函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（原題版）-2025年高考數(shù)學復(fù)習易錯題（新高考）

專題03函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

目錄

題型一：函數(shù)的性質(zhì)

易錯點01復(fù)合函數(shù)定義域的理解不當致錯

易錯點02使用換元法忽略新元的范圍

易錯點03研究單調(diào)性、奇偶性時忽略定義域

易錯點04對分段函數(shù)的理解不到位出錯

題型二函數(shù)與方程

易錯點05忽略函數(shù)零點存在定理的條件

易錯點06二次函數(shù)零點分布問題考慮不全

題型-：函數(shù)的性質(zhì)

易錯點01：復(fù)合函數(shù)定義域理解不當致錯

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例(23?24高二下?黑龍江?期末)已知函數(shù)/(x)=后金，則函數(shù)g(x)=/(2x)+/(x2)的定義域為

()

A.[-B.卜8,回

C.口,間D.[-Ai]

【答案】D

【分析】由根式和復(fù)合函數(shù)的定義域求解即可.

【詳解】由題可知=的定義域為(-82]，

則為使g(x)=/(2x)+/(x2)有意義必須且只需]2x<2

x2<2'

解得一行wxwr

所以g(x)的定義域為卜3,1]

故選:D

【易錯剖析】

在求解過程中，根據(jù)函數(shù)解析式求出/(x)的定義域為(-8,2],然后由=然后錯誤的由xV2分別求出

X2,2X的范圍進而求出函數(shù)的定義域而出錯，出錯原因在于沒有理解復(fù)合函數(shù)定義域的正確意義.

【避錯攻略】

1復(fù)合函數(shù)的概念：

若函數(shù)方/Q)的定義域為A,函數(shù)片g(x)的定義域為D,值域為C,則當時，稱函數(shù)產(chǎn)丹g(x)]

為/⑺與g(x)在D上的復(fù)合函數(shù)，其中x稱為自變量,/為中間變量，片g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，方/■⑺叫做外層

函數(shù).

2抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域：

(1)函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，比如：函數(shù)人x)的定義域是指x的取值范圍，函數(shù)y?[g(x)]

的定義域也是指x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.

(2)/⑺，f^x),(x)],/D?(x)]四個函數(shù)中的3x,p(x),〃(x)在對應(yīng)關(guān)系/■下的范圍相同，在同

一函數(shù)/作用下，括號內(nèi)整體的取值范圍相同.

(3)已知於)的定義域為/,求八夕⑺]的定義域，其實質(zhì)是已知夕(x)的取值范圍(值域)為/,求x的

取值范圍.

(4)己知/[夕⑺]的定義域為2,求段)的定義城，其實質(zhì)是已知八夕(x)]中x的取值范圍為2,求0(x)

的取值范圍(值域)，這個范圍就是人x)的定義域.

易錯提醒已知/(x)的定義域求解/[g(x)]的定義域，或已知/[g(x)]的定義域求/(x)的定義域，

遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應(yīng)法則下，括號內(nèi)式子的范圍相同，另外對于實

際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.

舉一反三

1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)的定義域為「2,2],則函數(shù)%=的定義域為()

A.[-3,1]B.[TO)"?！?/p>

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

2.（24-25高三上?四川南充?開學考試）已知函數(shù)〉=/。+1）的定義域為[-2,3],則>tD的定義域

A/X-1

為（）

A.[-5,5]B.（1,5]C.^1,—D.-5,—

3.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習）已知函數(shù)/（2x-3）的定義域為[2,3].記/（X）的定義域為集合

4/（2-1）的定義域為集合氏則“丁€/”是、e8”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習）y=lg（tanx-1）的定義域為（）

兀

A.4+kn>x>—+kji,kEZJ

B.xx>—+k7iJC^—+ku.keZ

42

C.|x|x>^+kn,kGZ

兀E77

D.x\X>----1--，左￡Z

42

⑵3高三上?福建寧德?開學考試）已知函數(shù)尸"一）的定義域是T3],則"墨的定義域是

2.

A.(-2,5]B.(-2,3]

C.[-1,3]D.[-2,5]

3.（24-25高三上?山東煙臺?期中）若函數(shù)>=/（2、）的定義域為{x|x<2},則函數(shù)>=/（x-1）的定義域為

（）

A.{x|0<x<4}B.{x|x<4}C.{x\x<5}D.{x[l<x<5}

4.（24-25高三上?山東荷澤?期中）已知函數(shù)〃2x+l）的定義域為[1,2],則函數(shù)的定義域為（）

A.[1,2]B.[4,6]C.[5,9]D.[3,7]

5.(23-24高一上?四川成都?期中)一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m,且

炮彈距地面的高度力(單位：m)與時間/(單位：s)的關(guān)系為〃=130/-5一.該函數(shù)定義域為()

A.(0,+司B.(0,845]C.[0,26]D.[0,845]

6.(24-25高三上?河南新鄉(xiāng)?期中)已知函數(shù)/(力=萬1+占，則函數(shù)/(/)的定義域是()

A.(-?),l)u(l,2]

B.[-2,-l)U(-l,l)U(l,2]

C.[-V2,1)U(1,V2]

D.[-

7.(2024?山東?一模)函數(shù)/(%)=Jx-1|-3的定義域是()

A.[4,+oo)B.(-oo,-2]

C.[-2,4]D.(-oo,-2]o[4,+oo)

一一1)

8.(23-24高三上?陜西西安?階段練習)已知/(x)的定義域為[0,2],則函數(shù)的定義域為

9.(23-24高三上?福建莆田?開學考試)已知函數(shù)的定義域為(1,+8),則函數(shù)尸(x)=/(2=3)+萬7

的定義域為.

10.(24-25高三上?青海西寧?階段練習)函數(shù)>=『^^+(2苫-3)°的定義域為____

”ogo5(x-2)

易錯點02：使用換元法忽略新元的范圍

，易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高一上?吉林?階段練習)已知八五-l)=x-2?,則〃x)的解析式為()

A./(x)=x2-1B./(x)=x2+l(x>-1)

C./(x)=x2-l(x>-1)D./(x)=x2+1

【易錯剖析】

本題求解時設(shè):6-1,換元后要注意￡2-1這一范圍，如果忽略新元的范圍，容易錯選A.

【避錯攻略】

1.換元法

換元就是引入輔助未知數(shù),把題中某一個(些)字母的表達式用另一個(些)字母的表達式來代換,這種解

題方法,叫做換元法,又稱變量代換法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對

象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化.例如通過換元來降次,或化分式、根

式為整式等,換元的關(guān)鍵是選擇適當?shù)氖阶舆M行代換.

2.常見的換元方法

(1)根式代換：一般是指將根式部分通過換元，使原函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的一元二次方程形式；

(2)整體代換：將所求表達式整體換元；

(3)三角代換：三角代換分為兩種情況：①用三角函數(shù)的性質(zhì)將代數(shù)或幾何問題轉(zhuǎn)化成三角問題，轉(zhuǎn)化的

過程要注意定義域的取值問題；②逆向三角代換：是指將三角問題，通過換元法轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的一元

二次方程的問題。

易錯提醒：換元要注意新舊變元的取值范圍的變化.要避免代換的新變量的取值范圍被縮小;若新變量

的取值范圍被擴大了，則在求解之后要加以檢驗.

叁舉一反三

1_2

1.(24-25高三上?江西上饒?階段練習)已知函數(shù)〃=則/(x)=()

X

A.(1、2T("0)B.(1

(1)(xT)

44

c.7-D.7—

(1)(1)

2.(24-25高一上?重慶?階段練習)函數(shù)y=x+的值域為()

A.(-?,2]B.[2,+co)C.1一00，、D.

3.(2024?四川遂寧?模擬預(yù)測)下列函數(shù)滿足“l(fā)og?3)=-"log")的是()

A./(x)=1+InxB.f(x)=x+—

C.D./(x)=l-x

易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?全國?隨堂練習）函數(shù)〃尤）=丁]^^尤eR）的值域是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.（0,1]D.（0,1）

2.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)y=x+Jl-x2的值域為（）

A.[-V2,V2]B.[-1,V2]C.[-2,2]D.[1,亞]

3.（23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習）若函數(shù)/（cosx）=cosx+cos2x,則（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知〃x）為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對VxeRJ（/（x）-e）=2+ln2,則

〃ln3)=()

A.31n2B.3+ln2

C.3-ln2D.In3

6.（2024?陜西?模擬預(yù)測）函數(shù)y（x）=Vn+收的最大值為（）

A.1B.C.V3D.2

y1

7.（23-24高一上?浙江寧波?開學考試）函數(shù)〉=ME（XN。）的最大值為

8.（24-25高三下?重慶?階段練習）若/（2x-1）=2/-x,則/（'）的解析式為.

5—T

9.（23-24高三上?廣東江門?開學考試）函數(shù)/（x）=y=的值域為.

x+1

10.（23-24高二下?遼寧本溪?期末）已知函數(shù)/（X）滿足2yX,則〃x)=

X

7

11.（2024高三?全國?專題練習）已知函數(shù)了=2二一3—的值域為—00—,則實數(shù)。的值為.

2

易錯點03：研究單調(diào)性'奇偶性時忽略定義域

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(fl)B.(0,1)C(1,2)D.(l,+℃)

【答案】C

【分析】令仁-/+2x,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求解出了=廳式的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由-x2+2xN0可得0Vx42,所以函數(shù)y=卜X2+2x的定義域為[。,2],

令t=-x2+2xe[0,l],利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法來分析了=廳式的單調(diào)性，如下表：

Xt=—/+2xty=4ty=yj-x2+2x

(0,1)單調(diào)遞增(0,1)單調(diào)遞增單調(diào)遞增

(1,2)單調(diào)遞減(0,1)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

由表知，y=Jr?+2工的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).

故選：C.

【易錯剖析】

本題再求單調(diào)區(qū)間時容易忽略定義域，而求出單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8)而致錯.

【避錯攻略】

函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿于整個高中數(shù)學的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，

函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧

途。

1.函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討

論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。

(1)單調(diào)區(qū)間區(qū)間/是定義域的子集，即應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)研究單調(diào)性.

(2)如果函數(shù).=危)存在多個單調(diào)區(qū)間,應(yīng)當用2”或“和”連接.

(3)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，增(減)函數(shù)是函數(shù)的整體性質(zhì).

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層

函數(shù)是增(減)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)函數(shù)，復(fù)合函

數(shù)是減函數(shù).

2.函數(shù)奇偶性與定義域

偶函數(shù)的定義：如果對一切使尸㈤有定義的x,尸(一x)也有定義，并且F(—x)=F(x)成立，則稱尸(x)為

偶函數(shù).

奇函數(shù)的定義：如果對一切使F（x）有定義的x,尸（一X）也有定義，并且F（—x）=—F（x）成立，則稱尸（x）

為奇函數(shù).

（1）奇偶函數(shù)定義的等價形式.

奇函數(shù)小一X）=—4x）u次一X）十危）=0,偶函數(shù)r/（一X）=/）"火一x）—/（x）=0.

（2）函數(shù)具有奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱.

一個函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，定義域必須關(guān)于原點對稱，否則這個函數(shù)就不滿足是奇函數(shù)或是

偶函數(shù)的條件，即這個函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例如，定義域為［0,+8）,不具有奇偶性.

易錯提醒：利用函數(shù)性質(zhì)解決題目的時候，應(yīng)該養(yǎng)成先求定義域的習慣，要注意定義域?qū)ψ宰兞康南拗?

舉一反三

1.（23-24高三上?浙江紹興?期末）函數(shù)y=ln（一一2x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.B.（1,+℃）C.（-<?,0）D,（2,+oo）

2.（24-25高三上?福建福州?期中）已知定義在［-3,3］上的函數(shù)/（x）=e、—er—2尤—1,若

/（/）+〃加—2）+2工0,則加的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[-1,1]C.[-1,V3]D.[->/3,1]

3.（24-25高三上?上海?期中）函數(shù)/（力="^+7上的奇偶性為.

■易錯題通關(guān)

1.（23-24高三上?山東荷澤?階段練習）函數(shù)》二一一^的單調(diào)增區(qū)間為（）

6-5x-x

A.卜HB.

C.+<?）D.-6）U^-6,--|

2.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)〃x）=收了工方的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.卜00，；）B.C.1,+℃^D.

3.（24-25高三上?陜西渭南?階段練習）若函數(shù)/（x）=log°.5（ax-在區(qū)間上單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是（）

A.(0,2]B.[-2,0)C.[2,+oo)D.(-oo,-2]

4.(24-25高三上?陜西漢中?期中)設(shè)函數(shù)=；2d則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x+l)+lB.f(x+1)—1

C./(X-1)+1D./(x-l)-l

5.定義在(0,+?0上的函數(shù)〃x)滿足VX],/e(0，+°°)且無產(chǎn)無2，有[“再)-/(%2)](玉-々)>°，且

2

/(孫)="X)+/(y),”4)=§,則不等式/(2x)-/(x-3)>l的解集為().

A.(0,4)B.(0,+oo)C.(3,4)D.(2,3)

],x<2

6.已知函數(shù)/(x)=，x-l,2Wx<3,且〃％)=2,則%=()

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

7.已知是定義在[-1』上的增函數(shù)，且-3x),則x的取值范圍是.

8.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)〃x)=rk|,xe(-l,l),則不等式〃1-機)</(病-1)的解集

為.

9.若函數(shù)於)="2+&+3°+6是偶函數(shù)，定義域為[a—1,2a],貝Ua=,b=.

易錯點04：對分段函數(shù)的理解不到位出錯

易錯陷阱與避錯攻略

_丫2?Y_6丫1

-"在R上是增函數(shù)，則。的取值范圍

olnx+5,x>l

為()

A.[l,+<x>)B.[1,6]

C.(-oo,l]u[6,+co)D.(0,l]U[6,+oo)

【答案】B

【分析】由分段函數(shù)在R上遞增需滿足條件可得答案.

【詳解】設(shè)g(x)=-x2+2ax-6,x<1；〃(x)=alnx+5,x>1.

為使/(x)在R上遞增,則g(x)在(-8』上遞增,〃(x)在(1,+8)上遞增,

a>\

且g（l）4Ml）,即a>0^l<a<6.

2a-7<5

故選：B

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易只注意到分段函數(shù)遞增，則每一段都遞增，忽略比較分段點處函數(shù)值的大小而

錯選A.

【避錯攻略】

1.分段函數(shù)的定義

在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達式.像這樣的函數(shù)，通常叫做分段函數(shù).

【理解】（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).

（2）處理分段函數(shù)問題時，要首先確定自變量的取值屬于哪一個范圍，然后選取相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系.要注

意寫解析式時各區(qū)間端點的開閉，做到不重復(fù)、不遺漏.

（3）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，分段函數(shù)的值域是分別求出各段上的值域后取并集.

2.分段函數(shù)的題型

（1）分段函數(shù)圖象的畫法

①作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖

象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.

②對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分

段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象.

（2）分段函數(shù)的求值

①確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

②代入該段的解析式求值，直到求出值為止.

（3）求某條件下自變量的值（或范圍）

先對x的取值范圍分類討論，然后代入不同的解析式，解方程（不等式）求解，注意需檢驗所求的值是否

在所討論的區(qū)間內(nèi).若題目是含有多層尸'的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理.

（4）根據(jù)分段函數(shù)的解析式解不等式

①對變量分類討論代入相應(yīng)的解析式求解.

②畫出分段函數(shù)的圖像判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求解.

（5）求分段函數(shù)的最值

分別求出每一段的最值或值域進行比較求出最值

（6）根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

從兩方面入手，一是分析各段的單調(diào)性，二是比較分段點的大小關(guān)系.

易錯提醒：（1）求某條件下自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自

變量的值，切記代入檢驗.

(2)已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，切記不要漏掉分段點處函數(shù)值大小的比較，常見的類型及應(yīng)滿足的條

件如下：

類型1：函數(shù)=，在R上單調(diào)增遞，則“X)滿足兩個條件：

[f2(x),x>a

(1)力(X)在(-叫可上單調(diào)增遞增；

(2)/2cx)在(a,+8)上單調(diào)增遞增；

(3)/(a)=&a).

類型2：函數(shù)=,在R上單調(diào)增遞減，則“X)滿足兩性個條件:

[f2(x),x>a

(l)/(x)在(-叫刈上單調(diào)增遞減；

(2)人(%)在(a,+s)上單調(diào)增遞減；

⑶工⑷2”)

舉—反三

2x~\x<l,

1.(2024?吉林?模擬預(yù)測)已知〃x)=?若則實數(shù)。的值為()

-----,X>1.

12

A.1B.4C.1或4D.2

、\2x+4.x<a

2.(24-25高三上?江蘇南京?期中)已知函數(shù)/zx=,「在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是

[x+1,x>a

().

A.(-1,3]B.(-oo,3]C.[3,+oo)D.(一/,—l]u[3,+e)

(QX>0

3.(2024?浙江溫州?一模)已知函數(shù)/(力=3'x°八的值域為R，則實數(shù)。的取值范圍為()

[x-3x+fl,x<0

A.[-l,+oo)B.[3,+oo)

C.(一8,-1]D.(-oo,3]

易錯題通關(guān)

x2-l,x<1

I.(24-25高三上?山東濟寧?期中)已知函數(shù)/(》)=1，貝打(八3))=()

-----,X>1

、x—1

2-"25高三上?山東濰坊?階段練習)函數(shù)小)噂;1I；的最小值為()

A.-4B.-2C.3D.5

]口'一<x<2

3.(23-24高三上?河北唐山?階段練習)已知函數(shù)〃無)='2"~'則的值域為()

log,x,2<x<4,

A.In|-,ln2B.ln|-,log94

C.(log92,In2]D.(log,2,log,4]

x2—2ax+a,x<0

4.(2024?湖南郴州?模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃無)=1在R上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是

-----ln(x+l),x>0

lex

()

A.(-8,0]B.[-1,0]

C.[-1,1]D.[1,+<?)

5.(24-25高三上?山東聊城?期中)設(shè)/\x)=無"：’，若/(T)為〃X)的最小值，則實數(shù)。的取

Ie—x+a,x>-1.

值范圍是()

A.[0,1]B.[。，2]C.[0,3]D.[-1,0]

e~x,x<2,

6.(2024?新疆?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=?/、/、2存在最小值，則實數(shù)。的取值范圍是

(x-l)(x-2)+a,x>2

()

A.(-00,-e2]B.(-e2,+oo)C.(-00,e-2]D.(e-2,+oo)

21

x+x,-2VxW一

4

7.(23-24高二下?湖南?階段練習)已知函數(shù)/("=<,若/(x)的值域是[-2,2],則C的值

log^,—<x<c

24

為(

A.2B.2V2C.4D.8

c（、fx+2,xW—1/、

8.（24-25高三上?山東棗莊?階段練習）（多選）已知函數(shù)無）=2?.，則下列關(guān)于函數(shù)/'（X）的結(jié)

論正確的是（）

A./（/（-1））=1B.若〃x）=3,貝ijx的值是G

C./（同<1的解集為（-叫1）D./（x）的值域為（-%4）

9.（24-25高三上?上海?期中）己知函數(shù)丁=/0）,其中/+3對任意的X],x2eR,且

[x>0

再力迎，總滿足不等關(guān)系/（%）一/（%）>0,則實數(shù)。的取值范圍是______.

X]-x2

/、ax2—2x,x>l,

10.（2024高三?全國?專題練習）若函數(shù)〃x=/。、:〃在R上是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍

（8-a）x+2,x<1

為.

f（6Z-l）x+5,xe（-a?,2）

11.（2024?山東?一模）已知a>0且"1,若函數(shù)/（'）=1"、在（-叫+8）上具有單調(diào)性，

[a,xe[2,+a）

則實數(shù)。的取值范圍是.

題型二：函數(shù)與方程

易錯點04：忽略函數(shù)零點存在定理的條件

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?陜西西安?階段練習）若函數(shù)/（X）在（-2025,2025）上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

且函數(shù)/（x）在（-2025,2025）內(nèi)僅有一個零點，則〃-2025>/（2025）的符號是（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【答案】D

【分析】利用零點存在定理、特例法判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】因為函數(shù)/（尤）在（-2025,2025）上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，

且函數(shù)在（-2025,2025）內(nèi)僅有一個零點，

若函數(shù)”X）在（-2025,2025）上單調(diào)，則f（-2025）?/（2025）<0；

不妨取〃x)=/,則函數(shù)/(x)在(-2025,2025)只有唯一的零點尤=0,但/(-2025〉”2025)>0；

取〃x)=x(x-2025),則函數(shù)〃x)在(-2025,2025)只有唯一的零點x=0,但〃-2025)?42025)=0.

因此，/(-2025卜〃2025)的符號不能確定.

故選：D.

【易錯剖析】

本題

【避錯攻略】

1.函數(shù)的零點

對于一般函數(shù)y=/(x),我們把使正)=0的實數(shù)無叫做函數(shù)了=段)的零點.

2.方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系

方程啟)=0有實數(shù)解<=>函數(shù)>=加)有零點Q函數(shù)>=加)的圖象與x軸有公共點.

3.函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)尸危)在區(qū)間⑷6］上的圖象是一條連續(xù)不斷—的曲線，且有人初電)<0,那么，函數(shù)尸於)

在區(qū)間(。，6)內(nèi)至少有一個零點，即存在ce(a,b),使得人c)=0,這個c也就是方程｛x)=0的解.

【解讀】零點存在定理的適用條件：①函數(shù)人x)在區(qū)間口，可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；

②X。)負6)<0.此判斷方法只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出有多少個零點.該判斷零點存在與否的方

法并不是對所有函數(shù)零點的判斷都適用.只有當函數(shù)圖象“穿過”X軸時，這種方法才能奏效.

4.求函數(shù)y=/(x)的零點的方法

(1)代數(shù)法：根據(jù)零點的定義，解方程<x)=0,它的實數(shù)解就是函數(shù)了=/)的零點.

(2)幾何法：若方程兀0=0無法求解，可以根據(jù)函數(shù)y=/(x)的性質(zhì)及圖象和零點存在定理求出零點.

(3)交點法：欲求｛x)—g(x)=0的零點，可以轉(zhuǎn)化為求方程負x)=g(x)的解，可在同一坐標系中畫出｛x),

g(x)的圖象，其交點的橫坐標即為")一g(x)=0的零點，交點的個數(shù)對應(yīng)零點的個數(shù).

易錯提醒：對函數(shù)零點存在的判斷需注意以下三點：(1)函數(shù)y=/(x)在⑷切上連續(xù)；(2)滿足

/(?)/(/))<0；(3)在他力)內(nèi)存在零點.，上述方法只能求變號零點，對于非變號零點不能用上述方法求解.

另外需注意的是：①若函數(shù)/(X)的圖像在X=M處與X軸相切，則零點X。通常稱為不變號零點.②函數(shù)的零

點不是點，它是函數(shù)/(X)與X軸交點的橫坐標，是方程/(x)=o的根.

舉一反三

1.(24-25山東濰坊期中)己知函數(shù)”X)在區(qū)間［1,4］上的圖象是連續(xù)不斷的，設(shè)?：/(1)/(4)<0,q：f(x)

在區(qū)間（1,4）中至少有一個零點，則?是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（24-25高三上?湖北?期中）己知函數(shù)=-,那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)/（x）零點的是（)

A.臼B,導(dǎo)]C[h]D.（1,4）

3.（2024?江西新余?模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程：2,-的實根分布在區(qū)間（）內(nèi).

A.（0.5,1）B.（1,1.5）C.（1.5,2）D.（2,2.5）

易錯題通關(guān)

I.（24-25高三上?遼寧?期中）>3”是“函數(shù)〃X）=G+3在區(qū)間（-1,2）內(nèi)存在零點，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

3.（24-25高三上?江蘇揚州?期中）若函數(shù)/（x）在區(qū)間可上的圖象是一條不間斷的曲線，則

“/⑷/㈤<0”是“函數(shù)尸在區(qū)間（0力）上有零點，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高一上?山東荷澤?期中）若函數(shù)/（x）=d+ax2+6x+c有三個零點-1,1,尤°,若ce（2,3）,則零

點七所在區(qū)間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（4,5）D.（5,6）

4.（24-25高一上?北京延慶?期中）己知函數(shù)/■（幻=/+°1+2有兩個零點，在區(qū)間（-1,2）上是單調(diào)的，且在

該區(qū)間中有且只有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（—00,—2匹）52五,+oo）B.（-8,-3）53,+8）

C.（-00,-4]u（3,+00）D.（-00,-4]U[2,+℃）

5.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）已知函數(shù)/（x）=sin（s+°）,則“/⑴/（2"0”是“函數(shù)〃x）在區(qū)間（1,2）

上沒有零點”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.(24-25高三上?上海?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+Ax+6,則“上+6>0”是“函數(shù)有零點”的()條

件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.不充分也不必要

7.(2022浙江杭州?一模)設(shè)“無)=e，+hu,滿足/(a)〃6)/(c)<0(0<a<6<c).若函數(shù)f(x)存在零點

x0,貝()

A.x0<aB.x0>aC.x0<cD.x0>c

8.(2024高三?全國?專題練習)若函數(shù)〃x)=ln無-工+a在區(qū)間(l,e)上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為

()

A.(0,1)B.[-,1]

e

C.(--1,1)D.(1,—+1)

ee

9.(24-25高三上?廣東?階段練習)函數(shù)/(x)=|cosx|一百sin(2x-與在[0,孚]上的零點個數(shù)為()

66

A.3B.4C.5D.6

10.(2024高三?全國?專題練習)(多選)下列函數(shù)在區(qū)間(-1,3)內(nèi)存在唯一零點的是()

A./(X)=X2_2X-8B./(x)=(x+l)^-2

C./(x)=2'-1-lD./(x)=l-ln(x+2)

易錯點06:二次函數(shù)的零點分布問題討論不全

易錯陷阱與避錯攻略

典例3.(23-24高三上?江西贛州?階段練習)函數(shù)〃幻=/-2心+9的兩個不同的零點均大于1的一個充

分不必要條件是()

A.me(2,5)B.me(3,5)

C.me(3,4)D.me(3,+oo)

【答案】C

【分析】利用零點分布規(guī)律求出加的范圍，再利用充分不必要條件的定義求解即得.

A=4m2-36>0

【詳解】由函數(shù)〃尤)=/-2妙+9的兩個不同的零點均大于1,得”>1,解得3<加<5,

/(l)=10-2m>0

因此所求充分不必要條件是(3,5)的非空真子集，ABD不滿足，C滿足.

故選：C

【易錯剖析】

本題在根據(jù)根的分布列不等式組時，容易因為考慮不全面漏掉條件而出錯.

【避錯攻略】

一元二次方程根的分布問題是高中數(shù)學的重要知識點之一，很多涉及函數(shù)零點個數(shù)問題或方程根的個

數(shù)問題，經(jīng)過換元后都能轉(zhuǎn)化為根的分布問題求解，一元二次方程根的分布問題主要有以下類型：

1.一元二次方程根的0分布

方程的根相對于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零

大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè).

0分布結(jié)合判別式、韋達定理以及0處的函數(shù)值列不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍。

2.一元二次方程根的k分布

兩根都小于A即兩根都大于A即一根小于左，一大于A即

分布情況

x1<k,x2<kxx>k.x2>kX]<k<x2

y八y卜

<L

大致圖象(。>0)

)w*

A>0A>0

b7

得出的結(jié)論<-----<k-^>k

2a2a

八k)>0/⑻>0

*b

JJ

大致圖象(<2<0)0.

A>0A>0

b7

得出的結(jié)論-----<k-旦〉kf(k)>0

2a2a

/⑻<0/㈤<0

A>0A>0

綜合結(jié)論b.b7

?-----<k<----->ka-f(k)<0

（不討論Q）2a2a

a-0aJ(k)>Q

3.一元二次方程根在區(qū)間的分布

兩根僅有一根在（加,〃）內(nèi)（

一根在（私〃）內(nèi)，另一根在（"應(yīng)）

兩根都在）內(nèi)

分布情況圖象有兩種情況，只畫了

內(nèi)，m<n<p<q

一種）

yi

大致圖象（

\L\/

Q>0）一

\Jr

\m/n

1mnx）m\np/qx

A>0/(w)>0

/(加)〉o〃")<°或,7(機)/(〃)<o

?

得出的結(jié)論〃p)<o

b

m<-----<n/⑷>0