安徽省合肥市廬江縣湯池鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

安徽省合肥市廬江縣湯池鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期中測試卷（人教版）一．選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.使二次根式有意義的x的取值范圍是（）A B.C. D.2.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列運(yùn)算中，正確的是（）A. B. C. D.4.如圖，在中，，若，則正方形和正方形的面積和為（）A.150 B.200 C.225 D.無法計(jì)算5.如圖，在中，點(diǎn)在上，，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連結(jié)，若，，則為（）A.3 B.4 C.1 D.26.如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，．連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)．若，則線段的長為（）A. B.7 C. D.87.如圖，在中，，且分別是上的高，分別是的中點(diǎn)，若，則的長為（）A.10 B.12 C.13 D.148.在長方形ABCD中，，，連接AC，的角平分線交BC于點(diǎn)E，則線段BE的長為（）A. B. C.3 D.49.如圖，在中，D是上的一點(diǎn)，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，則的長是（）A.3 B.4 C.5 D.610.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”為．已知不同三點(diǎn)A，B，C滿足，下列四個(gè)結(jié)論中，不正確的結(jié)論是（）A.A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成銳角三角形B.A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成直角三角形C.A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成鈍角三角形D.A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成等腰三角形二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）11.小明做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)；；；；…；按此規(guī)律，若（a，b正整數(shù)），則___________．12.如圖，一根橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)（8,0），然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了_________cm.13.如圖，為平行四邊形對(duì)角線，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，直線交線段的延長線于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有______．14.圖1是鄰邊長為2和6的矩形，它由三個(gè)小正方形組成，將其剪拼成不重疊、無縫隙的大正方形（如圖2），則圖1中所標(biāo)注的的值為______；記圖1中小正方形的中心為點(diǎn)，，，圖2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，，．以大正方形的中心為圓心作圓，則當(dāng)點(diǎn)，，在圓內(nèi)或圓上時(shí)，圓的最小面積為______．三．解答題（共9小題，共9題，共90分）15.若x，y為實(shí)數(shù)，且，求的值．16.觀察下列各式：請你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：（1）=________；（2）請你按照上面每個(gè)等式反映規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：_____；（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：（仿照上式寫出過程）．17.如圖，四邊形是平行四邊形，平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)F，求證：．18.如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推送水平距離時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度，若秋干的繩索始終拉得很直，求繩索的長度．19.如圖，已知四邊形中，，，，，為邊上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿著邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求長；（2）若為直角三角形，求的值．20.在中，，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）證明四邊形是菱形．21.已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點(diǎn)，AH是高．求證：（1）；（2）．22.定義：我們把三角形某邊上高的長度與這邊中點(diǎn)到高的距離的比值稱為三角形某邊的“中偏度值”．（1）如圖，在中，，，，求中邊的“中偏度值”；（2）在中，，，邊上的高，求中邊的“中偏度值”．23.如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長度；（3）當(dāng)與正方形的某條邊的夾角是時(shí)，求的度數(shù)．

安徽省合肥市廬江縣湯池鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期中測試卷（人教版）一．選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.使二次根式有意義的x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，x＋3≥0，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．2.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了最簡二次根式的定義．直接利用最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，是最簡二次根式，故此選項(xiàng)正確；C、，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．3.下列運(yùn)算中，正確是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷便可．【詳解】解：A、不是同類二次根式不能合并，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是同類二次根式不能合并，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，選項(xiàng)正確；D、，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的四則運(yùn)算，熟記法則是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在中，，若，則正方形和正方形的面積和為（）A.150 B.200 C.225 D.無法計(jì)算【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，∵在中，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．5.如圖，在中，點(diǎn)在上，，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連結(jié)，若，，則為（）A.3 B.4 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，，，，，∴是的中位線，，故選：D．6.如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，．連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)．若，則線段的長為（）A. B.7 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得，求出，進(jìn)而證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可求出結(jié)論．【詳解】解：是的中位線，，，，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，，且分別是上的高，分別是的中點(diǎn)，若，則的長為（）A.10 B.12 C.13 D.14【答案】B【解析】【分析】連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖：連接，是的中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，，，在中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及勾股定理，作輔助線利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.在長方形ABCD中，，，連接AC，的角平分線交BC于點(diǎn)E，則線段BE的長為（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理求出斜邊，再利用角平分線的性質(zhì)求出，最后用等面積法列出方程，解方程即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F∵的角平分線交BC于點(diǎn)E，，∴∵∴∴∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，角平分線性質(zhì)及等面積法的應(yīng)用，作輔助線是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，D是上的一點(diǎn)，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，則的長是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．連接．由，F(xiàn)是的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出．再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得，即．【詳解】解：如圖，連接．∵，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴．在中，∵，E是的中點(diǎn)，，∴．故選：D．10.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”為．已知不同三點(diǎn)A，B，C滿足，下列四個(gè)結(jié)論中，不正確的結(jié)論是（）A.A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成銳角三角形B.A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成直角三角形C.A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成鈍角三角形D.A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成等腰三角形【答案】A【解析】【分析】不妨設(shè)，，，則，，，討論，的值即可判定．【詳解】解：不妨設(shè)，，，則，，，由，可知，即；A.當(dāng)時(shí)，無解，則不可能是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；B.當(dāng)，時(shí)，成立，此時(shí)為直角三角形，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，為鈍角，且成立，故C正確；D.當(dāng)，時(shí)，成立，此時(shí)為等腰三角形，故D正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了以命題的真假為載體，考查新定義，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，同時(shí)考查了學(xué)生的推理能力．二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）11.小明做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)；；；；…；按此規(guī)律，若（a，b為正整數(shù)），則___________．【答案】73【解析】【分析】找出一系列等式的規(guī)律為（n≥1的正整數(shù)），令n=8求出a與b的值，即可求得a+b的值．【詳解】解：根據(jù)題中的規(guī)律得：（n≥1的正整數(shù)），a=8，b=82+1=65，則a+b=8+65=73．故答案為：73．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字類規(guī)律，找出題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．12.如圖，一根橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)（8,0），然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了_________cm.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD-AB即為橡皮筋拉長的距離．【詳解】Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD==5（cm）；∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；故橡皮筋被拉長了2cm．

故答案是：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．13.如圖，為平行四邊形的對(duì)角線，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，直線交線段的延長線于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有______．【答案】②④##④②【解析】【分析】根據(jù)“”可證明，得到，，可對(duì)①進(jìn)行判斷；通過判斷為等腰直角三角形，得到，根據(jù)等角的余角相等得到，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，則，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；因?yàn)?，，由，推出，可?duì)③進(jìn)行判斷；接著由平行四邊形的性質(zhì)得，則，可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：在和中，，，，，，，故①錯(cuò)誤；，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，故②正確；，，，，故③錯(cuò)誤；，，，，，，，，故④正確；故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．14.圖1是鄰邊長為2和6的矩形，它由三個(gè)小正方形組成，將其剪拼成不重疊、無縫隙的大正方形（如圖2），則圖1中所標(biāo)注的的值為______；記圖1中小正方形的中心為點(diǎn)，，，圖2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，，．以大正方形的中心為圓心作圓，則當(dāng)點(diǎn)，，在圓內(nèi)或圓上時(shí)，圓的最小面積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）先求出剪拼后大正方形的面積，得到其邊長，再結(jié)合圖2，求出圖1中長方形的長邊除去長為d部分的線段后，剩下的線段長剛好為大正方形的邊長，最后用圖1中的長方形的長減去圖2中大正方形的邊長即可完成求解；（2）結(jié)合兩圖分別求出對(duì)應(yīng)線段長，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出O點(diǎn)到、、之間的距離即可確定最小圓的半徑，即可完成求解．【詳解】解：∵圖1是鄰邊長為2和6的矩形，它由三個(gè)小正方形組成，∴每個(gè)小正方形邊長為2，圖1和圖2中整個(gè)圖形的面積為，所以圖2中正方形的邊長,如下圖3所示；∴圖1中，；分別連接、、，并分別過點(diǎn)、、向大正方形的對(duì)邊作垂線，得到如圖所示輔助線，綜合兩圖可知，,,,O點(diǎn)到大正方形各邊距離為，∴，,∴;綜合兩圖可知：,,,∴,,∴；繼續(xù)綜合兩圖可知：,∴,∴,∵，∴距離O點(diǎn)最遠(yuǎn)，∴最小圓的半徑應(yīng)為，∴圓的面積為；故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和長方形的基礎(chǔ)知識(shí)、線段之間的和差關(guān)系、完全平方公式、勾股定理、圓的面積公式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解題意、讀懂圖形、找出兩個(gè)圖形之間的關(guān)聯(lián)、能靈活運(yùn)用勾股定理等公式求解線段的長等；本題要求學(xué)生對(duì)圖形具有一定的感知能力，有較強(qiáng)的計(jì)算能力等，該題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法．三．解答題（共9小題，共9題，共90分）15.若x，y為實(shí)數(shù)，且，求的值．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求得x的值，進(jìn)而得到y(tǒng)的值，代入求值即可．【詳解】解：依題意得：，則，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．16.觀察下列各式：請你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：（1）=________；（2）請你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：_____；（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：（仿照上式寫出過程）．【答案】（1）；（2）（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)求出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（3）原式先變形為，再根據(jù)得出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．【小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，數(shù)字的變化類等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知算式得出規(guī)律．17.如圖，四邊形是平行四邊形，平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)F，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，注意證得是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明，根據(jù)證明，即可得到．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴．∵平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)F，∴，∴，在和中，，∴，∴．18.如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推送水平距離時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度，若秋干的繩索始終拉得很直，求繩索的長度．【答案】【解析】【分析】設(shè)秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可得m，利用勾股定理可得，求解即可．【詳解】解：m，m，m，在中，，m，設(shè)秋千的繩索長為m，則m，故，解得：，答：繩索的長度是5m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出、的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．19.如圖，已知四邊形中，，，，，為邊上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿著邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求的長；（2）若為直角三角形，求的值．【答案】（1）5（2）當(dāng)秒或秒時(shí)，為直角三角形．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）分、兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算．【小問1詳解】解：，，，在中，；【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，如下圖：，，，四邊形為矩形，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則（秒，當(dāng)時(shí)，如圖：由圖：，，，，，，，，，即，解得，，當(dāng)秒或秒時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么，及用分類討論的思想進(jìn)行解答．20.在中，，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）證明四邊形是菱形．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力﹒（1）根據(jù)題意，直接運(yùn)用“角角邊”證明即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，先證明其為平行四邊形，然后證明一組鄰邊相等，根據(jù)菱形的定義判定即可．【小問1詳解】解∶，是的中點(diǎn)，在與中，【小問2詳解】由（1）可知，，是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，又為直角三角形，D是的中點(diǎn)，四邊形是菱形．21.已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點(diǎn)，AH是高．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到EF=，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到DH=AB，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）連接DF，證明，進(jìn)而結(jié)論得證．【小問1詳解】證明：∵AH是△ABC的高∴∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)∴∵E、F是BC、AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴∴．【小問2詳解】證明：如圖，連接DF由（1）得，同理，∵，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、中位線、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．22.定義：我們把三角形某邊上高的長