【變式6-1]4.（2023秋?河南信陽(yáng)?高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃“）=sin（cos

x）+cos（sinx）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.VxeR,/（x—2TT）=/（x）

B.V%G[0,n],/（x+n）>0

c.八久）是奇函數(shù)

D./（久）的最大值大于迎

【變式6-1】5.（2023秋?河南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)八久）=cos（3久+0）,e

N+,”[0,n],在％e（一年,以內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，目/■（一芟）+胞）=0,貝切的所有可

能取值構(gòu)成的集合是.

【變式6-1】6.（2023秋?北京?高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)/'（X）=2sin

（3X+w）+1（3>0,|卬|</）,滿足/'（久）+/（-5一乂）=2,且對(duì)任意x€R,都有/'（x）2f

（-/，當(dāng)3取最小值時(shí)，則下列正確的是.

①/⑶圖像的對(duì)稱軸方程為X="+等kez

②f（x）在[—工，&上的值域?yàn)閇2,3]

③將函數(shù)y=2sin（2x—勺+1的圖象向左平移區(qū)單位長(zhǎng)度得至II函婁好⑴的圖象

④/⑶在已同上單調(diào)遞減.

題型7識(shí)圖問(wèn)題

10?^1]#6

已知/（x）=4sin（3x+0）（4>0,w>0）的部分圖象求其解析式時(shí)，4比較容易看圖得出，

困難的是求待定系數(shù)3和◎,常用如下兩種方法：

⑴由3=年即可求出3；確定0時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的"零點(diǎn)"

橫坐標(biāo)%0,則令3*0+9=0（或3久o+W=兀），即可求出

（2）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或"零點(diǎn)"）坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖

形解出3和0,若對(duì)43的符號(hào)或?qū)?的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

【例題7】（2023?北京?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)+

部分圖象如圖1所示，4B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)4作無(wú)軸的垂線，交x軸于4,

點(diǎn)C為該部分圖象與x軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)

\AB\-Vioz貝!M=

給出下列四個(gè)結(jié)論:

TT

①0=5；

②圖2中，AB-AC^S;

③圖2中，過(guò)線段AB的中點(diǎn)且與4B垂直的平面與久軸交于點(diǎn)C;

④圖2中，S是△48C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合股集合T={QeS||42|W2},貝療表示的區(qū)

域的面積大轉(zhuǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

【變式7-1]1.（2021秋?重慶銅梁?高三銅梁一中階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=2sin?x+（p

）（3>0）,無(wú)€[—會(huì)知的圖像如圖，若/Q1）=/（尤2）,且久1大刀2,則/。1+%2）的值為

A.V3B.V2C.1D.0

【變式7-1】2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P（-2,a）和點(diǎn)Q（l,b）分別是函數(shù)

/'（%）=4sin（3x+0）cos（3久+力（4>0,3>0,0<。<與圖像上的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，若

P、Q兩點(diǎn)間的距離為5,則關(guān)于函數(shù)。（久）=4cos（3x-2。）的說(shuō)法正確的是（）

A.在區(qū)間［-4,2］上單調(diào)遞增B.在區(qū)間［0,6］上單調(diào)遞減

C.在區(qū)間［1,7］上單調(diào)遞減D.在區(qū)間［4,10］上單調(diào)遞增

【變式7-1】3.（2020?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，函數(shù)f（x）=4sin（3X+9）（其中

力>0,3>0,|<p|<5與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P、Q、R滿足P（2,0）,乙PQR，M為QR的

中點(diǎn)，PM=2V5,貝!M的值為（）

A.^/3B.p/3C.8D.16

【變式7-1】4.(2022?浙江?高三專題練習(xí))如圖，直線AB與單位圓相切于點(diǎn)0,射線OP

從。4出發(fā)，繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)分入過(guò)程中，記乙48=穴0<”<兀)，OP經(jīng)過(guò)的

單位圓。內(nèi)區(qū)域(陰影部分)的面積為S,記S=f(久)，對(duì)函婁好(久)有如下四個(gè)判斷:

①當(dāng)久=苧時(shí)，5=^+|;

②xe(o,兀)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；

③對(duì)任意Xe(o)?,都有府7)+府+支)=兀;

④對(duì)任意％e(o,(),都有f停+")=/?+?

其中判斷正確的序號(hào)是

題型8湊角求值問(wèn)題

三角函數(shù)求值的類型及方法

(1)"給角求值"：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊

角總有一定關(guān)系.解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角

函數(shù).

(2)"給值求值"：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在

于“變角"，使其角相同或具有某種關(guān)系.

(3)"給值求角"：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為"給值求值"，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的

式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍.

【例題8】(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))若ae[(U],—AER,且a3—cosa—22

=0,6一2/7)—2sin￡cosS—24=0,若cosa=亮，貝[jtan。=()

A.1B.|C.V3D.3

【變式8-1]1.(2023?江蘇徐州??？寄M預(yù)測(cè))已知sin(2a—卷=辛，則tan(a+f)tan(

a+合=-

【變式8-1】2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)P(0,m)是y軸上到省1,1)網(wǎng)2,4)距離和

最小的點(diǎn)，且cos(a—卞=巳貝|sin(2a—)的值為(用數(shù)據(jù)作答).

【變式8-1】3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知cos(2a-()=tanatan(a—=P,

則正常數(shù)p的值為.

【變式8-1】4.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知8cos(2a+0)+5cos0=0,且cos(a+0

)cosa*0,則tan(a+￡)tana=.

題型9最值相關(guān)問(wèn)題

【例題9】(2022秋?山東青島?高三?？茧A段練習(xí))在3BC中,C=90°,若XWR,則f(x)

=sin(x+A)+sin(x+B)的最大值為()

A.V2B.1C.2D.辛

【變式9-1】1.(2022秋?江蘇常州?高三?？奸_學(xué)考試)已知a/,y是互不相同的銳角，則

1

在sinacosS，sin￡cosy,sinycosa三個(gè)值中，大為的個(gè)數(shù)的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【變式9-1】2.(2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中)已知8￡(0,^,則盛+磊—2揚(yáng)an

。的最小值為()

A.8B.12-2V2C.6D.5

【變式9-1】3.（2020?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原

點(diǎn)），4（1,0）,“OB=可.點(diǎn)P（x,y）是4B上任意一點(diǎn)，則xy+x+y的最大值為（）

A.吟-'B.1C.乎+JD.V2+1

42422

【變式9-1】4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）△說(shuō)中,角A,B,C滿足cos24-cos2O=2

sinC（sinB-sinC）,則百焉+焉的最小值為

【變式9-1】5.（2023秋?重慶?高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，若sinA=2cosB

cose,則COS2B+cos2c的最大值為.

【變式9-1]6.（2022秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在R上的函婁好。）單調(diào)遞減，

且滿足/（1㈤+/（1+%）=0,對(duì)于任意的即滿足/'（acosa）+/（bsina）20恒成立，貝!Ja+6的最

大值為.

題型1。3相關(guān)問(wèn)題

【例題101（2022秋?福建龍巖?高三福建省龍巖第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（久）=sin

5+aCOS3x（a>0,3>0）圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離小于兀，/②=V3,且/（久）<f

七），則3的最小值為.

【變式10-1】1.侈選）（2023?河北秦皇島校聯(lián)考二模）已知函數(shù)/（*）=sin（s+B⑷>0）

是在區(qū)間得,給上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=-敘寸稱，目/■仁）+匈）=0,則3

的值可以是（）

A.4B.12C.2D.8

【變式10-1】2.（2023福建泉州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)八x）=2sin（g—勺+或（3

>0）在[0,2]內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，貝必的值可以是（）

A.3B.5C.7D.9

【變式10-113.（2023?河北唐山?模擬預(yù)測(cè)）已知4B,C為f（%）=sins與g（%）=coss的

交點(diǎn)，若△力BC為等邊三角形，則正數(shù)3的最小值為.

【變式10-1】4.（2023秋?安徽?高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=3sin

（5—乎（3>0）,當(dāng)xe[o用時(shí)，函數(shù)/（x）的最大值為3,則滿足條件的3的個(gè)數(shù)

為.

題型相關(guān)問(wèn)題

【例題11】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知/（%）=sinxcosx+V3cos2^,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x

都有f⑺=asin（s+租）+冬其中43GR,（pG[0,3Tt）,則9的所有可能的取值有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【變式11-1]1.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?校聯(lián)考一模）在函數(shù)外嗎=sin（2x-<p）（<p>0）圖象

與x軸的所有交點(diǎn)中，點(diǎn)住,。）離原點(diǎn)最近，貝加可以等于（寫出一個(gè)值即可）.

【變式11-D2.（2022秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校⒑瘖浜茫?）=2

sin2久的圖象向右平移a（0<卬<兀）個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若對(duì)滿足If（久。-。（久2

）|=4的5、x2,有Z-冷1的最小值為*則9=-

【變式11-1]3.（2022?安徽?南陵中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)f（久）=2sinx-1的圖象上

所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后向左平移9@>0）個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)9。）的圖象.若對(duì)任意4e[oj],都存在冷e[冶川,使得/（久1）=93）,

則W的值可能是（）

A△.-4DQ.—12CJ—12D—4

題型12實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

【例題12】（2023秋?內(nèi)蒙古赤峰?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉

工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖

1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2,將筒

車抽象為一個(gè)半徑為10的圓。，設(shè)筒車按逆時(shí)針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，以筒車的中

心O為原點(diǎn)，線段OA,OB所在的直線分別為x,y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（A,B

為圓。上的點(diǎn)）,分別用f（t）,g（t）表示t秒后A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則y=f（t）,g（t）的最

大值為（）

圖1圖2

A.50B.75C.50V3D.100

【變式12-1】1.（多選）（2023春?福建廈門?高三廈門一中?？计谥校┩曹囀俏覈?guó)古代發(fā)

明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在

《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）.現(xiàn)有一個(gè)半徑為3米的簡(jiǎn)車按逆時(shí)

針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水

面的距離為d（單位：米）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面開始計(jì)算時(shí)間，設(shè)

時(shí)間為t（單位：秒），已知COS48。4,貝（）

A.d=2-3cos德t+8）,其中cos。=I，且8e（0,1）

B.d=3sin德t+g）+2,其中sin。=—|,且9e（—5,（））

C.大約經(jīng)過(guò)38秒，盛水筒P再次進(jìn)入水中

D.大約經(jīng)過(guò)22秒，盛水筒P到達(dá)最高點(diǎn)

【變式12-1]2.（2021秋?江蘇蘇州?高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖,

某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)0離地面1米，點(diǎn)。在地面上的

射影為A.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)M從最低點(diǎn)0開始，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點(diǎn)則點(diǎn)P

到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P的高度之和為

4地面

A.5米B.（4+歷米

C.（4+g）米D.（4+回）米

【變式12-1]3.（2021秋河南洛陽(yáng)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的

工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個(gè)半徑為

R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)4（3四-3）出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)

60秒，經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)P的坐標(biāo)為(%,y),其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=Rsin(o)t

+<p)(t>0,1^1<5,則下列敘述正確的是

②當(dāng)te[35,55]時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6;

③當(dāng)te[10,25]時(shí)，函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞減；

④當(dāng)t=20時(shí),\PA\=6V3

【變式12-1】4.(2023秋?江蘇蘇州?高三蘇州中學(xué)校考階段練習(xí))某小區(qū)有一個(gè)半徑為r

米，圓心角是直角的扇形區(qū)域，現(xiàn)計(jì)劃照?qǐng)D將其改造出一塊矩形休閑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地，然后在區(qū)域

I(區(qū)域ACD),區(qū)域II(區(qū)域CBE)內(nèi)分別種上甲和乙兩種花卉(如圖)，已知甲種花卉每

平方米造價(jià)是a元，乙種花卉每平方米造價(jià)是3a元，設(shè)zBOC=e,中植花卉總造價(jià)記為/

⑻，現(xiàn)某同學(xué)已正確求得：f(9)=ar2g⑼,則g(°)=;種植花卉總造價(jià)最小

值為.

1、根據(jù)題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結(jié)合思

想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而加深理解函數(shù)的性質(zhì).

2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：?jiǎn)握{(diào)性、

奇偶性、對(duì)稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性

等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解.

【例題13】（2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/⑶=acos（2x-^）

+6sinxcos久一2cos2久+1的圖象關(guān)于直線久=手對(duì)稱.若對(duì)任意治中,品，存在冷€

（0,+8）,使/勺）<2*+，川成立，則m的取值范圍是（）

111

A.m>—1B.m>--C.m>--D.m>

Z4o

【變式13-1]1.（2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函婁好（X）=acos

（2支一勺+6sin久cosx-2cos2久+1的圖象關(guān)于直線x=多對(duì)稱.若對(duì)任意久i￡[o,y],存在

21

mx

%2e（0,+8）,使人久1）<2z+及+已成立,則m的取值范圍是（）

111

A.m>—1B.m>--C.m>--D.m>

Z4o

【變式13-1J2.（2023春?河南許昌?高三鄢陵一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=2sinxcos

x+4cos2x-1,若實(shí)數(shù)a、b、C使得af（x）-+c）=3對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則2a+

b一cose的值為()

A.1B.|C.2D.|

【變式13-1]3.（2021秋?重慶巴南?高三重慶市清華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若不等式nicos

%-cos3x-i<0對(duì)任意久￡（0,9恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（）

A.（-8,-HB.（-oo,-2]C.（-oo,1]D.（—8,胃

【變式13-1】4.（2020?浙江紹興統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若不等式缶—|x—勿）?sin（%+J）<O.對(duì)

XW[0,2TTT恒成立，則sin(a+b)和sin(a-b)分別等于()

A.苧孝B.V2._V2C.V2.V2D.V2._V2

【變式13-1】5.侈選）（2022秋?山西臨汾?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函婁好（久），尸㈤是其

導(dǎo)函數(shù)，Vxe(o,。/(久)3久+/(久)5也%=111%恒成立，貝［］()

A.［慮)+向(非osl>鬲⑴B.(V3-l)/@<V2/(§)

C.V2/g)<W心D.2心>(V3+1)6)

題型14零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題

羊，過(guò)重魚

已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，合理轉(zhuǎn)化求解.

(AAAAAAAA/SAAAA/SAA/WSAAAAAAAAAA/SAAA/WSAA/WW/SAAAAAA/SAAA/VSAA/WSAAAAA/WSAAAA/SAAAA/SAAAAAAAAAA/WSAA/SAAA/XAAAA/WVWXAAA

【例題14】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知y=/(x),xeR滿足f(x+2)=/(x—2),「

(0)=o,當(dāng)xe(0,4)時(shí)，f。)=log2±.已知g(x)=2sin&+n),則函數(shù)y=/(x)-g(x

),乂6[-4,8]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為,這些零點(diǎn)的和為

【變式14-1】1.(2023秋?四川南充?高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知定義在

R上的奇函數(shù)/'(x)滿足/(2-x)+/(%)=0,當(dāng)(0,1]時(shí)，/(%)=-\oQ2X.若函數(shù)F(x)=

/(x)-sin?rx在區(qū)間[_1,詞上有10個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5.5,5]D.[5.5,5)

【變式14-1】2.(2023春?天津南開?高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知小>0,

f(x—2)ln(x+1),—1<%<m,

函數(shù)fQ)=ccJ%+嗚巾VYVk恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是()

A.卜碧)小學(xué)B.2制小明C.(0制“2制D.(0涔)“2片

【變式14-1]3.(2023?天津?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)y=/(%)是偶函數(shù)，當(dāng)

psin-%,0<%<1

XN0時(shí)，/'(%)=]口+3?，若關(guān)于久的方程[/(久)]2+a/(x)+b=o(a,beR),有

C+/>]

且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-4,-1)B.(-4,-j)

C.D.(-4,-|)u(-i,-|)

【變式14-1］4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)久)，當(dāng)無(wú)>。時(shí)滿

4cosxsin(x+—)—1,0<%<-

足/(%)=(-6+_3TX6，關(guān)于X的方程［f(x)F+2好(久)+2=0有且僅有6

卬+2'X>6

個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

題型15與數(shù)列相關(guān)問(wèn)題

【例題15】(多選)(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，Pi是一塊半徑為1的圓形紙板，在Pi

的左下端前去一個(gè)半徑為曲勺半圓后得到圖形P2,然后依次剪去一個(gè)更小半圓(其直徑為前

一個(gè)前掉半圓的半徑)得圖形「3,「4,…,Pn，…，記紙板外的周長(zhǎng)為面積為方,則下列說(shuō)

法正確的是()

C.=@一0]+(1)D.Sn+i=Sn—嬴7

【變式15-1】1.(2023?上海虹口?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知f(x)=sinx+

In%,將y=f(x)的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列｛久J對(duì)于正整數(shù)n,甲：

(n-l)n<xn<nn;乙:限—若叫為嚴(yán)格減數(shù)列，則().

A.甲正確，乙正確B.甲正確，乙錯(cuò)誤

C.甲錯(cuò)誤，乙正確D.甲錯(cuò)誤，乙錯(cuò)誤

【變式15-1】2.(2023春?上海寶山?高三上海交大附中校考階段練習(xí))將關(guān)于x的方程2sin

(2x+tn)=1(t為實(shí)常數(shù)，0<t<1)在區(qū)間［0,+8)上的解從小到大依次記為久1，冷,…,xn

設(shè)數(shù)列｛功｝的前n項(xiàng)和為〃，若「OWIOOTT,貝！Jt的取值范圍是.

【變式15-1】3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛*滿足tanan=懸百，ane（0,^）,Sn

為｛即｝的前n項(xiàng)和，若Sn<k,貝此的范圍為-

【變式15-1]4.（2021福建廈門?廈門一中校考一模）已知f（x）=tan%,數(shù)列｛a“｝滿足：

對(duì)任意九€N*,ane（0,^）,且f（即+i）=77?，則使得sina】?sig…sinak〈表

成立的最小正整數(shù)k為.

【變式15-1】5.（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知單位圓。的內(nèi)接正n邊形4遇2&…

4的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積分別為即，〃，Sn,則下列結(jié)論正確的是（）

AcTC卜LfiIT

A.a=2cos-B.~—=cos-

“nnL2n2n

c.=|D.O+（2_Jn）2=4

1.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（兀Day）.歷

史上，求圓周率兀的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)"相似.數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的

方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正671邊形的周長(zhǎng)和外切正671邊形（各邊均

與圓相切的正6n邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2兀的近似值.按照阿爾?卡西的方

法，兀的近似值的表達(dá)式是（）.

A.3n（sin迎+tan型）B.6n（sin型+tan%）

C.3n（sin%+tanD.6n^sin。+tan

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收

錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的"會(huì)圓術(shù)"，如圖，通是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是AB的

中點(diǎn)，D在而上，CDLAB."會(huì)圓術(shù)"給出通的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=+

巖.當(dāng)。A=2/AOB=60。時(shí)，s=（)

A11-3心o11-4gQ9-36D9-4右

?2?2?-2-?-2-

3.(2023?湖南婁底?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))等腰三角形的底與腰之比是黃金分割比的三角形稱為

黃金三角形，它是一個(gè)頂角為36。的等腰三角形.如圖，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正

五邊形組成，其中一個(gè)黃金△4BC中，篇=年，記五角星中陰影部分的面積是S陰，中間

空白正五邊形的面積是S白，則駕=()

A.2+V5B.2-V5C.D.V5

4.(2020?黑龍江哈爾濱?哈九中校考二模)已知函數(shù)｛x)=—gcos2x—a(sinx—cosx),且

對(duì)于任意的燈,久2e(-OO,+8),當(dāng)X1豐尤2時(shí)都有<1成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.[f]B.[一爭(zhēng)1C.[一|閣D.[-1,1]

5.(2023?河南統(tǒng)考三模)已知函數(shù);'(xLasins+bcoss,其中3>0,若函數(shù)滿足以

下條件：

①函數(shù)/(x)在區(qū)間即/n]上是單調(diào)函數(shù)；②/(久)<|也)的任意xeR