2025年河南省中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題：證明和猜想練習(xí)

2025年河南省中考數(shù)學(xué)九年級二輪復(fù)習(xí)壓軸題：探究與猜想練習(xí)1．【模型建立】（1）如圖1，在等邊中，點(diǎn)、分別在、邊上，，求證：；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，則的值為_________；【模型拓展】（3）如圖3，在鈍角中，，點(diǎn)、分別在、邊上，，若，，求的長．

2．【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，連結(jié)，E為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，求證：．【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，在平行四邊形中，對角線交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，求的長．【拓展提升】(3)如圖3，在菱形中，對角線交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，，求菱形的邊長．3．【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)在線段上，，求證：平分；【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，，點(diǎn)在上，，若，，，求的長．

4．【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第63頁“實(shí)驗(yàn)與探究”問題1如下：如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個頂點(diǎn)，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的.想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數(shù)學(xué)興趣小組對上面的問題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)落在線段上，（為常數(shù)）．

【特例證明】（1）如圖1，將的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，兩直角邊分別與邊，相交于點(diǎn)，.①填空：______；②求證：．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明；也可過點(diǎn)分別作，的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的沿方向平移，判斷與的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示），并說明理由．【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，點(diǎn)在邊上，，延長交邊于點(diǎn)，若，求的值．5．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)完四邊形后進(jìn)行了如下探究，已知四邊形為矩形，請你幫助他們解決下列問題：(1)【初步嘗試】：他們將矩形的頂點(diǎn)、分別在如圖（1）所示的的邊、上，頂點(diǎn)、恰好落在的對角線上，求證：；(2)【深入探究】：如圖2，若為菱形，，若，求的值；(3)【拓展延伸】：如圖（3），若為矩形，；且，請直接寫出此時的值是________（用含有，的代數(shù)式表示）．6．【問題背景】已知D、E分別是的邊和邊上的點(diǎn)，且，則，把繞著點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接和.如圖2，找出圖中的另外一組相似三角形__________；并加以證明．【遷移應(yīng)用】如圖3，在中，，，，D、E、M分別是、、中點(diǎn)，連接．①如圖4，把繞著點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中直接寫出線段CE和BD始終存在的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系：__________、__________；②把繞著點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖5所在的位置，連接和，取中點(diǎn)N，連接，若，求的長．【創(chuàng)新應(yīng)用】如圖6：，，是直角三角形，，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，F(xiàn)是上一點(diǎn)，，連接，請直接寫出的取值范圍．7．在矩形中，點(diǎn)E為射線上一動點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊上時，將沿翻折，使點(diǎn)B恰好落在對角線上點(diǎn)F處，交于點(diǎn)G．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)，且時，求的長．(2)在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'，當(dāng)點(diǎn)E，，D三點(diǎn)共線時，求的長．8．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，和均為正三角形，B、D、E三點(diǎn)共線．猜想線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；；【類比探究】（2）如圖2所示，和均為等腰直角三角形，，，，B、D、E三點(diǎn)共線，線段、交于點(diǎn)F．此時，線段，之間的數(shù)量關(guān)系是什么？請寫出證明過程并求出的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3所示，在中，，，，為的中位線，將繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時，請直接寫出的長．9．在中，，，D為邊上一動點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），在直線上方作，使得．(1)如圖1，在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，與始終保持相似關(guān)系，請說明理由；(2)如圖2，若，M為中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在射線上時，求的長；(3)如圖3，設(shè)的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)D從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．10．如圖（1），在矩形中，．(1)____；(2)若點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時，求的長；(3)如圖（2），點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，則：①=_____；②如圖（3）分別以為邊作矩形，若，求的長．11．如圖1，在矩形中，E為延長線上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)F，．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，G為上一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)O，連接．若，且，求的長．12．【模型建立】：如圖1，在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．（1）小宋的探究思路如下：延長到點(diǎn)G，使，連接，先證明，再證明．之間的數(shù)量關(guān)系為______．若，則______．【模型應(yīng)用】：（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)F為中點(diǎn)，，求的長．【拓展提升】：（3）通過對圖2的分析，小宋同學(xué)在深入思考后，他發(fā)現(xiàn)一個很有意思的結(jié)論，若，且，則______．（用含a、b的代數(shù)式表示）13．在中，，，點(diǎn)E在內(nèi)部，以為斜邊作等腰直角三角形，使得點(diǎn)D，E在AC的異側(cè)，連接交于點(diǎn)M，點(diǎn)G在上，且滿足．(1)如圖1，求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)時，連接，如圖2，求的值；(3)連接，延長交于點(diǎn)F，如圖3，求證：點(diǎn)F是的中點(diǎn)．14．【原題呈現(xiàn)】如圖1，在等邊中，D、E是、上的點(diǎn)，且，求度數(shù)．解答過程：在等邊中，，又，【操作探究】如圖2，將繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，連接交于點(diǎn)O，求證：【深入思考】如圖3，延長交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P恰好是的中點(diǎn)．①請直接寫出；②若，求的長．15．【探究】如圖①，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，交邊于點(diǎn)F．若，，求的值；【應(yīng)用】（1）如圖②，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)D．若，則的值為；（2）如圖③，在，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)F，若，則的值為．16．如圖，中，，點(diǎn)D是射線上的動點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的動點(diǎn)，連接，將沿翻折到所在平面得，點(diǎn)F恰好落在直線上．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，若，求長；(2)如圖2，當(dāng)時，求的值；(3)如圖3，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)M，當(dāng)最小時，求的值．17．實(shí)踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，，，，分別為邊上的點(diǎn)，，且，則______；②如圖2，將①中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，則所在直線較小夾角的度數(shù)為______．【探究實(shí)踐】（2）如圖3，矩形，，，為邊上的動點(diǎn)，為邊上的動點(diǎn)，，連接，作于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拈L度最小時，求的長．【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，，，，，為中點(diǎn)，連接，分別為線段上的動點(diǎn)，且，請直接寫出的最小值．18．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的直角邊在軸的正半軸上，且，，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)．(1)若動點(diǎn)在的平分線上時，求此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，以為折痕，在平面內(nèi)將折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)時，求折痕的長；(3)如圖3，若為線段上一點(diǎn)，且，連接，將線段繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段，連接，直接寫出周長的最小值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)．19．已知，如圖①，四邊形是矩形，對角線相交于點(diǎn)O，．(1)【問題解決】在圖①中，根據(jù)給出的條件，直接寫出一條未知線段的長度或一個角的大小；(2)【問題探究】如圖②，在矩形中，點(diǎn)P是對角線上的一個動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，連接，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中試探究的大小，并寫出證明過程；(3)【拓展延伸】如圖③，在矩形中，點(diǎn)P是對角線上的一個動點(diǎn)，連接，在的左下方作，使，，在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，猜想點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑并求出它的長度．20．如圖1，在四邊形中，，對角線、交于點(diǎn)，已知，且．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．①證明：；②若，，求的值．參考答案1．（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：2；（3）解：在上截取，連接，如圖3，

∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得（舍去）或，∴．2．（1）證明：∵，（2）解：∵四邊形是平行四邊形，設(shè)，則（舍），設(shè)，則，（舍去），（3）解：如圖，延長，交于點(diǎn)，設(shè)則∵四邊形是菱形，即在中，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴(舍去)，∴，即菱形的邊長為3．（1）證明：∵為的角平分線∴∵，∴∴∴∴平分（2）證明：∵∴∵∴∴，由（1）可知：∴∴（3）解：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接

∵平分∴∵∴∴∵∴∵∴∴∵∴∵,∴∴∵∴解得：∴4．解：（1）①由正方形的性質(zhì)可知：，∵將的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，故答案為：1；②證明：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，即，∴，∴．（2），理由如下：過點(diǎn)作交于，

∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，，即，∴，∴．（3）過點(diǎn)作交于，作于，作于，

則，∴，即，∴，由（2）和已知條件可得：，，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，同理可得：，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，令，則，，，∴，∴．5．（1）證明：∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴；（2）解：如圖（2），連接，交于，由（1）可知，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵矩形，∴，∵為菱形，，∴，，，，∴，，∴，如圖（2）作于，∴，∴，∴，故答案為：；（3）解：∵為矩形，；，由勾股定理得，，如圖（3），連接，作于，同理（2）可知，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，故答案為：．6．解：【問題背景】如圖，，,又，．故答案為：．【遷移應(yīng)用】如圖，在中，,，，又，．如圖，延長與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，又，，，，又，，，即，．故答案為：；．如圖，連接，，，又，，，∴，又∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，；【創(chuàng)新應(yīng)用】如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，連接，，，，又，，，，即，．7．（1）解：①∵四邊形是矩形，，，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，是等邊三角形，，；②由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，∵四邊形是矩形，，，，，，，，，，解得：或（舍去），即的長為（2）當(dāng)點(diǎn)E，，D三點(diǎn)共線時，分兩種情況：i如圖3：由②可知，，∵四邊形是矩形，，，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，；ii如圖4：由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，綜上所述，的長為或．8．（1）和均為正三角形，，，，，，即，在和中，，，，，B、D、E三點(diǎn)共線，，，，綜上所述，線段、之間的數(shù)量關(guān)系是，；故答案為：，．（2），；和均為等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，又，，，，，，，，；（3）的長為或．理由如下：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)在內(nèi)部時，，，，，，未旋轉(zhuǎn)前，為的中位線，，，，，圖1中，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，解得或（舍去），；②如圖2，當(dāng)在外部時，同①，得，則，，設(shè)，則，，在中，，解得或（舍去），，綜上所述，的長為或．9．（1）解：，，，，，，；（2）解：作于點(diǎn)，，，，且，，，M為中點(diǎn)，，，，解得，，，解得，，由（1）可知，，，，，，，，即，解得，，，解得．（3）解：取的中點(diǎn)，連接，的中點(diǎn)為P，，，，點(diǎn)在經(jīng)過中點(diǎn)，且垂直于的直線上運(yùn)動，，，，，在點(diǎn)D從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中，當(dāng)D與C重合時，P與N重合，當(dāng)D與B重合時，最大，線段的長，即為點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長，當(dāng)D與B重合時，，，，，點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長．10．（1）在矩形中，，，∴，，∴設(shè)，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，故答案是：8；（2）由（1）知，，在矩形中，，要使是等腰三角形，有三種情況討論如下：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，∵，∴，∴，∴；③當(dāng)時，如圖（2），過點(diǎn)D作于Q，則，∵，∴，∴，∴，∴；綜上，的值為4或5或；（3）①設(shè)，如圖（3），過P作交于N、M，則．∴，∴，∴，即∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴故答案是：；②如圖（3），連接，記與的交點(diǎn)為O，連接，∵四邊形和是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，在矩形中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．11．（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）可知，∴，∴，∴，即．

（3）解：連接，如圖所示：

∵，且，∴，，又∵，∴，∴，∵O為的中點(diǎn)，∴，∵，∴．由（2）可知：，則，設(shè)，則，在中，，即，解得：（負(fù)值舍去）．∴，，又∵，∴，∴在中，．12．解：（1）延長到點(diǎn)G，使，連接，∵在正方形中，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得：，即，故答案為：，；（2）如圖2，延長，至M、N，使四邊形是正方形，延長到點(diǎn)H，使，連接，延長交于P，連接，∵，點(diǎn)F為中點(diǎn)，∴，∴，設(shè)，則，由（1）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∵，∴，∴，即，∴；（3）如圖2作輔助線，∵，∴設(shè)，，∴，設(shè)，則，由（2）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∴，故答案為：．13．（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．圖1（2）設(shè)，在中，，∴．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，由（1）得，∴，∴，即，∴過點(diǎn)G作交BD于點(diǎn)N，∵，∴，∴，∴在中，．（3）法一：延長至點(diǎn)H，使得，連接，∵，∴，，∴，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，∴，由（1）得，∴，∴，又，∴，即點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)．法二：過點(diǎn)B作，延長交于點(diǎn)N，連接，∴，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∴，，∵，∴．設(shè)，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)．14．操作探究：延長至點(diǎn)G，使得，連接，如圖，且，是等邊三角形，，，又，，，在與中，，，；【深入思考】①由【操作探究】知，，∴，，∴，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，∴，∴，，；②連接，如圖，是等邊三角形，，由①知，，，由【操作探究】知，，，又，，，，，是的中點(diǎn)，，，，中，，中，，由①知，，，，，，，．15．〖探究〗解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，；〖應(yīng)用〗解：（1），設(shè)，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖，作于，設(shè)，，則，，，，由（1）知：，，設(shè)，，，，，由得，，，，，故答案為：．16．（1）解：∵，，∴，∴，∵折疊，∴垂直平分，又點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴；（2）∵，∴，∵折疊，∴，∵，∴，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則：，

∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴設(shè)，則：，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）過點(diǎn)作，

∵折疊，∴，，∴，∵，∴，即：當(dāng)時，，此時最小，過點(diǎn)作，則：，

∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，當(dāng)時，由（2）可知：，∴，∵，∴，∴．17．解：（1）①，，，故答案為：；②如圖，延長交于，令交于，由①可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，所在直線較小夾角的度數(shù)為，故答案為：；（2）延長，相交于點(diǎn)，連接．四邊形是矩形，，，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，，∵于點(diǎn)，∴在中，，∵在中，，且為定值，∴當(dāng)，三點(diǎn)共線時取得最小值，∵，∴，此時為等邊三角形，．（3）如圖，分別過點(diǎn)和作垂線，兩線相交于點(diǎn)，連接、、，則，，，，，為中點(diǎn)，，，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，