專題5平面向量【高考一輪復(fù)習考點通關(guān)】【解析】

【專題五：平面向量】一：考綱要求1.平面向量的實際背景及基本概念： 了解向量的實際背景。 理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。 理解向量的幾何表示。2.向量的線性運算： 掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義。 掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義。 了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義。3.平面向量的基本定理及坐標表示： 了解平面向量的基本定理及其意義。 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。 會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算。 理解用坐標表示的平面向量共線的條件。4.平面向量的數(shù)量積： 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。 掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算。 能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。5.向量的應(yīng)用： 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。 會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題。二．考情分析考點要求考題統(tǒng)計考情分析1.向量的概念與線性運算：理解向量的概念，掌握向量的加法、減法和數(shù)乘運算，以及它們的幾何意義和運算律。能夠運用向量的線性運算解決相關(guān)的幾何問題，如判斷向量共線、三點共線等。2.平面向量基本定理及坐標表示：了解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算，理解用坐標表示的平面向量共線的條件，能夠通過向量的坐標運算解決向量的平行、垂直等問題。3.平面向量的數(shù)量積：理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，還能利用數(shù)量積解決與向量模長、夾角相關(guān)的問題，以及一些幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系問題。4.向量的應(yīng)用：會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，如證明平行、垂直、求線段長度、夾角等；會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題，體現(xiàn)向量的工具性作用。2022年新高考Ⅰ卷：第3題，5分。新高考Ⅱ卷：第4題，5分。全國甲卷理數(shù)：第13題，5分。全國甲卷文數(shù)：第13題，5分。全國乙卷理數(shù)：第3題，5分。全國乙卷文數(shù)：第9題，5分。2023年新高考Ⅰ卷：第3題，5分。新課標Ⅰ卷：第5題，5分。新課標Ⅱ卷：第9題，5分。全國甲卷理數(shù)：第11題，5分。全國甲卷文數(shù)：第10題，5分。全國乙卷理數(shù)：第19題，12分（向量作為條件參與，部分分值涉及向量）。全國乙卷文數(shù)：第6題，5分。北京卷：第9題，5分。天津卷：第13題，5分（雙空題，平面向量部分占一定分值）。2024年新高考Ⅰ卷：第3題，5分。新課標Ⅰ卷：第3題，5分。新課標Ⅱ卷：第4題，5分。全國甲卷理數(shù)：第17題，5分。全國甲卷文數(shù)：第17題，5分。北京卷：第10題，5分。上海卷：第13題，5分。天津卷：第14題，5分（涉及平面向量取值范圍問題）。題型與分值題型穩(wěn)定：平面向量在高考中主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會在解答題中作為工具出現(xiàn)。分值固定：大部分試卷中平面向量的分值為5分，在一些試卷中可能會有涉及向量的綜合題，分值會有所增加，如2023年全國乙卷理數(shù)第19題，向量作為條件參與，部分分值涉及向量?？键c分布高頻考點 數(shù)量積運算：三年來在多套試卷中均有考查，如2022年全國甲卷理數(shù)、2023年全國乙卷文數(shù)、2024年北京卷等。常涉及數(shù)量積的定義、運算律及應(yīng)用，如利用數(shù)量積求向量的模、夾角，判斷向量的垂直關(guān)系等。 求模問題：20222024年都有相關(guān)考題，如2023年新課標全國Ⅱ卷、2024年新課標全國Ⅱ卷、2023年北京卷等。求向量模的問題常與向量的數(shù)量積、向量的坐標運算等知識結(jié)合，通過將向量模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方進行求解。 求夾角問題：2023年全國甲卷文數(shù)和理數(shù)、2022年新高考全國II卷等都有考查。一般根據(jù)向量的數(shù)量積公式來求解向量的夾角，需要先求出向量的數(shù)量積和向量的模。中頻考點 平行垂直問題：如2024年上海夏季高考、2024年新課標全國Ⅰ卷、2022年全國甲卷文數(shù)等。主要通過向量平行或垂直的條件來建立方程求解參數(shù)，若，，則的充要條件是；的充要條件是。 平面向量取值與范圍問題：2024年天津高考、2023年全國乙卷理數(shù)、2022年新高考北京、天津、浙江數(shù)學(xué)高考等有涉及。此類問題通常需要結(jié)合平面向量的運算、幾何圖形的性質(zhì)以及函數(shù)、不等式等知識來求解。低頻考點 平面向量基本定理及其應(yīng)用：2022年新高考全國I卷有考查。主要是用已知的兩個不共線的向量作為基底來表示平面上的其他向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用平面圖形的幾何特征建立關(guān)系。命題趨勢注重基礎(chǔ)：向量題考得比較基礎(chǔ)，突出向量的幾何運算或代數(shù)運算，不側(cè)重于與其他知識交匯，難度不大，有利于考查向量的基本運算，符合課標要求。強調(diào)應(yīng)用：向量是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等問題中常作為工具出現(xiàn)，用來解決長度、距離、垂直、平行等問題，體現(xiàn)出數(shù)與形的完美結(jié)合。綜合創(chuàng)新：可能會出現(xiàn)一些與其他知識綜合的問題，或者在向量的背景下進行創(chuàng)新，考查學(xué)生的綜合運用能力和創(chuàng)新思維。三：考點梳理【題型一：平面向量的概念與線性運算】【知識點講解】平面向量的概念1.向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。2.向量的模：向量的大小叫做向量的模，記作。模是一個非負實數(shù)，它表示向量的長度。3.零向量：長度為的向量叫做零向量，記作。零向量的方向是任意的。4.單位向量：長度等于個單位的向量叫做單位向量。與非零向量同向的單位向量為。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。6.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。相等向量經(jīng)過平移后可以完全重合。平面向量的線性運算1.向量的加法 三角形法則：已知非零向量，，在平面內(nèi)任取一點，作，，則向量叫做與的和，記作，即。 平行四邊形法則：已知兩個不共線向量，，以同一點為起點的兩個向量，為鄰邊作平行四邊形$OACB$，則以為起點的對角線就是與的和，記作。 運算律：向量加法滿足交換律和結(jié)合律。2.向量的減法 相反向量：與向量長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。。 減法法則：。通常用三角形法則來求向量的減法，即已知，，在平面內(nèi)任取一點，作，，則。3.向量的數(shù)乘 定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作。當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，。。 運算律：設(shè)，為實數(shù)，則有，，。線性運算結(jié)論1.三點共線結(jié)論：若存在實數(shù)，使得，則，，三點共線。反之，若，，三點共線，則存在實數(shù)，使得（）。2.向量線性運算與中點關(guān)系：若是線段$AB$的中點，則，其中為平面內(nèi)任意一點。3.向量線性運算與重心關(guān)系：在中，為重心，則。反之，若，則為的重心。【考向一：平面向量的相關(guān)概念】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2324高一下·廣東江門·階段練習）設(shè)是非零向量，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】結(jié)合共線向量，單位向量，以及充分，必要條件的概念判斷即可.【詳解】對于非零向量，由可知向量共線，但不一定是，所以充分性不成立；由，可知向量共線同向，則，所以必要性成立，所以設(shè)是非零向量，則是成立的必要不充分條件，故選：C.【例題2】（2425高一下·海南三亞·階段練習）下列命題正確的是（

）A．若與共線，與共線，則與共線B．與向量共線的單位向量為C．若，則存在唯一的實數(shù)，使D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的定義判斷ABC，結(jié)合數(shù)乘的定義判斷D.【詳解】對于A，若，則與不一定共線，故A錯誤；對于B，與向量共線的單位向量為，故B錯誤；對于C，若，，則不存在唯一的實數(shù)，使，故C錯誤；對于D，，D正確.故選：D相似練習相似練習【相似題1】多選題．（2022·海南·模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（

）A．向量可以用有向線段表示B．非零向量與非零向量共線，則與的方向相同或相反C．向量與向量共線，則，，，四點在一條直線上D．如果，那么【答案】CD【分析】由向量的表示、共線向量的概念以及向量的模的定義逐一判斷各個選項即可求解.【詳解】對于A，可以用有向線段表示向量，故A不符合題意；對于B，非零向量與非零向量共線即平行，則與的方向相同或相反，故B不符合題意；對于C，例如在平行四邊形中，向量與向量共線，但，，，四點不在一條直線上，故C符合題意；對于D，如果，那么，但，故D符合題意.故選：CD.【相似題2】多選題（2425高一下·貴州遵義·階段練習）下列說法正確的是（

）A．我們把既有大小又有方向的量叫作向量 B．單位向量是相等向量C．零向量與任意向量平行 D．向量的模可以比較大小【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的定義以及單位向量，零向量的定義，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，我們把既有大小又有方向的量叫作向量，A正確，對于B，單位向量是長度為1的向量，方向不確定，故不一定是相等向量，B錯誤，對于C，

零向量與任意向量平行，C正確，對于D，向量的模長是實數(shù)，故可以比較大小，D正確.故選：ACD【考向二：平面向量的線性運算】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·貴州銅仁·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，是對角線上靠近點的三等分點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的加減法，和數(shù)乘運算法則直接求解即可.【詳解】因為是對角線上靠近點的三等分點，所以，則.故選：A【例題2】（2025·吉林長春·二模）在中，，點E在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運算將用與表示出來，再利用向量共線定理的推理即可得解.【詳解】因為，所以，則，因為三點共線，所以，解得.故選：C【例題3】（2024·四川·一模）如圖，在中，點分別在邊上，且，點為中點，則（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的線性運算計算可得結(jié)果.【詳解】由點為中點得：，因為，所以，因為，所以.故選：C相似練習相似練習【相似題1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，因為點分別為的中點，，所以，所以.故選：A.【相似題2】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）在△ABC中，點D在邊BC上，且E為AD的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由及向量的加減運算即可解．【詳解】如圖所示：

因為，所以，得,得,得,故選：C【相似題3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知點是的重心，點是線段的中點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運算化簡，求得，進而求得正確答案.【詳解】，所以.故選：C【考向三：平面向量的共線定理】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在中，點是線段上靠近點的三等分點，過點的直線分別交直線、于點、.設(shè)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合平面向量的減法可得出，結(jié)合，，可得出，利用、、三點共線，可求出的值.【詳解】連接，因為點是線段上靠近點的三等分點，則，即，所以，，又因為，，則，因為、、三點共線，設(shè)，則，所以，，且、不共線，所以，，，故，因此，.故選：C.【例題2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.【詳解】因為三點共線，所以存在實數(shù)k，使，即，又向量不共線，所以，由，所以，當且僅當時，取等號，即的最小值為4.故選：B【例題3】（2022·四川綿陽·二模）已知平面向量，不共線，，，，則（）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】D【分析】運用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點共線.【詳解】對于A，，與不共線，A不正確；對于B，，，則與不共線，B不正確；對于C，，，則與不共線，C不正確；對于D，，即，又線段AC與CD有公共點C，所以三點共線，D正確．故選：D．相似練習相似練習【相似題1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知，是兩個不共線的向量，命題甲：向量與共線；命題乙:則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用向量共線定理即可判斷.【詳解】對于命題甲，可設(shè)，即，則，所以；對于命題乙，時，，則有向量與共線.故甲是乙的充要條件.故選：C.【相似題2】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在中，是的中點，直線分別與交于點，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量運算法則，利用表示，結(jié)合向量三點共線的定理列式運算求解.【詳解】由，得.因為共線，所以，解得.故選：B.【相似題3】（2024·陜西西安·一模）在中，點是線段上一點，點是線段上一點，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到，解得即可.【詳解】因為，所以，即，又，所以，因為點是線段上一點，即、、三點共線，所以，解得.故選：A【題型二：平面向量的基本定理以及坐標表示】【知識點講解】平面向量基本定理定理內(nèi)容：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使。其中，不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。理解要點：平面內(nèi)任何向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，并且這種分解是唯一的。這為向量的運算和解決幾何問題提供了有力工具。定理的意義：平面向量基本定理是向量進行坐標表示的基礎(chǔ)，它將向量的研究從圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，使得我們可以通過數(shù)的運算來研究向量問題，把幾何問題代數(shù)化，從而簡化問題的解決過程。平面向量的坐標表示向量的坐標定義：在平面直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量，作為基底。對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，，使得，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由，唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標，記作，其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標。特殊向量坐標：零向量，單位向量，。向量坐標與點坐標的關(guān)系：若，，則。即向量的坐標等于終點的坐標減去起點的坐標。平面向量的坐標運算向量加法的坐標運算：設(shè)，，則。向量減法的坐標運算：設(shè)，，則。向量數(shù)乘的坐標運算：設(shè)，是實數(shù)，則。向量平行的坐標表示：設(shè)，，其中，則的充要條件是。重要結(jié)論平面向量基本定理的唯一性：若，且，則且。這進一步強調(diào)了平面向量在一組基底下分解的唯一性，有助于我們在解決向量問題時準確運用定理。向量坐標運算與幾何意義的聯(lián)系：向量的坐標運算結(jié)果與向量的幾何性質(zhì)緊密相關(guān)。例如，向量模長的坐標公式為（設(shè)），這是通過勾股定理從向量坐標得到向量模長的計算方法，體現(xiàn)了向量坐標與幾何長度的聯(lián)系。又如，向量的夾角公式（設(shè)，），將向量的夾角問題轉(zhuǎn)化為坐標運算，從而能方便地通過坐標來求解向量間的夾角。中點坐標公式：若，，則線段$AB$的中點的坐標為。這一公式可由向量的加法和中點的向量表示推導(dǎo)得出，在解決涉及線段中點的幾何問題和向量問題中經(jīng)常用到。【考向一：平面向量的基本定理應(yīng)用】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項，進行逐一分析即可.【詳解】對A：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對B：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對C：對和，因為是不共線的兩個非零向量，且存在實數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對D：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.【例題2】（2025高三·全國·專題練習）已知中，點，滿足，，設(shè)，，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)條件和向量的線性運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】如圖，由得，則，，又，所以，則，故選：A.【例題3】（2022·河南鄭州·三模）在中，是BC上一點，是線段AD上一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)已知向量關(guān)系得出,再應(yīng)用待定系數(shù)法求參即可.【詳解】.，由是線段AD上一點，設(shè)，其中，所以解得故選：D.相似練習相似練習【相似題1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）設(shè)平面向量，，若與不能作為平面向量的一組基底，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件，結(jié)合基底的定義列方程可求，再由數(shù)量積的坐標表示求.【詳解】因為與不能作為平面向量的一組基底，所以，又，，所以，故，所以，所以.故選：B.【相似題2】（2025·山東·模擬預(yù)測）在中，．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由為的中點得到，再由，即可求解；【詳解】因為，所以為的中點，所以．又，所以，所以，所以，所以，所以．故選：C【相似題3】（2025·廣東廣州·一模）在平行四邊形中，點是邊上的點，，點是線段的中點，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由，及即可求解.【詳解】

因為點是線段的中點，所以，又，所以，所以，故選：C【考向二：平面向量的坐標運算】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，將繞著起點順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到向量，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】建立如圖所示直角坐標系，利用向量的坐標表示求解即可；【詳解】

由圖可得，以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，設(shè)每個小正方形的邊長為1，，所以，因為，即，所以，所以.故選：A.【例題2】（2425高一下·廣東廣州·階段練習）已知點與，點在直線上，且，則點的坐標為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)有，設(shè)并應(yīng)用線性關(guān)系的坐標表示列方程求點坐標.【詳解】令，由點在直線上，，則，所以，則，可得，，則，可得，所以點的坐標為或.故選：D【例題3】（2425高一下·山東·階段練習）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的坐標運算求解即得.【詳解】由向量，得.故選：D相似練習相似練習【相似題1】（2425高一下·江蘇淮安·階段練習）若向量，則與方向相反的單位向量為.【答案】【分析】先求出向量的模長，再求出即可.【詳解】向量，則，故與方向相反的單位向量是故答案為：【相似題2】（2425高一下·湖北·階段練習）已知，，，且，，，若，．(1)求；(2)求滿足的實數(shù)m，n的值；(3)求M，N的坐標及向量的坐標．【答案】(1)；(2)；(3)，，．【分析】（1）計算出，利用線性運算得到；（2）根據(jù)向量運算法則得到方程組，求出；（3）計算出，得到，同理得到，得到的坐標.【詳解】（1）由題意得，，，所以；（2）因為，又，所以，解得，即；（3）設(shè)為坐標原點，∵，∴，即，又，∴，即，∴．【考向三：平面向量共線的坐標表示】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·遼寧遼陽·一模）已知向量，，.若、、三點共線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出向量，由題意可得，利用平面向量共線的坐標表示可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因為向量，，，所以，，因為、、三點共線，則，所以，，解得.故選：C.【例題2】（2020·陜西渭南·一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若，，且，則的面積為（

）A．3 B．C． D．3【答案】C【分析】由向量平行的坐標表示結(jié)合余弦定理可得，再由三角形的面積公式求解即可；【詳解】因，，且，所以，化為.所以，解得.所以.故選：C.【例題3】（2025·山東聊城·一模）已知角，向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量共線的坐標表示可求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值.【詳解】因為，則，向量，，若，則，可得，故.故選：B.相似練習相似練習【相似題1】（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知平面直角坐標系中，，，，若，則的坐標為：（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示及向量的線性運算的坐標表示求得即可得．【詳解】設(shè)，，所以，故.故選：B．【相似題2】（2025·江西新余·一模）已知向量，若與是共線向量，則實數(shù).【答案】/0.5【分析】由向量線性關(guān)系的坐標運算及共線的坐標表示列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，，且兩向量共線，所以，則.故答案為：【相似題3】（2025·湖南岳陽·一模）已知向量.若，則.【答案】【分析】用向量平行的坐標表示計算即可；【詳解】，，因為，所以，即.故答案為：.【題型三：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用】【知識點講解】平面向量數(shù)量積的定義定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為（），把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為。理解要點：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，其值的大小不僅與向量，的模長有關(guān)，還與它們夾角的余弦值有關(guān)。當兩向量夾角為銳角時，數(shù)量積為正；夾角為鈍角時，數(shù)量積為負；夾角為直角時，數(shù)量積為。幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積，也等于的長度與在方向上的投影的乘積。平面向量數(shù)量積的運算律交換律：。兩個向量進行數(shù)量積運算時，交換向量順序，結(jié)果不變。數(shù)乘結(jié)合律：，其中為實數(shù)。分配律：。在向量運算中常用于展開式子化簡計算。平面向量數(shù)量積的坐標表示若，，則。向量模長的坐標公式：由可得，若，則。向量夾角的坐標公式：設(shè)，，它們的夾角為（），則。平面向量數(shù)量積的應(yīng)用判斷向量垂直：若，為非零向量，則的充要條件是。從坐標角度看，若，，則。求向量的模：通過，將求向量模的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算。求向量的夾角：利用，可求出兩向量夾角的余弦值，進而確定夾角。重要結(jié)論。常用于求向量模長的平方或化簡含向量平方的式子。，當且僅當與共線時取等號。在證明題或求最值問題中常被用于放縮。設(shè)，，則的面積。通過向量數(shù)量積將三角形面積與向量聯(lián)系起來，方便解決涉及三角形面積且已知向量條件的問題?！究枷蛞唬浩矫嫦蛄繑?shù)量積的計算】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·江西上饒·一模）在平行四邊形中，，，，，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】以為基底，表示，，結(jié)合向量數(shù)量積的概念和運算律可求的值.【詳解】如圖：以為基底，則，，.且，，所以.故選：D【例題2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知△ABC是邊長為1的正三角形，是BN上一點且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意得，由三點共線求得，利用向量數(shù)量積運算求解即可.【詳解】由，得，且，而三點共線，則，即，所以，所以.故選：A.【例題3】（2025高三·全國·專題練習）在矩形中，，，動點在以點為圓心，且與相切的圓上，則的取值范圍為．【答案】【分析】以為原點建立平面直角坐標系，可得圓的方程為，設(shè)，根據(jù)的范圍結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算可得結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點建立平面直角坐標系，則，∴，，∴直線方程為，即，∴點到直線的距離為，即圓的半徑為，∴圓的方程為，設(shè)，由點在圓上可得，∵，∴，由得，，即的取值范圍為.故答案為：.相似練習相似練習【相似題1】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知中，，，AD為BC上的高，垂足為，點為AB上一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運算律得可得答案.【詳解】如圖所示，由題意可知，，，，故，因為，所以，則.故選：A.【相似題2】（2025·天津河西·一模）如圖所示，四邊形內(nèi)接于圓，，，則；設(shè)，且，則四邊形的面積為．【答案】【分析】（1）過作垂足為，則，再用數(shù)量積的運算律結(jié)合垂直向量求解即可；（2）在延長線上取點，使，取中點，由已知可得過圓心，求得，進而可求得梯形的高與上底，從而可求面積.【詳解】（1）過作垂足為，則，所以；（2）在延長線上取點，使，取中點，又因為，所以，由，可得，所以直線MN過圓心，在中，，，所以，，因為，所以,所以，所以等腰梯形高為，，所以等腰梯形面積為．

故答案為：①；②.【相似題3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，為直徑，，.則的長度為；.

【答案】【分析】首先根據(jù)圓的性質(zhì)，得到，再根據(jù)余弦定理，即可求解，直角三角形中分別求解和，轉(zhuǎn)化向量，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解.【詳解】因為是直徑，，，所以，，所以，，，所以；

在中，，中，，，，，.故答案為：；【考向二：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用（夾角與垂直+模長）】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·安徽合肥·二模）已知向量，，設(shè)，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件結(jié)合向量坐標運算公式求，，再求，，，再結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】因為，，所以，，所以，，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，即與的夾角為.故選：C.【例題2】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）已知向量在上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用投影向量的定義及向量夾角公式計算得解.【詳解】依題意，向量在上的投影向量為，則，由，得，于是，又，所以.故選：A【例題3】（2025·山東泰安·一模）已知向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩邊平方可得，再結(jié)合向量夾角的計算可得.【詳解】，所以，兩邊平方可得，又，所以，所以.故選：D相似練習相似練習【相似題1】（2025·山西·一模）已知向量，，滿足，，且在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用投影向量公式即可求解.【詳解】設(shè)，由在上的投影向量為，知，解得.故選：A【相似題2】（2025·河北秦皇島·一模）已知，均為平面上的單位向量，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)向量垂直得到，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律即可得到答案.【詳解】因為，則，則，即，所以，所以.故選：C.【相似題3】（2425高三下·安徽·階段練習）已知平面向量滿足，且，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及垂直關(guān)系的向量表示列式計算即可.【詳解】由，得，則，由，得，因此，所以.故選：A【相似題4】（2025·山西晉中·模擬預(yù)測）已知、是互相垂直的兩個單位向量，若向量與的夾角為，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)求出、、，利用平面向量數(shù)量積的定義可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因為、是互相垂直的兩個單位向量，則，且，由平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得，，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，即，則，且有，又因為，故.故選：D.【相似題5】（2025·新疆·二模）已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用模長公式求出，再用夾角公式即可得到答案.【詳解】由模長公式，由夾角公式【相似題6】（2025·福建福州·模擬預(yù)測）已知向量，，滿足，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的基本運算及向量的數(shù)量積應(yīng)用即可求得.【詳解】由，可知，且，則，，又，則，則，則，則故選：.【考向三：平面向量與三角函數(shù)的綜合】例題精選例題精選【例題1】（2025·江西·一模）設(shè)向量，，．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角中，角所對的邊分別為，若，，，求的面積【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示及三角恒等變換化簡求得，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求遞減區(qū)間；（2）由得，結(jié)合正弦定理可得，結(jié)合余弦定理有，聯(lián)立求得，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.【詳解】（1）由題意得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為為銳角三角形，由得，由可得，所以，故，在中，由正弦定理得，所以，所以①，由余弦定理得，得②，由①②解得，所以的面積為.【例題2】（2024·上海靜安·一模）已知向量，且.(1)求及；(2)記，求函數(shù)的最小值.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示和向量模的坐標運算即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果代入計算得，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.【詳解】（1）由題意得，由于則，因為，所以.（2），因為，則，則當，即時，該函數(shù)取得最小值.相似練習相似練習【相似題1】（2324高三上·四川內(nèi)江·階段練習）已知向量，，函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對邊，，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標表示求出，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.（2）由（1）的信息及已知求出，再利用正弦定理和面積公式可將三角形面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問題，確定自變量范圍，即可得解.【詳解】（1）依題意，，因此函數(shù)的最小正周期，由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知，，即，在銳角中，，則，即，由正弦定理，得，因此，由，得，則，于是，所以面積的取值范圍為.【相似題2】（2024·湖北恩施·二模）在中，角所對的邊分別為，設(shè)向量，，，.(1)求函數(shù)的最大值；(2)若，，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標運算得，利用降冪公式和輔助角公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（2）解得，由利用正弦定理邊化角得，再結(jié)合余弦定理求得，面積公式求的面積．【詳解】（1）.因為，所以，所以當，即時，有最大值；（2）因為，所以，所以，因為，所以，由正弦定理，所以，，又因為，所以，得，由余弦定理有：，即，所以，所以．課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練【第一部分：真題感悟】一、單選題1．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為，可得，即，可知等價于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“或”的必要不充分條件.故選：B.2．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.3．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.4．（2023·全國乙卷·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.5．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.6．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.7．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.8．（2023·全國乙卷·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，則：，則當時，有最大值.

當點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.9．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．二、填空題10．（2024·天津·高考真題）已知正方形的邊長為1，若，其中為實數(shù)，則；設(shè)是線段上的動點，為線段的中點，則的最小值為．【答案】【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標運算求的最小值.【詳解】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設(shè)，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當時，取到最小值；解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設(shè)，且為中點，則，可得，則，且，所以當時，取到最小值為；故答案為：；.11．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．【答案】【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當且僅當取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.

12．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.【第二部分：模擬提升】一、單選題1．（2025·甘肅蘭州·一模）與向量反向的單位向量是（

）A． B． C． D．2．（202