河南省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

河南省鄭州中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:..姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知集合4=3*<3},3={-1,0,1,2,3},則AB=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-(l+2i)|=0,其中i是虛數(shù)單位，則|z|=()

A.5B.75C.1D.2

3.已知向量滿足卜+司=2技a_L(〃一2Z?),且0=(1,1),則向=()

A.若B.2C.75D.3

4.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為拋物線石:無(wú)2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，A為右上的一點(diǎn)，川垂直

于y軸，3為y軸上一點(diǎn)，且2849=90°,若恒到=46，則夕二()

A.上B.2百C.46D.873

5.已知銳角。滿足3sina+4cosa=4,貝ijtan^=()

45

A.BD.

3-1口12

6.己知/(x)=/[#osx+sinx,則曲線y=/(無(wú))在彳=0處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的

面積為()

A,上拽B,…C.1D.2

222

7.若(iMEx)。=4+O](1+%)+a,(1+x)2++%(1+尤,(qeR,i=0,1,2?)，則％=()

A.180B.-180C.-90D.90

8.中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形

式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCZ)為矩形，EF//AB,

AB=2EF=2,VADE與VBC歹都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)A,B,C,D,E,尸都

在球。的球面上，則球。的表面積為()

EF

二、多選題

9.比較兩組測(cè)量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，常使用離散系數(shù)，其定義為：離散系數(shù)

=嵯普?某地區(qū)進(jìn)行調(diào)研考試，共40000名學(xué)生參考，測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從正

均值

態(tài)分布，且平均分為57.4,離散系數(shù)為0.36,則下列說(shuō)法正確是（）

（附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N3b2）,p（|z-4<b）。0.68.）

A.學(xué)生考試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為57.4x0.36=20.664

B.學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（57.4,0.362）

C.約有20000名學(xué)生的成績(jī)低于58分

D.全體學(xué)生成績(jī)的第84百分位數(shù)約為78

10.已知函數(shù)〃司=*3—|3尤2一,一根，貝U（）

A.“X）只有1個(gè)極小值點(diǎn)

B.曲線y=在點(diǎn)（3,”3））處的切線斜率為9

C.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，加的取值范圍為（-3,1）

D.當(dāng)只有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，機(jī)的取值范圍為（e,-3）

11.如果定義在R上的函數(shù)/（x）,對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)4，%,都有

占了（占）+3（尤2）>占"％）+々/（占），則稱函數(shù)f（x）為“”函數(shù)”，下列函數(shù)是'H函數(shù)”的有（）

A.y=ew+1B.y=3%+2(sinx-cosx)

Inx,x>0

C.y=d—3x?+3x+3

x,x<0

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、填空題

12.已知直線/：y-l=Mx—l)被圓C:(x-2y+(y-2)2=/(r>0)截得的最短弦長(zhǎng)為2萬(wàn),

則—.

13.在某次國(guó)際商貿(mào)交流會(huì)展期間，舉辦城市為了提升安保級(jí)別，在平時(shí)正常安保的基礎(chǔ)上

再將甲、乙等6名特警人員分配到展區(qū)附近的4個(gè)不同的路口進(jìn)行執(zhí)勤，若每個(gè)特警只能分

配去1個(gè)路口且每個(gè)路口至少安排1名特警，則甲和乙不安排在同一個(gè)路口執(zhí)勤的概率

是.

14.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想

涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅(jiān)之路趣稱為：“各大行長(zhǎng)躲在銀行保

險(xiǎn)柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤(pán)蓄勢(shì)待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無(wú)窮級(jí)數(shù)

co1111111

==-+-+-+,我們經(jīng)常從無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和+二入手.已

1231213n

知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且滿足=』q,H］，則—+—+—=_____(其

21a?JSS,

中國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)).

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知c-a=l,b=而,內(nèi)角A，B,

C成等差數(shù)列.

(1)求a的值及VA3C的面積；

⑵求tan(2A+3)的值.

16.已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，S?=2a?+1-3.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=(〃+1)%,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和1；

n2+rj

(3)若=二，求使％取得最大值時(shí)的〃的值.

a”

17.如圖，在三棱柱ABC-ABG中，ABLAC,AB=y[3AC=3,AD=2DB,。為BC的中

點(diǎn)，A。，平面ABC.

(2)若的=26，求二面角B-抽-。的余弦值.

22

18.已知橢圓E:「+當(dāng)=l(a>b>0),兩焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正三角形.

ab

(1)求橢圓方程；

(2)設(shè)直線乙：y=履+機(jī)與橢圓E相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)尸，不過(guò)原點(diǎn)0且平行于<的直線4

與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C.記直線O尸的斜率為《，

直線3c的斜率為內(nèi).

①求口的值；

k2

②若。，P,B,C四點(diǎn)圍成的四邊形為平行四邊形，求》幽的值.

19.設(shè)函數(shù)［(數(shù)(其中。是非零常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底),記力(X)"：T(X)

(〃22,aeN*).

(1)求對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有力(X)=(X)成立的最小整數(shù)〃的值22,"eN*)；

(2)設(shè)函數(shù)g〃(x)=^(x)+力(x)++f?(x),若對(duì)任意“23,"eN*,y=g”(x)都存在極值點(diǎn)

x=tn,求證：點(diǎn)4日名“(/僅23,〃—*)在一定直線上，并求出該直線方程；

⑶是否存在正整數(shù)?%22)和實(shí)數(shù)%,使力(%)=力T(5)=0且對(duì)于任意“eN*,，(x)至多

有一個(gè)極值點(diǎn)，若存在，求出所有滿足條件的％和%,若不存在，說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《河南省鄭州中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CBDBBAADACDBCD

題號(hào)11

答案BC

1.C

【分析】先求得集合4=k1-退<》<6),再根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算即可求解.

【詳解】A={.x|X2<3}=|X|-A/3<X<A/3],B={-1,0,1,2,3},.'.AB={-1,0,1}.

故選：C.

2.B

【分析】求出復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得目的值.

【詳解】因?yàn)閨z-(l+2i)|=0,貝|z=l+2i,故忖=々+為=6

故選：B.

3.D

【分析】由題意可得/=2a.b，b=2,又卜+*26，可得/+2。力+/=20，可求用

【詳解】因?yàn)樗浴?,一26)=0,所以]_20g=0,所以/=2。g，

又因?yàn)椴?0=26,所以5+2°乃+62=20,又6=(1,1),所以片=1+1=2，

所以2了+2=20,所以5=9,所以"=3.

故選：D.

4.B

【分析】利用數(shù)形結(jié)合，通過(guò)三角形相似找到|A殲=|。尸|忸口的關(guān)系，建立關(guān)于P的等式，

進(jìn)行求解.

【詳解】根據(jù)題意作下圖：

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

二NOAF+/BAF=90。,

AF垂直于y軸，

.\ZAFO=ZBFA=90°,

,\ZAOF-hZOAF=90°f

ZBAF=ZAOF,

/.AFO^BFA,

.AFOF

*BF-AF

.-.\AFf=\OF\\BF\,

又\OF\=j,\AF\=p,

p1=—X4A/3,

2

解得p=2A/3,

故選：B.

5.B

【分析】整理齊次式方程，利用同角平方式整理方程，根據(jù)二倍角公式，結(jié)合角的取值范圍，

可得答案.

【詳解】由3sini+4cos1=4,則(3sina+4c°sa)=42,

sin2a+cos2a

—r不日9tan2a+24tana+16,,

可得--------.----------二16，

tana+1

24

化簡(jiǎn)可得7tan21—24tana=0,由角。為銳角，貝ljtana=~y,

_a

2tan—

由tan<z=--------,整理可得12tan?一■i-7tan----12=0,

1-tan2^22

2

分解因式可得(3ta吟+41"吟-31=0,

由角多為銳角，解得tan￡=j

故選：B.

6.A

【分析】首先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合賦值法求解原函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，求出切線

和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，最后得到三角形面積即可.

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】因?yàn)?(x)=/14[osx+sinx,所以/'(x)=-/[^|Jsinx+cosx,

令x=，得到嗚=-廣即嗚+吟，

化簡(jiǎn)得((1)=一/怎卜母+g，解得:二)=2-《，

代入回原函數(shù)得到/⑺=(2-6)cosx+sinx,

而〃0)=2-6，故切點(diǎn)為(0,2-6)，

而/'0)=—(2_6)$111尤+(：0$彳，/(0)=1,

設(shè)曲線y=/(x)在x=o處的切線斜率為左,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得k=/'(0)=1,

故切線方程為y-(2-6)=x,化簡(jiǎn)得y=x+2-6,

令x=0,得至Uy=2-石，所以與了軸交點(diǎn)為(0,2-6),

令丫=0,得到了=若-2,所以與x軸交點(diǎn)為(6-2,0),

且設(shè)三角形面積為S,故S=；x|2-百卜|道-2卜上羋，故A正確.

故選：A

7.A

【分析】由(l+2x由=[2(l+x)-l/寫(xiě)出其通項(xiàng)公式,依題意對(duì)「賦值即可求得出.

【詳解】因(1+2姆°=[2(1+幻—1產(chǎn),其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：

10rrr10r

Tr+1=C；0[2(l+x)]-(-D=(-D2-C；0(l+x)g,r=0,1,,10,

而々是電(1+勸2的系數(shù)，故只需取r=8,得4=22C：°(1+X)2=180(1+X)2,

即日=180.

故選：A.

8.D

【分析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面A3CD,根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得

，尸。且=正，分類討論當(dāng)。在線段qv上和。在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)2種情

2

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

況，結(jié)合球的性質(zhì)和表面積公式計(jì)算即可求解.

【詳解】如圖，連接AC,BD,設(shè)=

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為矩形，所以。?為矩形A8CD外接圓的圓心.連接。。一

則。。，平面A8C。，分別取ERAD,BC的中點(diǎn)M,P,Q,

根據(jù)幾何體ABCDEF的對(duì)稱性可知，直線。。1交EF于點(diǎn)M.

連接尸。，則PQ〃AB,且。?為尸。的中點(diǎn)，因?yàn)闅v〃相，所以PQ〃EF,

連接EP,FQ,在VADE與V3c尸中，易知EP=FQ=RO

_走

所以梯形EFQP為等腰梯形，所以且=

一2

設(shè)。。1=根，球。的半徑為R,連接OE,OA,

當(dāng)0在線段。1加上時(shí)，由球的性質(zhì)可知R2=OE2=OA2,

當(dāng)。在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，由球的性質(zhì)可知，

2

—+m=[—+fn\+W,解得加=出，所以R2=OE2=U,

I2J〔21048

所以球。的表面積5=4成、可,

故選：D.

【點(diǎn)睛】求解外接球問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)一是球心到球

面上各點(diǎn)的距離都等于球的半徑，二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.由此出發(fā)，利

用一些特殊模型，或借助一般方法，即可確定外接球球心的位置.

9.ACD

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】對(duì)于A,根據(jù)離散系數(shù)=考群求出標(biāo)準(zhǔn)差；對(duì)于B,根據(jù)正態(tài)分布公式N（M，/）

判斷B；對(duì)于C,求出低于58分概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)，得到低于58分人數(shù)，判斷C；對(duì)于D,

利用正態(tài)分布曲線性質(zhì)和百分位數(shù)的定義判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)離散系數(shù)一獸

，平均分為57.4,離散系數(shù)為0.36,可得標(biāo)準(zhǔn)差

為57.4x0.36=20.664,故A正確;

對(duì)于B,測(cè)試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，則學(xué)生考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布

N（57.4,20.664?）,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,平均分為57.4,所以成績(jī)低于58分得概率約為0.5,所以約有40000x0.5=20000名

學(xué)生的成績(jī)低于58分，故C正確；

對(duì)于D,又因?yàn)?4%=0.5+等，且尸（|Z-4<b）a0.68,所以全體學(xué)生成績(jī)的第84百分

位數(shù)約為〃+。=57.4+20.664它78,故D正確；

故選：ACD.

10.BCD

【分析】分xNl或x<—l、一1<%<1兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出

函數(shù)的極值點(diǎn)，即可判斷A、B,根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到不等式組，即可判斷C、D.

【詳解】因?yàn)椤?*3—|3尤2—3|一加，

當(dāng)xNl或xV-l時(shí)/(x)=x3-3x2+3-m,貝！|/'(%)=3/-6x=3x(x-2),

所以當(dāng)尤>2或xV—1時(shí)［(x)>0,當(dāng)K2時(shí)尸(%)<0,

所以在（—,-1］，（2,+8）上單調(diào)遞增，在［1,2）上單調(diào)遞減；

當(dāng)-1<x<10^/（^）=x3+3x2-3-m,貝！J/'（x）=3爐+6x=3x（x+2）,

所以當(dāng)0<x<l時(shí)尸（力>0,當(dāng)一l<x<0時(shí)尸（無(wú)）<0,

所以/（元）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（-1,0）上單調(diào)遞減；

則/（X）在尤=0、x=2處取得極小值，故/（X）有2個(gè)極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?'（3）=3x32-6x3=9,所以曲線y=〃x）在點(diǎn)（3,/（3））處的切線斜率為9,故8正確；

令4（彳）=尤3_13尤2_3，

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

則g（x）的圖象如下所示:

其中“X）的圖象是由g（X）的圖象向下（相＞0）或向上（加＜。）平移帆個(gè)單位得到；

因?yàn)椤?1）=一1一加，/（0）=-3-m,/（l）=l-m,f（2）=-l-m,

要使有3個(gè)零點(diǎn),則懦；：或盜）：；或4-1）=/（9=。，

fl-m＞0f-1—m＞0,

即＜1八或＜c八或一1一機(jī)=0,解得Tv根V1或一3＜相＜一1或加二一1,

綜上可得機(jī)的取值范圍為（-3,1）,故C正確；

要使“X）只有1個(gè)零點(diǎn)，則/⑴＜?；颉?。）＞0,即1-根＜0或—3-〃＞0,

解得力＞1或〃/＜-3,即，”的取值范圍為（TO,-3）（1,+℃）,故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，從而畫(huà)出g（元）=爐一|3爐-3|

的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

11.BC

【分析】新定義變形為函數(shù)是增函數(shù)，因此只要確定函數(shù)是不是增函數(shù)即可得.

【詳解】因?yàn)閲?guó)/（為）+々/（%）＞為/。2）+尤2〃再），所以（王一々）［/（%）一/（/）］＞0,

即%＞馬時(shí)，/（為）＞/（＞2）恒成立，因此/■（X）是增函數(shù)，

/。）=朋+1時(shí)，/（-；0=/才+1=朋+1=/。）為偶函數(shù)，在定義域內(nèi)不可能是增函數(shù)，A

不滿足新定義；

/（x）=3x+2（sinx-cosx）,貝ij/'（x）=3+2（cos尤+sinx）=3+20sin（x+工）＞0恒成立，所以

4

/（x）是R上的增函數(shù)，滿足新定義；

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

/(X)=X3-3X2+3X+3,r。)=3/一6》+3=3。-1)220恒成立，/(尤)是R上的增函數(shù)，滿

足新定乂;

Inx,x>01

〃無(wú))=時(shí)，=/(X)不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，不滿足新定義.

x9x<0e

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，通過(guò)變形新定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性,

然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)或單調(diào)性定義確定函數(shù)在定義域內(nèi)是否為增函數(shù)即可得.

12.2

【分析】根據(jù)定點(diǎn)及兩點(diǎn)間距離公式得出圓心到直線距離的最大值，進(jìn)而結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式,

得到弦長(zhǎng)lmD=2G一篇,計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意，圓C：(x-2)2+(y-2)2=r2&>0),可得圓心C(2,2),半徑r,

/:y—l=Mx—l)過(guò)定點(diǎn)(1,1)

則圓心到直線/：y—1=Mx-1)的距離為％=J(l-2)2+(l-2)2=72,

可得截得弦長(zhǎng)為/*=2J產(chǎn)-41ax2=2A/產(chǎn)-2=20,

弦長(zhǎng)取得最小值2亞時(shí)，r=2.

故答案為：2.

3H

【分析】根據(jù)給定條件，利用分組分配求出試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，再求出甲乙安排在同一路

口的事件含有的基本事件數(shù)，然后用對(duì)立事件概率公式計(jì)算即得.

【詳解】6名特警分配到展區(qū)附近的4個(gè)不同的路口進(jìn)行執(zhí)勤，不同安排方法數(shù)為

c2c2

A?

甲乙安排在同一路口，視甲乙為一個(gè)人，5個(gè)人安排到4個(gè)路口的安排數(shù)為C；A：,

C；A；_io_2_

因此甲和乙安排在同一個(gè)路口執(zhí)勤的概率是??或\44-65-13,

A；

211

所以甲和乙不安排在同一個(gè)路口執(zhí)勤的概率是1-石=彩.

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

故答案為：—

14.38

【分析】根據(jù)已知結(jié)合前九項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系，可得｛。｝為等差數(shù)列，進(jìn)而求出S〃=〃，再

利用—五）〈方，以及當(dāng)〃>1時(shí)，為<2（五一標(biāo)斤），求出1+（+…+一一的

八〃八〃）400

范圍，

即可求出結(jié)論.

1（1>1

【詳解】當(dāng)力=1時(shí)，?i=^=—%+—,%=—,fl,2=1,Va?>0,/.a=S=l,

21aJ%il

當(dāng)〃22時(shí)，an=S?-S“_],2S"=S“-S,i+<,,S“+S,-=1,,

，〃一?〃一

???S；-S；T=1,???同｝是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，???S；二〃，

*/an>0,：.Sn>0,：.S,=冊(cè)，2（八+'—&）=不^+@<~^~,即^>2（,幾+1-6）,

22___]

又〃>]時(shí)，yzr<_7=—]——<2（6i-Jn-l）,即不<2（冊(cè)_Jv-l）,

令S=—+—++-----,

51“丁°20"m40e0

[(7401-7400)+(^/400-V399)++(A/2-lj]=2(A/401-1)>38,

2[(7400-7399)+(^99-V398)++(V2-1)]+1=2(^/400-l)+l=39,

即38<S<39,從而網(wǎng)=38.

故答案為：38

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查數(shù)列的前，項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系、數(shù)列前

〃項(xiàng)和的范圍，構(gòu)造新的等差數(shù)列｛0｝以及用放縮法求數(shù)列和是解題的關(guān)鍵，注意常見(jiàn)的裂

項(xiàng)相消法求和的模型.

15.⑴。=4；5^/3；

7T

【分析】（1）由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得8=',利用余弦定理即可出

a的值，再由三角形面積公式即可求解；

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

（2）利用正弦定理求出sinA=2且，根據(jù)同角三角函數(shù)的商關(guān)系求出tanA,然后根據(jù)二

7

倍角公式即可得出tan2A,最后根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

【詳解】（1）由角A,B,C成等差數(shù)列，可得23=A+C,

JT

結(jié)合三角形內(nèi)角和定理A+C+5=TI,可得5

由余弦定理=〃2+02-2QCCOS3,代入已知條件得：

21=+（。+1）2_+］）,化簡(jiǎn)得，々2+4—20=0

解得。=4,或〃=—5（舍去），所以。=4,

又因?yàn)閏—a=l,所以。=〃+1=5,

由三角形面積公式S=-acsinB,得：S=-x4x5x—=5^.

222

73

ab4A

（2）利用正弦定理,可得.asinBXT”,

sinAsinBsmA=--------

b~42T~~

。=4<01=6，貝I角A為銳角,

所以cosA=Vl-sin2A=

7

4#)

2手2x空

.sinA72^/32A=3

所以tanA=--=tan、2

cosA1213(26

1-3

7I3J

故ta3)=＞蒜%3不

IT-

⑵7；=3+2(〃一1)

（3）〃=4或〃=5

3

【分析】（1）根據(jù)為3”的關(guān)系，作差可得」包=不，即可根據(jù)等比數(shù)列的定義求解;

an」

（2）由（1）求得勿+利用錯(cuò)位相減法可求T,；

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

c2(n+l)(、

(3)根據(jù)工可得〃<5；從而判斷%的單調(diào)性，即可求解.

*3(1)

【詳解】(1)因?yàn)閥=2%-3且岳=4=；3,所以%=不9

由S“=2a,「3,可得：S^=2an-3(n>2),

兩式相減得：a“=Sn-S,i=2an+1-2a,,

因?yàn)閍,*。，所以-2±I=-|,

an,

&3,、，a.3

又j=不，綜上，n>l,--n-x=~,

ax2an2

a

所以｛%｝是首項(xiàng)和公比均為］的等比數(shù)列.

.?-i(3丫

..%=qxq=1-1.

3

(2)由題意,2=(〃+1)

+3x0+4x0+…+(“+1)x0①

%=2x圖+3x0+4x]|[+…+(“+1)x0②

①-②得

3

---F

2

n+l

?”=3+2("l)圖

(3)由(1)可得，所以％=n2+n)，

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

由C"_2(,/+〃2(/7+1)

〃22時(shí),>1可得〃<5；

C"T3("2-〃3(77-1)

當(dāng)“<5時(shí)，c1<c2<c3<c4,當(dāng)〃>5時(shí)，c5>c6>c7>?■?,

當(dāng)”=4時(shí),

當(dāng)〃=5時(shí)，c5H（5?+5）=言,

所以。4=。5，

所以9<C2<°3<,4=。5>。6>C7>…，

綜上，w=4或〃=5時(shí)，c,取得最大值3浣20.

81

17.⑴證明見(jiàn)解析;

⑵丁

【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得49,OD,再利用線

面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

（2）由（1）的信息以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即可.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-agCi中，AB1AC,AB=43AC=3,則

ZACB=60°,OA=-BC=43,

2

由AB=3,AD=2r>B,得DB=1,在-D3O中，NDBO=30°,DB=1,OB=6,

22

由余弦定理。。2=0+（石）2-2xlx6xcos30°=l,得。0=1,O^+OD^4=AD,

于是AO_LOD,由A。，平面ABC。。u平面ABC,得其。，。。，

而4。4。=。,40,4。<=平面4。4，因此ODL平面4。4，又Mu平面A04，

所以A4,，。。，

（2）由（1）知，。4,one4兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，直線O4ODOA分別為x，y，z軸建立

空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

由A4,=26,40=6，得4。=3,則4石,0,0），4（0,0,3），2（-#,|，0），

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

于是網(wǎng)=(￥，-”例=差,-|,0),設(shè)m=(x,y,z)為平面AB4的一個(gè)法向量，

-x--y+3z=0

則22,取了=若，得狒=(g,3,l),顯然“=(0,1,0)為平面AOA1的一個(gè)法向

363n

-----x——y=0

I22，

量，

因此cos<m,n>==提=*,顯然二面角B-AA.-0的大小為銳角，

17nllmvl313

所以二面角人胡-。的余弦值為嚕.

Y2y2

18.(1)—+^=1

43

⑵①，=1;②沁=;或1

423PAB$

【分析】(1)根據(jù)已知條件確定。、。，即可求解

(2)①根據(jù)直線4與橢圓E相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)尸，求出尤，再根據(jù)設(shè)出4的方

程，表示出3、C的坐標(biāo)，得到BC的斜率心，由此可求F；②根據(jù)已知條件與平行關(guān)系確

定導(dǎo)姐=什=黑='^,由平行四邊形確定4/“2=(僅2+3)\再結(jié)合病=止+3,

SPABS0ABQNm-n'>

得加=±2〃，分兩種情況求解即可.

【詳解】(1)由題意a=2c=2,從而a=2,c=l,b=^3

22

所以橢圓方程為三+匕=1.

43

(2)

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

y=kx+m

①由，2y2消y得（4嚴(yán)+3）x2+8Amx+4m2-12=0

（*）,

-----1-----=1

143

由△=（8k〃）2-4（4產(chǎn)+3）（4m2-12）=0,得病=必2+3,

此時(shí)方程（*）可化為：m2x2+8knvc+16k2=0,

AL-

解得：工=---（由條件可知：k,相異號(hào)）,

m

設(shè)尸（無(wú),%）,貝—竺，y=kx+m=k-m2-4k23

lj/=00+m=-----=—

mmm

3

即《■世33

—I，所以a=逢

（mm7k

m

因?yàn)椤ā?，所以可設(shè)直線4：y=履+〃（〃。0,〃。相），

y=kx+n

2

由<X2y消>得（4左2+3）了2+8^^+4〃2—12=0,

[43

當(dāng)A>。時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

設(shè)A（x”X），3仇，％）,則%+%=43'*2=

因?yàn)锳,C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以C（-x”-M）,所以，

_y+y_kx+n+kx+n_j2n_2n_4Z:2

K2x2x{z=7+3_3

K.j———Ki-KI0/K—?

x

x2+xr/+玉%2+i-4k4k，

-一-4k2+3

k

所以尤=左2n廣=1.

k2

②設(shè)直線4與y軸交于點(diǎn)Q,直線，2與》軸交于點(diǎn)N,則=

qqON_幾

「日QOA3_QOAB

―一

°PAB°QABQNm-n

由①可知：OP//BC,若O,P,B,C四點(diǎn)圍成的四邊形為平行四邊形,

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

則還需IOPRBCI,即I。尸[2=|BC|2,

16F+9

由①可知:-1,所以|。尸「=

m)11

又3(無(wú)2,%)，。(-玉,-％)，

4》(16汰2+9)

所以iBc|2=a+%)2-8kn

止+3

由|OP|2=|BC\2可得：4m2n2=(4r+3『，

又〃?2=4及2+3,所以加2=41,gpm=±2n,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去飛或》),

建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件，

建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，

強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，

重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題.

19.(1)5；

⑵證明見(jiàn)解析，y=2x；

2

(3)存在％=3,a=—滿足條件.

e

【分析】(1)按照給定定義，依次求導(dǎo)，再觀察規(guī)律即可判斷作答.

(2)由(1)求出函數(shù)g.(x),求出g.(x)的導(dǎo)數(shù)，再利用已知結(jié)合極值點(diǎn)的意義推理作答.

(3)由(1)結(jié)合已知，確定人=3或左=2,再分類討論極值點(diǎn)的情況作答.