河北省武邑中學高三下學期期中考試數(shù)學（理）試題

河北省武邑中學2018屆高三下學期期中考試數(shù)學（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析:先化簡集合A，再求.詳解：由題得={x|2＜x＜3，x∈N}={1,0,1,2},所以.點睛：本題主要考查集合的化簡和集合的交集運算.在解不等式時，最好把它變成再解答，同時要注意N表示的是自然數(shù)，包括零.2.已知實數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先利用復數(shù)的運算化簡已知，再根據(jù)復數(shù)相等的概念求m,n，最后求出m+n的值.詳解：由題得4m+2n+(4n2m)i=5+3i,∴4m+2n=5,且4n2m=3，解之得所以m+n=.故選A.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)相等的概念，屬于基礎題.在計算時，要細心，不要計算出錯.3.給出下列命題：①已知，“且”是“”的充分條件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分條件；③已知，“”是“”的充分不必要條件；④命題：“，使且”的否定為：“，都有且”.其中正確命題的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】分析：利用充分條件必要條件充要條件的定義逐一判斷每個選項，即得正確選項.詳解：①由a＞1且b＞1?ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分條件，所以該命題正確；②平面向量，||＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），則|+|=1，因此|+|＞1不成立．反之取==，則||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1是“|+|＞1”的既不必要也不充分條件；③如圖在單位圓x2+y2=1上或圓外任取一點P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內(nèi)任取一點M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件，因此正確；④命題P：“?x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定為?p：“?x∈R，都有ex＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正確．其中正確命題的個數(shù)是2．故選C．點睛：本題考查了不等式的選擇與解法、平行向量有關性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．在判斷命題的真假時，要注意靈活，要說明它是假命題，可以證明，也可以舉反例.4.若定義在上的偶函數(shù)滿足，且當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（）A.6個B.4個C.3個D.2個【答案】B【解析】分析：在同一個坐標系中畫出函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象，這兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)即為所求．詳解：∵偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），故函數(shù)的周期為2．當x∈[0，1]時，f（x）=x，故當x∈[﹣1，0]時，f（x）=﹣x．因為函數(shù)y=f（x）﹣log3|x|的零點的個數(shù)等于函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象的交點個數(shù)．在同一個坐標系中畫出函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象，如圖所示：顯然函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象有4個交點，故選B．點睛：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，根據(jù)函數(shù)零點和方程的關系進行轉化是解決本題的關鍵．判斷零點個數(shù)一般有三種方法：（1）方程法；（2）圖像法；（3）方程+圖像法.本題利用的就是方法（3）.5.設函數(shù)，其中常數(shù)滿足.若函數(shù)（其中是函數(shù)的導數(shù)）是偶函數(shù)，則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．又，∴．選A．6.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的分別為，輸出的，那么判斷框中應填入的條件為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序運行即可找到答案.詳解：依次執(zhí)行程序框圖中的程序，可得：①，滿足條件，繼續(xù)運行；②，滿足條件，繼續(xù)運行；③，不滿足條件，停止運行，輸出．故判斷框內(nèi)應填n＜4，即n＜k+1．故選C．點睛：本題主要考查程序框圖和判斷框條件，屬于基礎題,直接按照程序運行，一般都可以找到答案.7.總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體編號為A.08B.07C.02D.01【答案】D【解析】試題分析：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于20的編號依次為08，02，14，07，02，01，．其中第二個和第四個都是02，重復．可知對應的數(shù)值為08，02，14，07，01，則第5個個體的編號為01考點：隨機抽樣8.已知，點是直線與圓的公共點，則的最大值為（）A.15B.9C.1D.【答案】B【解析】由于直線和圓有公共點，所以圓心到直線的距離不大于半徑，即，解得，將點坐標代入直線和圓的方程，有，第一個式子兩邊平方后，代入第二個式子，化簡得，二次函數(shù)對稱軸為，且開口向上，根據(jù)可知當時，有最大值為,點睛：本題主要考查直線和圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查二次函數(shù)求最值的方法，其中二次函數(shù)的定義域是有范圍的.由于直線和圓有交點，故圓心到直線的距離不大于半徑，由此可求得的取值范圍.再將點坐標代入兩個曲線的方程，化簡出關于的表達式，最后利用二次函數(shù)求最值的方法求得最大值.9.若不等式組所表示的平面區(qū)域存在點，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：若a=0，則不等式x+ay+2?0等價為x??2，此時不滿足條件，若a>0,則不等式等價為,直線的斜率,此時區(qū)域都在直線的上方，不滿足條件。若a<0,則不等式等價為,直線的斜率，若平面區(qū)域存在點(x0,y0),使x0+ay0+2?0成立，則只要滿足點A(0,2)滿足條件不等式此時區(qū)域都在直線的上方即可。即0+2a+2?0，解得a??1，本題選擇A選項.點睛：簡單的線性規(guī)劃有很強的實用性，線性規(guī)劃問題常有以下幾種類型：（1）平面區(qū)域的確定問題；（2）區(qū)域面積問題；（3）最值問題；（4）逆向求參數(shù)問題．而逆向求參數(shù)問題，是線性規(guī)劃中的難點，其主要是依據(jù)目標函數(shù)的最值或可行域的情況決定參數(shù)取值．若目標函數(shù)中含有參數(shù)，則一般會知道最值，此時要結合可行域，確定目標函數(shù)取得最值時所經(jīng)過的可行域內(nèi)的點（即最優(yōu)解），將點的坐標代入目標函數(shù)求得參數(shù)的值．10.北京某大學為第十八屆四中全會招募了30名志愿者（編號分別是1，2，…，30號），現(xiàn)從中任意選取6人按編號大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個編號較小的人在一組，三個編號較大的在另一組，那么確保6號、15號與24號同時入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是（）A.25B.32C.60D.100【答案】C【解析】試題分析：號、號與號放在一組，則其余三個編號要么都比6小，要么都比24大，比6小時，有種選法，都比24大時，有種選法，合計30種選法，號、號與在選廳時有兩種選法，所以選取的種數(shù)共有種，故正確選項為C.考點：組合與排列的概念.11.已知在中，兩直角邊，，是內(nèi)一點，且，設，則（）A.B.C.3D.【答案】A【解析】分析：建立平面直角坐標系，分別寫出B、C點坐標，由于∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），由平面向量坐標表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，2），因為∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．點睛：本題主要考察平面向量的坐標表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標系，分別寫出各點坐標，屬于中檔題．12.已知函數(shù)的定義域為，若對于分別為某個三角形的邊長，則稱為“三角形函數(shù)”.給出下列四個函數(shù)：①；②；③；④.其中為“三角形函數(shù)”的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：利用“三角形函數(shù)”的定義，分別判斷所給的四個函數(shù)，能求出結果找到答案．詳解：對于①，f（x）=lnx（e2≤x≤e3），對于?a，b，c∈[e2，e3]，f（a），f（b），f（c）∈[2，3]，∴f（a），f（b），f（c）分別為某個三角形的邊長，故①是“三角形函數(shù)”；在②中，f（x）=4﹣cosx，對于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[3，5]，∴f（a），f（b），f（c）分別為某個三角形的邊長，故②是“三角形函數(shù)”；在③中，，對于?a，b，c∈（1，4），f（a），f（b），f（c）∈（1，2），∴f（a），f（b），f（c）為某個三角形的邊長，故③是“三角形函數(shù)”；在④中，，是一個定義域內(nèi)的增函數(shù)，對于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈（0，1），∴f（a），f（b），f（c）不一定是某個三角形的邊長，如：f(a)=0.1,f(b)=0.1f(c)=0.8最短兩邊之和小于第三邊，故④不是“三角形函數(shù)”．故選C．點睛：本題考查“三角形函數(shù)”的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．對于這種定義題，一定要首先全面理解新定義，再利用新定義分析解答數(shù)學問題.二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若滿足約束條件，則的最小值是______.【答案】【解析】根據(jù)約束條件，做出可行域，如下圖：從圖中可以看出直線在可行域內(nèi)移動，當直線經(jīng)過點，取最大值，為故答案為14.若的展開式中的系數(shù)是80，則實數(shù)的值是_______.【答案】2【解析】解：（ax1）5的展開式中x3的系數(shù)C53（ax）3?（1）2=10a3x3=80x3，則實數(shù)a的值是2，15.已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為一正方形，則該幾何體的表面積為_______.【答案】【解析】由三四圖可得，該幾何體為如圖所示的三棱錐．∵正方體的棱長為2，∴,∴，∴該幾何體的表面積為．答案：16.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，，其中使得的最大值為0，則稱函數(shù)是“柯西函數(shù)”.給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是“柯西函數(shù)”的為_____.【答案】①④【解析】設，由向量的數(shù)量積的可得，當且僅當向量共線（三點共線）時等號成立．故的最大值為0時，當且僅當三點共線時成立．所以函數(shù)是“柯西函數(shù)”等價于函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得三點共線．對于①，函數(shù)圖象上不存在滿足題意的點；對于②，函數(shù)圖象上存在滿足題意的點；對于③，函數(shù)圖象上存在滿足題意的點；對于④，函數(shù)圖象不存在滿足題意的點．圖①圖②圖③圖④故函數(shù)①④是“柯西函數(shù)”．答案：①④點睛：（1）本題屬于新定義問題，讀懂題意是解題的關鍵，因此在解題時得到“柯西函數(shù)”即為圖象上存在兩點A,B，使得O,A,B三點共線是至關重要的，也是解題的突破口．（2）數(shù)形結合是解答本題的工具，借助于圖形可使得解答過程變得直觀形象．三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）見解析【解析】分析：（1）利用項和公式求數(shù)列的通項公式.（2）先求出，再裂項求和，再證明不等式.詳解：(1)當時，有，解得，當時，有，則整理得∴數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列∴.（2）由（1）有，則∴易知數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即.點睛：本題主要考查利用項和公式求數(shù)列的通項，考查裂項相消求和.項和公式是數(shù)列里非常重要的公式，主要用來求數(shù)列的通項.對于分式型的數(shù)列通項，一般利用裂項相消求和.18.高二某班共有20名男生，在一次體檢中這20名男生被平均分成兩個小組，第一組和第二組男生的身高（單位：cm）的莖葉圖如下：（1）根據(jù)莖葉圖，分別寫出兩組學生身高的中位數(shù)；（2）從該班身高超過180cm的7名男生中隨機選出2名男生參加籃球隊集訓，求這2名男生至少有1人來自第二組的概率；（3）在兩組身高位于（單位：cm）的男生中各隨機選出2人，設這4人中身高位于（單位：cm）的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）174，174.5（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)寫出各自中位數(shù)即可；（2）利用組合數(shù)公式和對立事件的概率公式進行求解；（3）寫出隨機變量的所有可能取值，求出每個變量的概率，列表得到其分布列，進而利用期望公式進行求解.試題解析：（1）第一組學生身高的中位數(shù)為，第二組學生身高的中位數(shù)為；（2）記“這2名男生至少有1人來自第二組”為事件，，∴這2名男生至少有1人來自第二組的概率為；（3）的可能取值為0，1，2，3，，，，∴的分布列為0123．19.菱形的對角線與交于點，，點分別在上，，交于點，將沿折到位置，.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：(1)證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即利用線線垂直進行論證，而線線垂直的尋找與論證往往需要利用平幾條件，如本題需利用勾股定理經(jīng)計算得出線垂直（2）一般可利用空間向量的數(shù)量積求二面角的大小，首先根據(jù)題意建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，設立各點坐標，利用方程組解出各面的法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求出兩個法向量的夾角的余弦值，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關系確定二面角的余弦值.試題解析：(1)由已知得，,又由得，故∥，因此，從而⊥.由得.由∥得.所以,.于是,故.又,而,所以平面.如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，.設是平面的法向量，則，即，可取.設是平面的法向量，則，即，可取于是，設二面角的大小為，.因此二面角的正弦值是.點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.20.設拋物線的準線與軸交于，拋物線的焦點，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線的一個交點為；自引直線交拋物線于兩個不同的點，設.（1）求拋物線的方程橢圓的方程；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】分析：（1）根據(jù)已知分別列方程組求標準方程中的待定系數(shù)即可.(2)先利用弦長公式計算出，再求函數(shù)的值域，即得的取值范圍.詳解：(1)設橢圓的標準方程為，由題意得，解得∴橢圓的方程為∴點的坐標為，∴，∴拋物線的方程是(2)由題意得直線的斜率存在，設其方程為，由消去整理得（*）∵直線與拋物線交于兩點，∴，設，則①，②，∵，∴∴，③由①②③消去得.∴，即，將代入上式得，，∵在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，∴，即的取值范圍為.點睛：本題的難點一是計算，其中的計算量比較大，字母參數(shù)比較多.難點二是求出后，利用什么方法求函數(shù)的值域，這里可以換元，設，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析函數(shù)的值域也可以.21.已知函數(shù).（1）設，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，設為函數(shù)圖象上不同的兩點，且滿足，設線段中點的橫坐標為，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）先求導，再對a分類討論，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分析法證明.詳解：(1),①時，定義域為當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，，故在上單調(diào)遞增；②時，定義域為當時，，故在上單調(diào)遞增