2024-2025學年高二上學期數(shù)學期末模擬卷二（人教A版）含答案解析

高中PAGE1試題2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+第二冊（空間向量與立體幾何、直線和圓的方程、圓錐曲線的方程、數(shù)列、導數(shù)）。4．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．2．若m，n，l為三條不同的直線，，為兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（

）A．如果，，則 B．如果，，，，則C．如果，，則 D．如果，，，則3．若兩個非零向量的夾角為，且滿足，則（

）A． B． C． D．4．已知橢圓的中心是坐標原點，是橢圓的焦點.若橢圓上存在點，使是等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．6．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第一天走的路程為（

）A．228里 B．192里 C．126里 D．63里7．阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等．尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質(zhì)．其中也包括圓錐曲線的光學性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則A． B． C． D．8．已知是面積為的等邊三角形，其頂點均在球的表面上，當點在球的表面上運動時，三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．有兩個極值點C．的極小值為 D．在上的最大值為10．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，.設第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．11．已知空間中三點，，，則（

）A． B．方向上的單位向量坐標是C．是平面ABC的一個法向量 D．在上的投影向量的模為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若圓：與圓內(nèi)切，則13．已知點是坐標原點，點是圓上的動點，點，則當實數(shù)變化時，的最小值為14．費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內(nèi)角均小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，為內(nèi)一點，記，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）若圓C經(jīng)過點和，且圓心在x軸上，則：(1)求圓C的方程．(2)直線與圓C交于E、F兩點，求線段的長度．16．（15分）已知正項數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．17．（15分）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．(1)證明：平面；(2)若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．18．（17分）雙曲線的左頂點為，焦距為4，過右焦點作垂直于實軸的直線交于、兩點，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動點，設直線、的斜率分別為、，若，求點到直線的距離的取值范圍．19．（17分）設函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在兩個零點，證明：.2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+第二冊（空間向量與立體幾何、直線和圓的方程、圓錐曲線的方程、數(shù)列、導數(shù)）。4．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：直線的斜率，則，可得，且，又因為，可得，由可知，所以.2．若m，n，l為三條不同的直線，，為兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（

）A．如果，，則 B．如果，，，，則C．如果，，則 D．如果，，，則【答案】C【解析】A：當時，才能由，，得到，所以本選項命題是假命題；B：只有當，時才能由，，得到，所以本選項命題是假命題；C：根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知本選項命題是真命題；D：因為，，，所以直線m，n沒有交點，因此m，n可以平行也可以異面，所以本選項命題是假命題，故選：C3．若兩個非零向量的夾角為，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以，所以.故選:A.4．已知橢圓的中心是坐標原點，是橢圓的焦點.若橢圓上存在點，使是等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設點為橢圓上位于第一象限內(nèi)的點，設為橢圓的左焦點，因為是等邊三角形，則，，，所以，，，所以，，由橢圓的定義可得，因此，橢圓的離心率為.5．已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，得，即，所以拋物線方程為.故選：D.6．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第一天走的路程為（

）A．228里 B．192里 C．126里 D．63里【答案】B【解析】由題意得，該人所走路程構成以為公比的等比數(shù)列，令該數(shù)列為，其前項和為，則有，解得，故選：B.7．阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等．尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質(zhì)．其中也包括圓錐曲線的光學性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，，由題意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以．故選B．8．已知是面積為的等邊三角形，其頂點均在球的表面上，當點在球的表面上運動時，三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，

設點M為外接圓的圓心，當點三點共線時，且分別位于點的異側(cè)時，三棱錐的體積取得最大值.因為的面積為，所以邊長為3，由于三棱錐的體積的最大值為，得，易知SM⊥平面ABC，則三棱錐為正三棱錐，的外接圓直徑為，所以,設球O的半徑為R，則,解得,所以球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．有兩個極值點C．的極小值為 D．在上的最大值為【答案】ABD【解析】因為，所以，當時，；當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，則有兩個極值點，B正確；且當時，取得極小值，A正確；且極小值為，C錯誤；又，，所以在上的最大值為，D正確.故選：ABD.10．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，.設第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因為，，，…，，以上個式子累加可得，，時也滿足上式，故，對選項A：，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：，錯誤；對選項D：，，正確；故選：AD.11．已知空間中三點，，，則（

）A． B．方向上的單位向量坐標是C．是平面ABC的一個法向量 D．在上的投影向量的模為【答案】BC【解析】對于A：，則，A錯誤；對于B：方向上的單位向量坐標是，B正確；對于C：，，又與不平行，故是平面ABC的一個法向量，C正確；對于D：在上的投影向量的模為，D錯誤.故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若圓：與圓內(nèi)切，則【答案】【解析】因為兩圓內(nèi)切，所以圓心距等于半徑之差的絕對值，所以，解得.故答案為：.13．已知點是坐標原點，點是圓上的動點，點，則當實數(shù)變化時，的最小值為【答案】6【解析】點在直線：上，圓心關于直線對稱點，圓：關于直線對稱圓：如圖：連接與圓交直線于點，連接交圓于，此時最小，，故的最小值為6.14．費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內(nèi)角均小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，為內(nèi)一點，記，則的最小值為.【答案】【解析】設為坐標原點，由，可得，且為銳角三角形，所以費馬點在線段上，如圖所示，設，則為頂角是的等腰三角形，可得，又由，則，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）若圓C經(jīng)過點和，且圓心在x軸上，則：(1)求圓C的方程．(2)直線與圓C交于E、F兩點，求線段的長度．【解析】（1）因為和，線段的中點為0,2，且，則的垂直平分線為，（3分）由圓的性質(zhì)可知，圓心在該直線上，又已知圓心在軸上，令，得，故圓心為，半徑，（5分）則圓C的方程為.（6分）由圓心2,0到直線的距離，（9分）.（13分）16．（15分）已知正項數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）由，得．，所以，故得，（3分）故是公差為2的等差數(shù)列，首項為，（3分）則，由，得，（3分）故，于是．（7分）（2）依題意，，故，（10分），（13分）即．（15分）17．（15分）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．(1)證明：平面；(2)若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．【解析】（1）證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．因為是圓柱的母線，所以且，所以四邊形是平行四邊形．（3分）所以，所以．因為是圓柱的母線，所以平面，（5分）又因為平面，所以．又因為，平面，所以平面．（6分）由（1）知是三棱錐底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．設，則在中有：，（8分）所以，（9分）當且僅當時等號成立，即點E，F(xiàn)分別是，的中點時，三棱錐的體積最大，（10分）解法二：等積轉(zhuǎn)化法：易得當F與距離最遠時取到最大值，此時E、F分別為、中點）（10分）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因為平面，所以．又因為，所以平面．因為平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知為直角三角形，則．（12分）故，所以二面角的正弦值為．（15分）法二：由（1）知兩兩相互垂直，如圖，以點E為原點，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則．（11分）由（1）知平面，故平面的法向量可取為．設平面的法向量為，由，（12分）得，即，即，取，得．（13分）設二面角的平面角為，，（14分）所以二面角的正弦值為（15分）18．（17分）雙曲線的左頂點為，焦距為4，過右焦點作垂直于實軸的直線交于、兩點，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動點，設直線、的斜率分別為、，若，求點到直線的距離的取值范圍．【解析】（1）依題意，，焦半徑，（1分）由，得，得，（2分）解得：（其中舍去），（3分）所以，故雙曲線的方程為；（5分）顯然直線不可能與軸平行，故可設直線的方程為，（6分）聯(lián)立，消去整理得，（8分）在條件下，設，，則，，（9分）由，得，（10分）即，（11分）整理得，（12分）代入韋達定理得，，（13分）化簡可消去所有的含的項，解得：或（舍去），（14分）則直線的方程為，得，（15分）又都在雙曲線的右支上，故有，，此時，，（16分）所以點到直線的距離的取值范圍為.（17分）19．（17分）設函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在兩個零點，證明：.【解析】（1）由于，則定義域為，（3分）可得：，（4分）當時，∵，∴，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；（5分）當時，∵，∴由可得，由得，（6分）故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（7分）（2）證明：∵，，，不妨設，則有，，（8分）兩式相加得，相減得，（9分）消去得：，（10分）令，則，（11分）要證，即證，也就是要證，即證，（13分）令，∵（15分）∴在上為增函數(shù)，，即成立，故.（17分）2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末模擬卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678CCAADBBA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ABDADBC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．614．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）【解析】（1）因為和，線段的中點為0,2，且，則的垂直平分線為，（3分）由圓的性質(zhì)可知，圓心在該直線上，又已知圓心在軸上，令，得，故圓心為，半徑，（5分）則圓C的方程為.（6分）由圓心2,0到直線的距離，（9分）.（13分）16．（15分）【解析】（1）由，得．，所以，故得，（3分）故是公差為2的等差數(shù)列，首項為，（3分）則，由，得，（3分）故，于是．（7分）（2）依題意，，故，（10分），（13分）即．（15分）17．（15分）【解析】（1）證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．因為是圓柱的母線，所以且，所以四邊形是平行四邊形．（3分）所以，所以．因為是圓柱的母線，所以平面，（5分）又因為平面，所以．又因為，平面，所以平面．（6分）由（1）知是三棱錐底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．設，則在中有：，（8分）所以，（9分）當且僅當時等號成立，即點E，F(xiàn)分別是，的中點時，三棱錐的體