高考數(shù)學(xué)考點分析學(xué)習(xí)總結(jié)及其某中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法全部內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)第一章-集合

考試內(nèi)容：

集合、子集、補集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

(1)理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.

(2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識要點

一、知識結(jié)構(gòu)：

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯三部分：

二、知識回顧：

(一)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為A±A；

②空集是任何集合的子集，記為01A；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果同時81A,那么A=B.

如果AqB,BRC,那么A=

［注］:①Z=｛整數(shù)｝(J)Z=｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,

則GA=｛0｝)

③空集的補集是全集.

④若集合4=集合B,則CW=0，CA8=0CS（CA8）=￡>（注：CA6=0）.

3.?{（x,y）\xy=Q,x&R,yWR}坐標(biāo)軸上的點集.

②{（x,y）|xy<0,xGR,yGR}二、四象限的點集.

③{（x,y）|xy>0,xGR,y^R}一、三象限的點集.

[注]:①對方程組解的集合應(yīng)是點集.

例：fx+y=3解的集合{（2,1）}.

[2x-3y=1

②點集與數(shù)集的交集是。.（例：A={（x,y）|y=x+l}B={y|y=f+I}則4nB=0）

4.①"個元素的子集有2"個.②"個元素的真子集有2"—1個.③"個元素的非空真子

集有2"-2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題O逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①若a+/?#5,貝!Ja+2或hx3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且%=3,則a+〃=5,成立，所以此命題為真.

②x/1且yH2,^^x+yw3.

解：逆否：x+y=3#^=1或y=2.

二.xr1且y42**工+"3,故》+"3是門1且"2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若x?5,=>x>5曲Y2.

4.集合運算：交、并、補.

交：AQBo{x|xeeB]

并：A|J8o{x|xwA或xe團

補：GA={xwU,且A}

5.主要性質(zhì)和運算律

（1）包含關(guān)系：

A=A&=A,AaU，G，AqU,

（2）等價關(guān)系：AuB=An8=AoAUB=8oQAU8=U

（3）集合的運算律：

交換律：AnB=BAA;AUB=BUA

結(jié)合律：（An8）nC=An（8nC）;（AU8）UC=AU（6UC）

分配律:.An（8uc）=（AnB）u（Anc）；AU（Bnc）=（AU8）n（Auc）

0-1律：①nA=(D，①UA=A,t/nA=A,UUA=U

等幕律：AnA=A,AUA=A

求1卜律：ACQA=d>AUGA=UDCiU=4>口Cu6=U

反演律：Cu(AnB)=(CA)U(GB)C,(AUB)=(GA)A(CcB)

6.有限集的元素個數(shù)

定義：有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(0)=0.

基本公式：

(l)carJ(AIJB)=card(A)+card(5)-card(AQB)

(2)card(AU8UC)=card(A)+card(B')+card(C)

—card{Ap|B)-card(BQC)-card(CQA)

+card(A，C\B[}C)

(3)card(QtA)=card(U)-card(A)

（二）含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法（零點分段法）

①將不等式化為a0（x-xj（x-xj…&=",）>0（〈0）形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；（為

了統(tǒng)一方便）

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”，貝找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等

式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

----------------O----------。。_________n_____________/+,、

XxX—

X1X[L3-1n-1

2XQmX

（自右向左正負(fù)相間）

則不等式+a/"T+42%"-2+???+%>O（<O）（ao>0）的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號

確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax'boxXKa>。）解的討論.

A>0A=0A<0

J

二次函數(shù)1

y=ax2+bx+c

的圖象

(?>0)X1=X2X

一元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

ax2+bx+c-0b

X=X無實根

事,12（%1<X2）\2=一丁

（”>0的根2a

2

ax+bx+c>0VX］或X>/}<XX^一--I

（4>0）的解集I2?JR

ax2+hx+c<0

國王<x<x2）0

（。>0）的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項通分化為［國>0(或以?！?)；1區(qū)20(或/?W0)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)>0=/刖)>0嗡之0=腐瞥2。

g(x)

3.含絕對值不等式的解法

(1)公式法：|奴+目<c,與|分+/?|>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax"+bx+c=0(a#0)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單

命題：由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q(記作“pVq”)；P且q(記作“pAq”);非P(記

作“1q”)。

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

(1)“非P”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相

反；

(2)“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時

為真，其他情況時為假；

(3)“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時

為假，其他情況時為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q：逆命題：若q則P；

否命題：若rP則rq；逆否命題：若rq則IP。

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題：

(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題：

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題O逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p=q那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若p=>q且q=>p,則稱p是q的充要條件，記為pOq.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出（與已知、公理、定理…）矛盾，從

而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴充.有理指數(shù)累的運算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對數(shù).對數(shù)的運算性質(zhì).對數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).

（4）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)基的概念，掌握有理指數(shù)系的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

（5）理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

（6）能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題.

§02.函數(shù)知識要點

一、本章知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu):

一定義F:A―>B

反函數(shù)

映射L研究圖像

性質(zhì)

一函

二次函數(shù)

」■具體函數(shù)指數(shù)數(shù)函數(shù)

又寸■數(shù)一對■數(shù)函數(shù)

二、知識回顧:

(-)映射與函數(shù)

1.映射與--映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)

才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(%)(*eA)的值域是c,根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表

示出，得到x="(y).若對于y在C中的任何一個值，通過x=°(y),x在A中都有唯一

的值和它對應(yīng)，那么,x=0(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=/(y)

(yeC)叫做函數(shù)y=/(%)(%￡A)的反函數(shù)，記作x=/T(y),習(xí)慣上改寫成

y=廣'(%)

(二)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值X1,X2.

⑴若當(dāng)XI<X2時，都有f(xi)<f(X2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)XKX2時，都有f(X》f(X2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格

的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的定義：如果對于函數(shù)f(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

fG)是偶函數(shù)Q/(T)=/(X)=Q0哭=1(73-0)

/W

奇函數(shù)的定義：如果對于函數(shù)f(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

H-x)=/x),那么函域:*x)就叫做奇函數(shù).

/(x)是奇函數(shù)0=/(X)?/(T)+/(x)=0O驍="(X)*0)

/W

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)/(-#=/(x)或

/(--X)=-/(X)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果/(X)是偶函數(shù)，貝!]/(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時有意義，則〃。)=0。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：/(-%)=f(x)

設(shè)(〃力)為偶函數(shù)上一點，則(-a,b)也是圖象上一點.

偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于)，軸對稱，例如：y=i+i在工_1)上不是偶函數(shù).

②滿足/(-x)=/(x),或/(-x)-/(x)=O,若/(x)RO時，戶7=1.

/(-x)

⑵奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點，則(-a-b)也是圖象上一點.

奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于原點對稱，例如：丫=1在口,_1)上不是奇函數(shù)

②滿足/(-x)=-/(x),或/(-x)+/(x)=0,若/(x)wO時，萼，=一1.

/(-X)

8.對稱變換：①y=/(x)例對稱＞y=/(_x)

@y=fCx)前對稱＞)，=_/(x)

③y寸(X)原點對稱＞y=_/(_x)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：

?2Xx

/(x,)-/(x2)=7^-^+fe=-^l'^L

在+廬+局+匕2

在進行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

X

例如：已知函數(shù)/(%)=1+----的定義域為A,函數(shù)"(x)]的定義域是以則集合A與

1-x

集合B或間的關(guān)系是.

解：f(x)的值域是/(/(x))的定義域B,/(x)的值域eR,故80H，而4=卜次#1},故BnA.

11.常用變換：

①f(x+y)=f(x)f(y)=f—y)=%.

f(y)

證：，(x-y)=鳥=/(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

②/(—)=/U)-/(y)<=>f(x-y)=f(x)+f(y)

y

證：/(x)=,f('y)=/(2)+/(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

例：丫=2兇」制關(guān)于)，軸對稱.，<0

值域{y|y#2,ywR}f值域#x前的系數(shù)之比.

（三）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

a>l0<a<l

對數(shù)函數(shù)產(chǎn)/og然的圖象和性質(zhì)：

對數(shù)運算：

w

\oga(M-N)=\ogaM+\ogaN

1M1W1Z

log?！?log”M-log.N

N

n12)

\o^aM=?loga(±M)

logVA7=-\ogM

ana

Jog"N=N

換底公式：log“N=9俱

10gz7a

推論:logflb-log%c-logt.a=1

=log%%?1。8做出?…?logq一冊=log%冊

(以上M”0,N>0,a>0,awl,b>0,bwl,cx0,cwl,a],a2-an”0且。1)

y/

圖

象O

X-13<1

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

(3)過點(1,0),即當(dāng)x=l時，y=0

性

質(zhì)(4)x￡(0,l)時y<。X6(0,1)時y>0

X€(1,+8)時y>0XG(1,+00)時y<0

(5)在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

注⑴:當(dāng)a,6y0時，log(ab)=log(-a)+Iog(-Z>).

⑵：當(dāng)M〉0時，取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時且MYO時，ATMO,而MYO,故取“一”.

例如：loga-2H21ogaX：(21ogaX中x>0而log1中xWR).

(2)y=ax(a-O,a*l)與y=log.x互為反函數(shù).

當(dāng)“Al時，y=k>g“X的a值越大，越靠近X軸；當(dāng)OYaYl時，則相反.

(四)方法總結(jié)

(1).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對應(yīng)法則相同.

⑴對數(shù)運算：

log“(M'N)=log,,M+log”N⑴

M

bg“—=log。MTog”N

N

12)

log“M"=nloga(±M)

log?'4M=-log?M

n

'N=N

換底公式：log。N='&上

log。。

推論：log。h?log；,c?logca=1

=>log%的.log%%?log”“T%=log%%

(以上M”O(jiān),N>0,a>0,a=l,b>0,b=l,c〉0,cKl,a1,a23an>0且wl)

注⑴：當(dāng)a,人Y0時，log(a-h)=log(-a)+log(-Z>).

(2)：當(dāng)A/>0時，取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時且用Y0時，M">(),而MYO,故取"一”.

例如：10g“x2*210gaX：(210g?X中X>0而log“，中xGR).

(2)y=a*(a>0,a^\)與y=log”x互為反函數(shù).

當(dāng)時，y=log,,x的"值越大，越靠近x軸；當(dāng)OYOYI時，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0：②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對數(shù)的真數(shù)

大于0,底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)幕的底數(shù)不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義

等.

(5).函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

(6).單調(diào)性的判定法:①設(shè)X］，X2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且X1<X2;②判定f(X)

與fix?)的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關(guān)

系：①f(-X)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶:f(x)+f(-X)=0

為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)+f(-x)=T為奇函數(shù).

(8).圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的

圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項公式.等差數(shù)列前n項和公式.

等比數(shù)列及其通項公式.等比數(shù)列前n項和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實

際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實

際問題.

§03.數(shù)列知識要點

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義an\-a,=d

+t二q（q豐0）

品

遞推公an=an_i+d；an=a,?_n+md

a?=a?_<?;a,,=aqn-m

式lm

通項公a=a+(〃-l)d

n}a(。],#0)

式n

中項

A_a?Lk+an+kG--ylan-kan+k(an-kan+k>°)

2

(n,kwN,n〉kA。)(〃,Z￡N”,〃A%A0)

前n項

S〃=](〃[+%)叫(q=D

和

S"=?fl|+2d\-q\-q

重要性

質(zhì)

atn+an=ap+p、qwN”,atn-an=a〃?%(”,〃,p,q￡N",〃z+〃=p+q)

m+n=p+q)

1.⑴等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

{*}為A?Poan+i-an=d(常數(shù)){%}為6?Po&巴=q(常數(shù))

a”

通項公

。〃二%+(n-1)d=%+(n-k)d=d〃+。]-d

式

求和公〃(%+a”)〃(〃一l)na(q-1)

s=---1-----=na+-------dx

式n21]2

s,l=,q(lW)a】_a“q

=[〃2+3|-.=i(4聲1

i-qi-4

中項公a+h

A=會推廣：2%=%_,“+6,+”，G?="。推廣:a：=an_mxan+m

式

性1

質(zhì)若m+n=p+q則am+。〃=若m+n=p+q,則aman=apaq。

2

若伏“｝成A.P（其中攵“eN）則⑸｝若伏,J成等比數(shù)列（其中&“GN）,

也為A.P。

則｛4“｝成等比數(shù)列。

3

.Sn,s2n-S,,,s3n-s2?成等差數(shù)列。%，S2n-Sn,-S2n成等比數(shù)列O

4

a—a.a—a/,qi=%~

d=，一=，一^(mw〃)

n-1m-n

?!am

(mrn)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①a4-a”_i=d(n>2,4為常數(shù))

②2a,,=an+l+an_i(n>2)

③a“=kn+b(〃,％為常數(shù)).

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①an=??_］>2,q為常數(shù),且*0)

②4=%+1,%(n>2,anan+xa,,_x豐0)?

注①：i.b=&,是a、b,c成等比的雙非條件，即/>=瘋=小6c等比數(shù)列.

ii.b-yfac(ac>0)-為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=土4最-*為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.6=且ac*0-為a、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)。、c不一定有等比中項，除非有“c>0,則等比中項一定有兩個.

③a“=cg"(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列｛冊｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log*an｝(x>l)成等比數(shù)列.

S[=。](〃=1)

⑷數(shù)列｛%,｝的前〃項和S“與通項冊的關(guān)系：冊=

S"—%_i(〃N2)

［注］:①a”』|+(〃-lW=〃d+(a「d)(4可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件(即常數(shù)

列也是等差數(shù)列)一若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件).

②等差｛”“｝前〃項和邑廠加2+8〃=(￡|"2+口「9”一'可以為零也可不為零->為等差

的充要條件~若“為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③寺零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不可能有等比數(shù)列)

2.①等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的居倍

Sk，S2k_Sk,s3k-S2k…；

②若等差數(shù)列的項數(shù)為2”。eN+),則S偶一5奇=〃1,昔=7^；

J偶an+\

③若等差數(shù)列的項數(shù)為2"-l(〃eN+),貝”2,1=(2〃-1瓦，且S奇-S偶=a“，紅=」_

n代入”到2〃-1得到所求項數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+"噂

6

③1+23+33…"3=4^

[注]:熟悉常用通項：9,99,999,...=>a?=10n-l；5,55,555,=-(10n-1).

4.等比數(shù)列的前〃項和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為。，年增長率為r,則每年的產(chǎn)

量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第〃年產(chǎn)量為a(l+r)"T,且過”年后總產(chǎn)量為：

a+a(l+r)+a(l+r)2+...+4Z(l+r)/,-|=如f_"+

1-(")

⑵銀行部門中按復(fù)利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存“元，利息為r,每月利息按

復(fù)利計算，則每月的。元過〃個月后便成為“(1+r)”元.因此，第二年年初可存款：

a(l+r)[l-(l+r)12]

tz(l+r)12+a(l+r)11+?(l+r)10+…+a(l+r)=

l-(l+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：。為分期付款方式貸款為〃元；機為m個月將款全部付清；廣為年利率.

(7(1+=x(l++x(l+r),n-2+.....j;(l+r)+xzz>a[\+z*),M=必+')----=工=:'-

r(l+r)w-l

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴〃〃+2=〃?！?1+4。八(P、q為二階常數(shù))->用特證根方法求解.

具體步驟:①寫出特征方程產(chǎn)=1+q(/對應(yīng)〃“+2，%對應(yīng)冊+i)，并設(shè)二根a“2②若尤產(chǎn)叼

可設(shè)冊=6“；+。2可，若X]=%2可設(shè)；③由初始值。1，〃2確定.

⑵a〃=Pa〃T+,?(P、，為常數(shù))一用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項選代；③消去常數(shù)n

轉(zhuǎn)化為冊+2=尸〃〃+]+?〃的形式，再用特征根方法求；④a〃=C]+C2尸〃T(公式法)，c},c2

由上],。2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：?！?]+冗=P(a“+x)=>，“+[=Pa+Px-x^>x=——.

nP—\

②選代法：a?=Pan_l+r=P(Pa,,_2+r)+r=…na,產(chǎn)(田+￡)夕1一￡=(al+x)P"-'-x

r—Ir—1

n2

=P"~'al+P~-r+---+Pr+r.

a—Pa+??I

，/+，

③用特征方程求解："卜相減，na〃+]-a〃=Pa〃-Pa〃_]=>a〃+]=(P+Dan-Pan_}.

an=Pa〃-i+H

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：C[=-------fc2=Cl|H----------?an=CzP"*+C1=(^|+—)P"'H-----------.

1—PPP1—P

6.兒種常見的數(shù)列的思想方法:

⑴等差數(shù)列的前〃項和為s“，在dYO時，有最大值.如何確定使S“取最大值時的〃值，有

兩種方法：

一是求使々0,。”+1Y0,成立的〃值；二是由S“利用二次函數(shù)的性質(zhì)求〃

的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前〃項和可依

照等比數(shù)列前/I項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：

242"

⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第

一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差%,4的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n22的任意自然數(shù),

驗證an-an|(&)為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法：驗證

2%+i=??+%一2GN都成立。

a>0

3.在等差數(shù)列｛〃“)中，有關(guān)Sn的最值問題：⑴當(dāng)為>0,d<0時，滿足4ni〃'的項數(shù)m

k+!

[a<0

使得s,“取最大值.(2)當(dāng)/<0,d>0時，滿足4m的項數(shù)m使得s,,取最小值。在解含絕

口用N0

對值的數(shù)列最值問題時，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

(三)、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項相消法:適用于|」一(其中｛%｝是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部

分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯位相減法:適用于｛明2｝其中｛an｝是等差數(shù)列，｛￡｝是各項不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

、+

1):1+2+3+…+n=------

2

2)l+3+5+...+(2n-l)=〃2

3)l3+23+---+n3=-n(n+l)

4)I2+22+32+---+n2=-n(n+l)(2n+l)

、11111,11、

n[n+1)nn+1n(n+2)2n鹿+2

6)—=--------(--------)(p<q)

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘

導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin(3x+@)的圖像.正切函數(shù)的圖

像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

(4)能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(3x+。)的簡圖，理解A.3、0的物理意義.

(6)會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana?cosa=1".

§04.三角函數(shù)知識要點

1.①與a(0°<a<360°)終邊相同的角的集合(角a與角力的終邊重合)：

物|戶="360。+a,Awz}

②終邊在x軸上的角的集合：加R=%xI80°Mez}

③終邊在)，軸上的角的集合：物I6=%X1800+90°M€Z}

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：物|￡=%X90F€Z}

SISCOS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖

1、2、3、4表示第一、二、三、

四象限?半所在區(qū)域

⑤終邊在尸軸上的角的集合：物l6=&xl80°+45°,kez}

⑥終邊在y=-x軸上的角的集合:{閉6=4x180。-45fwz}

⑦若角a與角尸的終邊關(guān)于x軸對稱，則角a與角〃的關(guān)系：a=360°k-/3

⑧若角a與角/的終邊關(guān)于y軸對稱，則角a與角〃的關(guān)系：(7=360^+180°-^

⑨若角a與角￡的終邊在一條直線上，則角a與角力的關(guān)系：a=180%+/?

⑩角a與角/?的終邊互相垂直，則角a與角夕的關(guān)系：a=360^+/?±90°

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360。=24180。=萬1°=0,017451=57.30°=57°18,

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=1^2°弋57.30°=57°18'.1°=￡Q0.01745(rad)

n180

扇形面積公式：S崩形《5?產(chǎn)

3、弧長公式：/=|a「r.

6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：0M;正切線:

AT.

7.三角函數(shù)的定義域:

三角函數(shù)定義域

f(x)=sinx{x|xeR}

f(x)=cosx{x\xeR}

f(x)=tanrx\xeR且無羊k九+；/r,ksZI

f(x)=cotv{x|XGRJirhk兀,k^z]

f(x)=secx\x\xeR且tw攵萬+；萬，左￡Z

f(x)=esex{x|XGR_SLrwk/r,keZ}

shlg

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：-tanQ.C0.

cosasitu

tanacota=lcscasina=lsecacosa=1

sin2a4-cos2a=1sec2a-tan2a=1esc2a-cot2a=1

9、誘導(dǎo)公式：

把竺±。的三角函數(shù)化為a的三角函數(shù)，概括為:

2

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組一公式組二公式組三

sinx.22[

sinx?cscx=1tanx=sinx+cosx=1sin(2^+x)=sinxsin-(r)=-sint

cosx

cos(2A1+x)=cosxcos-(r)=cox

COSX.22

cost?secx=1cotx=1+tanx=secxtan(2^+x)=tanxtan-記)=-tarr

smx

cot(2k乃+x)=cotxcoY)=-cot

tanr?cotr=11+COt2A=CSC2X

公式組四公式組五公式組六

sin(^,+x)=-sinxsiri2^r-x)=-sinrsi瞰-x)=sinr

cos(笈+x)=-cosxco甑-x)=cosrco飆-x)=-cos:

tan0r+x)=tanxta12t-x)=-1airtanr(-x)=-1arr

cot(^+x)=cotxco=-cOXcoVr(-x)=-cot

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(a+4)=cosacossinasinpsin2rz=2sinacosa

cos(a-/?)=cosacos夕+sinasinpcos2a=cos2a—sin2a=2cos2二一1=1-2sin2a

2tana

sin(a+4)=sinacos(3+cosasinptan2a=■7

l-tan-a

1-costz

sin(a一。)=sinacosP-cosasinpsin一=±

22

/八、tana+tan￡aI1+COS6T

tan(a+￡)=----------------—cos-=±------------

1TanatanB2V2

,小tana-tanBsina1-COS6Z

tan(a—￡)=-----------------

1+tanatan°1+cosasina

公式組三公式組甲公式組五

sinacos/?=—[sin(a+/)+sin(a一夕)