高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 專項練習(xí)（學(xué)生版+解析）

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

（核心考點精講精練）

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)極值點的辨析函數(shù)的性質(zhì)、奇偶性的定義與判斷

基本（均值）不等式的應(yīng)用、求平面軌跡

2023年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

方程、求直線與地物線相交所得弦的弦長

2023年新D卷,第11題,5分根據(jù)極值求參數(shù)根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2023年新D卷,第22題,12分根據(jù)極值點求參數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

錐體體積的有關(guān)計算球的體積的有關(guān)計算

2022年新I卷，第8題,5分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

多面體與球體內(nèi)切外接問題

求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

2022年新I卷，第10題,5分求已知函數(shù)的極值點

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

2022年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

2021年新I卷，第15題,5分由導(dǎo)數(shù)求函的最值（不含參）無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件

2能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值

3體會導(dǎo)數(shù)與極大（?。┲怠⒆畲螅ㄐ。┲档年P(guān)系

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的

極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)

知識講解

1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

(1)函數(shù)的極小值與極小值點

若函數(shù)寅X)在點x=。處的函數(shù)值五。)比它在點x=。附近其他點的函數(shù)值都小，/'(a)=0,

而且在點x=a附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)/'(x)〉0,則點。叫做函數(shù)的極小值點，義。)叫做函

數(shù)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值與極大值點

若函數(shù)小)在點x=b處的函數(shù)值五6)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，/'(3=0,

而且在點x=b附近的左側(cè)/'(x)〉0,右側(cè)/'(x)<0,則點b叫做函數(shù)的極大值點，義切叫做函

數(shù)的極大值.

(3)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

/(x)是極值點n/'(x)=0

/［x)=O?/(x)是極值點，即：/'(x)=0是/(x)為極值點的必要非充分條件

2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

(1)函數(shù)段)在［。，回上有最值的條件

如果在區(qū)間［。，切上函數(shù)y=y(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求j=上)在［a,回上的最大(小)值的步驟

①求函數(shù)了=加)在他，、)內(nèi)的極值；

②將函數(shù)歹=義工)的各極值與端點處的函數(shù)值大。)，寅3比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值.

考點一、求函數(shù)的極值或極值點

☆典例引領(lǐng)

1.(天津?高考真題)已知函數(shù)〃尤)=M+cx+d(awO)在&上滿足f(r)=-/(x),當(dāng)x=l時/(尤)取得極

值-2.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)證明：對任意外、x2e(-l,l),不等式|/(占)-/七)|〈4恒成立.

2.(全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=x-l+W(aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù))

e

(1)若曲線了=〃尤)在點(1J(X))處的切線平行于X軸，求。的值；

(2)求函數(shù)/(x)的極值；

(3)當(dāng)。=1時，若直線/：y=丘-1與曲線y=沒有公共點，求上的最大值.

3.(天津?高考真題)已知函數(shù)〃x)=xeT(xe?

(I)求函數(shù)〃無)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)V=/(x)的圖象關(guān)于直線X=1對稱，證明當(dāng)X>1時，/(x)>g(x)

(III)如果且/(》)=/(3,證明,+馬>2

4.(山東?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(x+l)+a(x2-x)*其中aeR.

(I)討論函數(shù)/(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；

(II)若Vx>OJ(x"O成立，求。的取值范圍.

段即時檢測

X

1.(2023?湖北黃石?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知。>2,函數(shù)/(x)=x-a-(a-l)ln二，x>0.

a

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)設(shè)/(x)較小的零點為不，證明：a-2<x<a-2+~.

la

2.(2023?河北滄州??？寄M預(yù)測)已知函數(shù)=

⑴求函數(shù)〃x)的極值點個數(shù);

⑵若不等式(x+l)2f(x+l)>切-子-1在。,+⑹上恒成立，求加可取的最大整數(shù)值.

3.(2023?江蘇無錫?輔仁高中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=f+lnx,g(x)=4-2x-

⑴求函數(shù)〃x)的極值點；

(2)若/(x)Vg(x)恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

4.(2023?福建龍巖?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)〃x)=g+lnx-x.

⑴求/(x)的極值；

(2)已知/(占)=/。2)(石<々),包+%2有最小值,求人的取值范圍.

5.(2023,山東青島?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=Inx——],a>0.

(1)討論/(無)極值點的個數(shù)；

⑵若/(X)恰有三個零點tx,t2,t3(tx<t2<。和兩個極值點尤Je(再<%).

(i)證明：/(^)+/(%2)=0；

(ii)若m<n,且加lnM二〃ln〃，證明：--------->n(]nn+lY

t/2t3

6.(2023?浙江膠聯(lián)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)"X)=竺二lire-x有三個極值點西戶2，%(項<馬<三)，其中。eR.

(1)求。的取值范圍；

(2)求證：匹+%>2；

八、龍:+/(*)/(』)2

(3)求址：-----++----->

國x3ae

考點二、根據(jù)函數(shù)極值或極值點求參數(shù)值或范圍

☆典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)(多選)若函數(shù)/(x)=alnx+?+/(aw0)既有極大值也有極小值，則().

A.bc>QB.ab>0C.b2+8tzc>0D.ac<0

即時檢測

1.(2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(Y-ox+a)e，-V,aeR,若函數(shù)/(無)在x=0處取得極

小值，則。的取值范圍為.

2.(2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(耳=，+機(jī)二-1有兩個極值點不，巧，且馬22占，則實數(shù)

m的取值范圍是.

3.(2023?安徽阜陽?安徽省臨泉第一中學(xué)?？既?已知函數(shù)/(x)=(lnx『-"有兩個極值點，則實數(shù)。的

取值范圍是.

4.(2023?山東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/⑺=2e'-辦2+2存在兩個極值點玉，%(為<%),

則以下結(jié)論正確的為()

A.0<a<eB.0<Xj<1<x2

C.若馬=2再，貝！Ja=21n2D.InXj+x2>0

考點三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

W典例引領(lǐng)

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)函數(shù)f(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值分別為()

71713717r兀兀c3兀兀c

A.一一，一B.-----C.——，一+2D.------,—+2

22222222

2.(2022?全國,統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=ax-L-(a+l)lnx.

x

(1)當(dāng)。=0時，求/(x)的最大值；

(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍.

☆即時檢測

1.(2023?廣東佛山??？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=hu+siiu.

⑴求函數(shù)〃x)在區(qū)間［l,e］上的最小值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的零點個數(shù)，并證明.

2.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=7廣+"-2,其中。為實數(shù).

⑴若a=l,求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+“)上的最小值；

2

(2)若函數(shù)/(x)在R上存在兩個極值點為，X?,且為<尤2.求證：十-e』>-—2.

a

3.(2023浙江?校聯(lián)考二模)設(shè)a<■!，已知函數(shù)/(x)=(x-2)e，-a1-公)+2有3個不同零點.

⑴當(dāng)“=0時，求函數(shù)“X)的最小值：

(2)求實數(shù)。的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)/(無)的三個零點分別為外、*2、工3，JEL^-XJ<0,證明：存在唯一的實數(shù)0,使得不、4、X3成

等差數(shù)列.

4.(2023?福建福州?福州三中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(司="-111蒼8(%)=友，+’.

e

⑴求函數(shù)“X)在明+1］。>0)上的最小值；

(2)證明：當(dāng)x>0時，獷(無)<g(x).

5.(2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(尤)=左皿1+力,g(x)=x,(左eR).

(1)討論函數(shù)>=/(x)-g(x)在區(qū)間［0,+句上的最大值；

⑵確定后的所有可能取值，使得存在"0,對任意的xe(0,。，恒有

6.(2023,江蘇,二模)己知函數(shù)/(x)=(尤-a-l)e''-~+“x.

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)〃x)在(0,+8)的最小值為-;，求“的最大值.

考點四、由函數(shù)最值求參數(shù)值或范圍

☆典例引領(lǐng)

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)當(dāng)無=1時，函數(shù)〃x)=alnx+2取得最大值一2,貝！］/'⑵=()

X

11

A.—1B.—C.-D.1

22

仝即時檢測

1.(2023?山東?山東省實驗中學(xué)?？家荒?若函數(shù)=+在區(qū)間(a-4,a)上存在最小值，則整數(shù)

。的取值可以是.

2.(2023?廣東廣州廣州六中校考三模)已知/1x)=("-1對與g(x)=x(lnx-a)有相同的最小值.

⑴求實數(shù)”的值；

2

(2)已知冽<0,函數(shù)尸(x)=/(x)-加有兩個零點再廣2，求證：x1-x2>-m-m.

【基礎(chǔ)過關(guān)】

一、多選題

1.(2023?河北石家莊?統(tǒng)考三模)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,尤。(％片0)是/(x)的極大值點，以下結(jié)論一定

正確的是()

A.VxeR,/(x)</(x0)B.-毛是/(-x)的極大值點

C.%是-/(x)的極小值點D.r。是-1(f)的極大值點

+1

2.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)函數(shù)/("=軟，則()

A.〃x)是奇函數(shù)

B.當(dāng)xe(0,+oo)時，〃尤)有最小值2

C.〃x-l)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減

D.7(x)有兩個極值點

二、填空題

3.(2023?安徽六安?安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知實數(shù)。,6,G4成等比數(shù)列，且函數(shù)y=ln(x+2)-x,

當(dāng)x=b時取到極大值c,則"等于.

三、解答題

4.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=&+6x+2在x=-2處取得極值-14.

(1)求a,6的值；

⑵求曲線了=/(x)在點處的切線方程；

⑶求函數(shù)“X)在［T3］上的最值.

5.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(X)=44—3,g(x)=_1%2+

e2

(1)若>=/(x)在X=1處的切線與歹=g(x)也相切，求。的值；

(2)若4=1,求函數(shù)V=/(')+g(x)的最大值.

6.(2023?江蘇常州?常州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)函數(shù)〃x)=lnx-；a/-6x.

(1)當(dāng)。=6=|■時，求函數(shù)“X)的最大值；

(2)當(dāng)a=0,b=~\,方程2時(x)=/有唯一實數(shù)解，求正數(shù)加的值.

7.(2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=(x+l-2a)ln(x-a)

(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)/(x)的極值；

⑵當(dāng)x*+l時，/(x)Nx-l恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

8.(2023?遼寧丹東?統(tǒng)考二模)已知x='為函數(shù)/(x)=lnx-ax+a的極值點.

2

⑴求。；

(2)證明：當(dāng)0<x<"I時，切(x)+(x->0.

9.(2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)"》)=工.

x-e

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)右g(x)=?”-aj2x+l-2e-W21nx-1有零點，求/+t>2的取小值，

10.(2023?山東淄博?山東省淄博實驗中學(xué)?？既?已知函數(shù)/(x)=e，sinx-2x.

⑴求曲線y=〃x)在點(0j(o))處的切線方程；

(2)求/(X)在區(qū)間上的最大值；

(3)設(shè)實數(shù)。使得/(x)+x>ae*對xeR恒成立，寫出。的最大整數(shù)值，并說明理由.

【能力提升】

1.(2023?重慶萬州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=竺￥(℃0.

ex

⑴討論“X)的極值；

⑵當(dāng)。=1時，關(guān)于X的不等式為Nl+m-ln(x+l)在［0,+司上恒成立，求實數(shù)冽的取值范圍.

2.(2023?重慶萬州?重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=x(lnx+"7).

(1)若/(x)在區(qū)間(1,e)上有極小值，求實數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)求證：/(x)<x3ex+(m-l)x.

3.(2023?全國■模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=alnx+gx-a,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的最值；

⑵若函數(shù)秋x)=(x-l)e，-力(x)-有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.

4.(2023?安徽合肥哈肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)=其中〃機(jī)>0.

⑴若x=4時，“X)有極值_山2,求，皿的值；

(2)設(shè)加Wp-1,討論/(x)的零點個數(shù).

5.(2023?湖北武漢?武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=lnm+(a-2]x-x2.

a\aJ

⑴若a<0J(x)的極大值為3,求實數(shù)。的值；

(2)^Vxe(O,+a)),/(x)<axe1+^a--1-l^x-x2,求實數(shù)。的取值范圍.

6.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)其中aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)極值點的個數(shù)；

(2)對任意的x>0,都有/(尤)4-lnx-l,求實數(shù)a的取值范圍.

7.(2023?湖南長沙?長郡中學(xué)?？级?已知函數(shù)〃x)=(cosx-l)eT,g(x)=#+0-e'卜(aeR).

⑴當(dāng)xe(0,7t)時，求函數(shù)〃x)的最小值；

(2)當(dāng)xe時，不等式力(x”景恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

8.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=■(：+“),xe(O,+s).

⑴若a=l,證明:/(x)>l-j；

(2)若函數(shù)/(x)最大值為卡，求實數(shù)。的值.

9.(2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？既?已知函數(shù)/(%)=xsinx+cosx+ax2,g(x)=xIn—.

71

⑴當(dāng)a=0時，求函數(shù)〃X)在[-兀,可上的極值；

⑵用11^{加,“}表示/,"中的最大值，記函數(shù)無)=max{/(x),g(x)}(x>0),討論函數(shù)/z(x)在(0,+<?)上的

零點個數(shù).

10.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=/和g(x)="?在同一處取得相同的最大值.

⑴求實數(shù)。；

⑵設(shè)直線了=6與兩條曲線y=〃x)和了=g(x)共有四個不同的交點，其橫坐標(biāo)分別為占,乙,演,看

(再〈工2<工3<%4)，證明：m%4=%2%3.

【真題感知】

一、單選題

1.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)QWO,若x=a為函數(shù)/(x)=a(x-a)2(x-6)的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>a1

二、多選題

2.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(尤)=f-尤+1,則()

A./⑴有兩個極值點B./⑴有三個零點

C?點(0,1)是曲線V=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

三、填空題

3.(202「全國?統(tǒng)考高考真題)函數(shù)f(x)=|2x-l卜21nx的最小值為.

四、解答題

4.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)(1)證明：當(dāng)0<x<l時，x-x2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)/'(x)=cosax-ln(l-x2),若x=0是/(x)的極大值點，求a的取值范圍.

5.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/卜)=點言.

(1)若a=0,求曲線了=/(尤)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)若/(x)在x=T處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

6.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a>0,函數(shù)/1(x)=av-xe，.

(D求曲線y=/(x)在點(oj(o。處的切線方程:

(in證明/a)存在唯一的極值點

(III)若存在a,使得/(x)Va+&對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

（核心考點精講精練）

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)極值點的辨析函數(shù)的性質(zhì)、奇偶性的定義與判斷

基本（均值）不等式的應(yīng)用、求平面軌跡

2023年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

方程、求直線與地物線相交所得弦的弦長

2023年新D卷,第11題,5分根據(jù)極值求參數(shù)根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2023年新D卷,第22題,12分根據(jù)極值點求參數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

錐體體積的有關(guān)計算球的體積的有關(guān)計算

2022年新I卷，第8題,5分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

多面體與球體內(nèi)切外接問題

求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

2022年新I卷，第10題,5分求已知函數(shù)的極值點

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

2022年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

2021年新I卷，第15題,5分由導(dǎo)數(shù)求函的最值（不含參）無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件

2能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值

3體會導(dǎo)數(shù)與極大（?。┲怠⒆畲螅ㄐ。┲档年P(guān)系

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的

極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)

知識講解

3.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

(1)函數(shù)的極小值與極小值點

若函數(shù)寅X)在點X=a處的函數(shù)值五。)比它在點X=a附近其他點的函數(shù)值都小，/'(。)=0,

而且在點x=a附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)/'(x)〉0,則點。叫做函數(shù)的極小值點，義。)叫做函

數(shù)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值與極大值點

若函數(shù)小)在點x=b處的函數(shù)值五6)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，/'(3=0,

而且在點x=b附近的左側(cè)/'(x)〉0,右側(cè)/'(x)<0,則點b叫做函數(shù)的極大值點，義切叫做函

數(shù)的極大值.

(3)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

/(x)是極值點n/'(x)=0

/［x)=O?/(x)是極值點，即：/'(x)=0是/(x)為極值點的必要非充分條件

4.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

(1)函數(shù)段)在［。，回上有最值的條件

如果在區(qū)間［。，切上函數(shù)y=y(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求j=上)在,回上的最大(小)值的步驟

①求函數(shù)了=加)在他，、)內(nèi)的極值；

②將函數(shù)歹=義工)的各極值與端點處的函數(shù)值大。)，寅3比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值.

考點一、求函數(shù)的極值或極值點

☆典例引領(lǐng)

1.(天津?高考真題)已知函數(shù)〃尤)=M+cx+d(awO)在&上滿足f(r)=-/(x),當(dāng)x=l時/(尤)取得極

值-2.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)證明：對任意外、x2e(-l,l),不等式|/(占)-/七)|〈4恒成立.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(-咫-1)、(1，+W，單調(diào)遞減區(qū)間為(-M),極大值為2；(2)證明見解析.

【分析】(1)由/(-x)=-/(x)可求得d=o,由題意得出I可解出0、c的值，可得出函數(shù)y=/(x)

17Ub-2

的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)了=/(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)求得函數(shù)了=/(x)在區(qū)間上的最大值2,最小值-2,由此可得出|/(西)-/仁)|<2-(-2)=4,

進(jìn)而可證得結(jié)論.

【詳解】(1)f(x)=ax3+cx+d,由/(-x)=-/(x),~ax3-cx+d=~(axi+cx+d^j,可得"=0.

f(x)=ax3+cx,/'(x)=3辦2+c,

z、1/⑴=a+c=—2(a=l

由于函數(shù)了=/x在工=1處取得極值-2,貝|J2八，解得2，

(1)=3Q+C=0[C=—3

f(x)=x3-3x,

廣⑺=3X2—3=3(%-1)(%+1),從而/")=r(—l)=0.

當(dāng)時，/0(x)>0,則函數(shù)y=/(x)在(-8,-1)上是增函數(shù)；

在xe(Tl)時，r(x)<0,則函數(shù)y=/(x)在上是減函數(shù)；

當(dāng)xe(l,+⑹時，/個)>0,則函數(shù)尸/⑺在(1收)上是增函數(shù).

所以，函數(shù)>=/(》)在x=T處取得極大值，即〃-1)=2：

(2)由(1)知，函數(shù)/(司=/一3工在11,1]上是減函數(shù)，

當(dāng)xe[T,l]時,/(x)max=/(-l)=2,/(x)mi?=/(1)=-2.

所以，對任意不、x2e(-l,l),不等式|/(再)-/仁)|<2-(-2)=4.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查計

算能力與推理能力，屬于中等題.

2.(全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=x-1+=(。￡凡￡為自然對數(shù)的底數(shù))

e

(1)若曲線y=/(x)在點(ij(x))處的切線平行于x軸，求。的值；

(2)求函數(shù)/(X)的極值;

(3)當(dāng)。=1時，若直線/：/=米-1與曲線y=〃x)沒有公共點，求上的最大值.

【答案】(1)a=e(2)當(dāng)時，函數(shù)/(尤)無極小值；當(dāng)。>0,/(x)在x=lna處取得極小值Ina,無

極大值(3)后的最大值為1

【分析】(1)求出廠(x),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解方程/⑴=0即可；(2)解方程/'(x)=0,注意分類討論,

以確定了'(X)的符號，從而確定〃x)的單調(diào)性，得極大值或極小值(極值點多時，最好列表表示)；(3)題

意就是方程〃x)=kx-l無實數(shù)解，即關(guān)于x的方程=/在尺上沒有實數(shù)解.一般是分類討論，k=l

時，無實數(shù)解，時，方程變?yōu)椤?加工，因此可通過求函數(shù)g(x)=W的值域來求得人的范圍.

k-1

【詳解】(1)由/(x)=xT+W，得/'(x)=l-￡.

ee

又曲線y=/(x)在點。，/⑴)處的切線平行于x軸，

得/'(1)=0,即1-2=0,解得“=e.

e

⑵rw=i-1,

①當(dāng)aV0時,H(x)〉0J(x)為(f+8)上的增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)無極值.

②當(dāng)。>0時，令/'(x)=0,得H=a,x=lna.

xe(-oo,lna),/,(x)<0；xe(lna,+co),#(x)>0.

所以/(x)在(F』na)上單調(diào)遞減，在(Ina,+a>)上單調(diào)遞增，

故/(x)在尤=ln。處取得極小值，且極小值為/(Ina)=In。，無極大值.

綜上，當(dāng)a<0時，函數(shù)/(x)無極小值

當(dāng)。>0,/(》)在工=111。處取得極小值111.,無極大值.

(3)當(dāng)a=l時,/(x)=x-l+g

令g(x)=/(x)-體-1)=(1-左)龍+g,

則直線=與曲線y=/(x)沒有公共點，

等價于方程g(X)=o在&上沒有實數(shù)解.

假設(shè)無＞1,此時g(o)=l＞O'g［士〉-1+3<0,

又函數(shù)g(x)的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理，可知g(x)=0在R上至少有一解，與“方程g(x)=0在R上沒有

實數(shù)解”矛盾，故后41.

又上=1時,g(x)=，＞0,知方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解.

所以上的最大值為1.

解法二：

(1)(2)同解法一.

(3)當(dāng)a=l時=+

直線/：＞=辰-1與曲線y=/(x)沒有公共點,

等價于關(guān)于X的方程Ax-l=x-l+!在區(qū)上沒有實數(shù)解，即關(guān)于X的方程:

e

化-l)x=4(*)

在尺上沒有實數(shù)解.

①當(dāng)上=1時，方程(*)可化為二=0,在尺上沒有實數(shù)解.

e

②當(dāng)心1時，方程(*)化為丁1=尤/.

K-1

令g(x)=xe*,則有短(x)=(1+x)e*.

令g'(x)=0,得x=-l,

當(dāng)x變化時,g'(x)的變化情況如下表：

(-CO,-1)

X-1(-l,+°o)

g'(x)-0+

g(x)減增

e

當(dāng)X=-l時,g(x)1nhi=-J同時當(dāng)X趨于+8時,g(x)趨于+8,

從而g(x)的取值范圍為

所以當(dāng)€時，方程(*)無實數(shù)解，解得上的取值范圍是

K-1e

綜上，得左的最大值為1.

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極值，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、值域，方程根的分布.

3.(天津?高考真題)已知函數(shù)/(x)=xeT(xe?

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)已知函數(shù)>=g(x)的圖象與函數(shù)V=的圖象關(guān)于直線x=l對稱，證明當(dāng)x>l時，/(x)>g(x)

(III)如果七片/，且/(網(wǎng))=/(工2),證明再+%>2

【答案】(I)f(x)在(9,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,+8)內(nèi)是減函數(shù).函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值f(l)且f(l)=J

e

(II)見解析(III)見解析

【詳解】(I)解：f，(x)=(1-尤)**

令f'(x尸0,解得x=l

當(dāng)x變化時，f'(x),f(x)的變化情況如下表

X(-00,1)1(1,+℃)

f'(x)+0-

f(x)/極大值/

所以f(x)在(-*1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,+8)內(nèi)是減函數(shù).

函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值f(l)且f(l)=-

e

(II)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),Wg(x)=(2-x)/2

令F(x)=f(x)-g(x),iPF(x)=xe~x+(尤一2)^-2

于是尸(x)=(x-l)(e2A2_比-"

當(dāng)x>l時，2x-2>0,從而e2x2_i>0,又6-工>0,所以F，(x)>0,從而函數(shù)F(x)在［1,+◎是增函數(shù).

又F(l)=0,所以x>l時，有F(x)>F(l)=0,即f(x)>g(x).

(Ill)證明：(1)

若(再-1)@2-1)=0,由(I)及f(x)=f(xj,購氣=1.與f矛盾。

(2)若(再-1)(%T)>0,由(I)及f(x)=f(X),得；］=%.與產(chǎn)％矛盾。

根據(jù)(1)(2)得(西-1)(9-1)<0,不妨設(shè)

由(II)可知，/(x2)>g(x2),plijg(x2)=f(2-X2),所以/(X2)>f(2-X2),從而/(xj>f(2-X?).因為z>1，所以

2-X2<1,又由(I)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-oo,1)內(nèi)事增函數(shù)，所以毛>2-々,即XJ+X2>2.

4.(山東?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)+a(x2-x),其中aeA.

(I)討論函數(shù)/(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；

(II)若Vx>0J(x)20成立，求。的取值范圍.

【答案】(I)見解析(II)〃的取值范圍是[0』.

【詳解】試題分析：(I)先求/'卜)=，+如-°=即巨土竺‘二巴，令g(x)=2辦2+"+1-。

X+1X+1

通過對。的取值的討論，結(jié)合二次函數(shù)的知識，由導(dǎo)數(shù)的符號得到函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；(II)根據(jù)(1)

的結(jié)果/(o)=o這一特殊性，通過對參數(shù)的討論確定a的取值范圍.

試題解析：函數(shù)/(x)=ln(x+l)+a(/-x)的定義域為(-1,+8)

\1_2ax2+ax+\-a

JIX)=----Fz￡LX—a=--------------

v7x+1x+1

令g(x)=2辦2+辦+1-〃，X￡(-1,+OO)

(1)當(dāng)4=0時，g(x)=l>0,r(x)>0在(T+⑹上恒成立

所以，函數(shù)/(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增無極值;

(2)當(dāng)Q〉0時，A="2—8。(1-a)="(9〃-8)

Q

①當(dāng)0<aV,時，A<0,g(x)>0

所以，r(x)>0,函數(shù)/(X)在(-1,+8)上單調(diào)遞增無極值;

O

②當(dāng)。>3時，A>0

設(shè)方程2〃/+"+1_a=0的兩根為玉,％2區(qū)<%2)，

因為再+/=

所以，玉(一T/，—7

由g(_l)=l>0可得：-1<Xl<―,

所以，當(dāng)xe(-l,xj時，g(x)>0，r(x)>0,函數(shù)“X)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(x],尤2)時，g(x)<0,/,(x)<0,函數(shù)/(無)單調(diào)遞減；

當(dāng)無+oo)時,g(x)>0,/f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

因此函數(shù)/(x)有兩個極值點.

(3)當(dāng)”0時，A>0

由g(-l)=l>0可得：X]<-1,

當(dāng)xe(-l,X2)時,g(x)>0，r(x)>0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增；

當(dāng)無e(尤2，+℃)時，g(x)<0,/,(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

因此函數(shù)“X)有一個極值點.

綜上：

當(dāng)a<0時，函數(shù)/(x)在(-1,+s)上有唯一極值點；

Q

當(dāng)OWaV、時，函數(shù)”X)在(-1,+8)上無極值點；

Q

當(dāng)時，函數(shù)”X)在(-1,+⑹上有兩個極值點；

(II)由(I)知，

O

(1)當(dāng)時，函數(shù)“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為/(0)=0

所以，xe(0,+co)時，/(x)>0,符合題意；

Q

(2)當(dāng)時，由g(0)20,得馬(0

所以，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(0)=0,所以，xe(o,+s)時，/(x)>0,符合題意；

(3)當(dāng)”>1時，由g(0)<0,可得遍>0

所以尤e(O，W)時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

又/(0)=0

所以，當(dāng)xe(O,/2)時,/(x)<0不符合題意；

(4)當(dāng)a<0時，設(shè)〃(x)=x-ln(x+l)

1

因為X￡(0,+00)時，/(X)=1-----=---Y->0

X+1X+1

所以〃(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)x￡(0,+°°)時，A(x)>A(0)=0

即：ln(x+l)<x

可得：/(%)<x+a(%2-%)=ox?+(l-q)x

當(dāng)工〉1一工時，ax2+(l-4Z)x<0

a

此時，y(x)<o,不合題意.

綜上所述，。的取值范圍是[o,i]

考點：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論的思想.

即時檢測

X

1.(2023?湖北黃石?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知a>2,函數(shù)/(x)=x-a-(a-l)ln二，x>0.

a

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)設(shè)/(x)較小的零點為不，證明：a-2<xl<a-2+~.

a

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(。-1,+8);極小值無極大值

a

(2)證明見解析

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)法求極值及單調(diào)區(qū)間即可；

(2)先由零點存在定理說明/(X)存在兩個零點玉戶2(演<X2)，

法一：由導(dǎo)數(shù)法證/("2)>0,/[-2+￡|<0,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可證明；

法二：由導(dǎo)數(shù)法證明證明當(dāng)0<x<l時，7<lnx<，_4，再令尤=土代入不等式化簡得證.

yjxX+1a

【詳解】(1)因為/(x)=x—a—(a—l)ln—,x>0,所以r(x)=l-----=--------,

axx

當(dāng)0<x<a-l時，/V)<0；當(dāng)x〉"l時，/V)>0,所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(o,〃-1),單調(diào)遞

增區(qū)間為(a-L+8),

故“X)有極小值=無極大值；

a

(2)因為當(dāng)x>0時，\nx>l--,所以ln0>l--―,

xaa-1

所以=-一—|=0,

ava-1J

又X-0時，f(X)+00；Xf+8時，/(%)-+00,

所以/(X)有兩個零點再/2(再<%2)；

法1：下面證明/(。-2)>0,/("2+：<0,

n—2a—22

7(61-2)=-2-(4z-l)ln^^>0?In^^+^-<0

aaa—\

、n_/、、a-22

設(shè)g(a)—ln-----1----7，

aa-\

-3-------\>0，所以g(a)=lnS+々在(2,+對上遞增,

a1-la(a-1)2aa-1

a-22a-22

又“f+8時，g(q)=In----1------->0,所以g(a)=ln----1-----<0對〃>2成立，

aa-1aa—I

所以/(〃-2)>0得證,

/IQ_2H—a-2+——2+—/\2_2H—

/Q-2+—=-2+—(a-1)In------0<=>In-----------------—?In1—<....-

Va)aaaa\a)a-1

令"1——x,貝！]——1—xfci----->2,一<%<1,?*.Inx?>x—21nx>%.

aa1-x2xx

設(shè)〃(%)=21nx-x+—,—<x<1,

x2

則"(x)=2-i-二=-11-口2<0,所以再⑺在上遞減，

所以力(%)>7?(1)=0,所以21nx>%—!，

'x

所以了,-2+￡|<0得證，

因為函數(shù)/(x)區(qū)間(0M-1)單調(diào)遞減，

乂—2)>0,/(a—2H—]<0,f(%))=0,a-2、/、a-1-\—e(0,a—1),

所1以Q—2<西<Q—2H;

a

x-\

法2：下面證明當(dāng)0<x<1時，/—<Inx<--,

yjxx+l

x—1

設(shè)g(x)=廠-Inx,0<x<1,

所以g⑺在(0,1)上遞增,

Y—1

所以g(x)<g⑴=0，所以一L<lnx,

再設(shè)/(x)=lnx-2(xT),0<x<l.

x+1

2(x+D-2(xT).匚_J_=(…

X(X+1)2X(%+1)2x(x+1)2

所以〃(x)在(0,1)