圓錐曲線-橢圓（學(xué)生版）

圓錐曲線橢圓知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）題型一、橢圓的定義【典例11】已知F1、F2是定點(diǎn)，|F1F2|＝6．若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）A．直線 B．線段 C．圓 D．橢圓【典例12】如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線【典例13】已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【典例14】已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【變式11】方程表示的曲線是，其標(biāo)準(zhǔn)方程是.題型二、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【典例21】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．【典例22】已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【典例23】過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是．【變式21】過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為．【變式22】已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型三、橢圓方程的充要條件表示橢圓的充要條件為：表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.【典例31】方程表示橢圓的充要條件是（

）A． B．C． D．或【典例32】已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓B．當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，曲線表示一條直線D．存在，使得曲線為等軸雙曲線【變式31】對(duì)于方程表示的曲線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線只能表示圓、橢圓或雙曲線 B．若為負(fù)角，則曲線為雙曲線C．若為正角，則曲線為橢圓 D．若為橢圓，則其焦點(diǎn)在軸上知識(shí)點(diǎn)2:橢圓的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2:橢圓的性質(zhì)范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)對(duì)稱性關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)、、焦距離心率焦點(diǎn)三角形面積焦點(diǎn)三角形面積①，（為短軸的端點(diǎn)）②③題型一、焦點(diǎn)三角形【典例11】該橢圓的左右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，滿足，則的面積為．【典例12】已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【典例13】（多選題）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上一點(diǎn)，則（

）A． B．的最大值為8C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【變式11】（多選題）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為為上異于的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，交軸于點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，使B．C．的最小值為D．周長(zhǎng)的最大值為8【變式12】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則的面積為（

）A． B． C． D．題型二：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題【典例42】已知是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【典例42】如果點(diǎn)P是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，那么的最大值是，最小值是．【典例43】已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為M，則的最小值是．題型三：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題【典例31】已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．5【典例32】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．10 D．【典例33】設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【典例34】若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式31】已知橢圓外一點(diǎn)A(5，6)，l為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到l的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例32】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（

）知識(shí)點(diǎn)三：直線與橢圓的位置關(guān)系位置關(guān)系將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，則（1）直線與知識(shí)點(diǎn)三：直線與橢圓的位置關(guān)系位置關(guān)系將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，則（1）直線與橢圓相交?；（2）直線與橢圓相切?；（3）直線與橢圓相離?.弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，則弦長(zhǎng)（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）點(diǎn)差法是橢圓的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為，運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故 題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系【典例11】直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【典例12】直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（

）A． B． C． D．【典例13】已知離心率為的橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，滿足垂直于軸，且.(1)求橢圓的方程；(2)直線的斜率存在，交橢圓于兩點(diǎn)，三點(diǎn)不共線，且直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，證明：直線過(guò)定點(diǎn).題型二：橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題【典例21】已知橢圓的離心率為e，且過(guò)點(diǎn)和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，求．【典例22】已知點(diǎn)B是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)P.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）直線與E交于點(diǎn)M，N，且，求m的值.【變式21】已知橢圓C：的焦距為，離心率為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且的面積為，求t的值.題型三：點(diǎn)差法的應(yīng)用【典例31】若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則的直線方程為.【典例22】已知為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)作一條弦，使此弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為.【典例23】已知橢圓．(1)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)求過(guò)點(diǎn)且被平