河北省滄州市運東七縣2025屆高三下學期3月模擬（二）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省滄州市運東七縣2025屆高三下學期3月模擬（二）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為所以故選：C2.某同學記錄了3月1日到8日每天的最高溫（單位：℃），分別為，則該組數(shù)的第80百分位數(shù)為（）A.10 B.13 C.13.5 D.14【答案】D【解析】根據題意將數(shù)據從小到大排列有共8項數(shù)據，所以，故第80百分數(shù)為14.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以．故選：D．4.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，當且僅當時等號成立故選：D5.已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義得，，所以，故選：C6.已知函數(shù)的高階導數(shù)為，即對函數(shù)連續(xù)求階導數(shù)．例如，則，，，，，…，若，則的展開式中的系數(shù)是（）A.360 B.280 C.255 D.210【答案】D【解析】因為所以，繼續(xù)求二階導數(shù)得：，繼續(xù)求三階導數(shù)得：，……所以.所以的系數(shù)為.故選：D7.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1：發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設發(fā)送信號0和1是等可能的，已知接收的信號為0，則發(fā)送的信號是1的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設“發(fā)送的信號為0”，“接收到的信號為0”，則“發(fā)送的信號為1”，“接收到的信號為1”．由題意得，，，，，，．故選：B.8.在平面直角坐標系中，點，，向量，且，若為拋物線上一點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，因為，且，所以，消去得：即.因為拋物線，即，則，由，此時.因為點到直線的距離為：，即為的最小值.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為虛數(shù)單位，以下選項正確的是（）A.若復數(shù)滿足，則的最大值為6B.C.若復數(shù)，，滿足，則D.若，則的充要條件是，【答案】ABD【解析】對于選項A，令，因為，則，所以復數(shù)對應點在以原點為圓心，為半徑的圓上，又，其幾可意義表示點到距離，又到原點的距離為，所以的最大值為，故選項A正確，對于選項B，因，所以選項B正確，對于選項C，取，顯然有，但不一定相等，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，所以選項D正確，故選：ABD.10.在正方體中分別是的中點.下列說法正確的是（）A.平面B.異面直線與所成角的余弦值為C.過三點的平面截正方體所得截面圖形的周長為D.若點在正方體表面上運動，且點到點的距離與到點的距離之比為，則點的軌跡長度為【答案】ABD【解析】對于A，設為的中點，連接，則，而，所以，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，故A正確；對于B，取的中點，連接，則且，故或其補角為異面直線所成的角，而，故，故，故B正確；對于C，設直線與直線交于，連接角于，因為，故，同理，故，故，而，，故截面圖形的周長為，故C錯誤；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，則，故的軌跡為球與正方體表面的截線（如圖所示），每段弧的圓心角為，所在圓的半徑為，故三段弧長和為，故D正確.故選：ABD.11.在重伯努利試儉中，每次試驗事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的次數(shù)超過一半的概率為，下列敘述中正確的是（）A.若為奇數(shù)時，B.若為偶數(shù)時，C.若為奇數(shù)時，隨著的增大而增大D.若為偶數(shù)時，隨著的增大而增大【答案】BD【解析】當

時，二項分布對稱，即：,.對于選項A：由二項式系數(shù)的對稱性可知：事件

發(fā)生的次數(shù)超過一半的概率

等于事件

發(fā)生的次數(shù)少于一半的概率.因為

是奇數(shù)，所以事件

發(fā)生的次數(shù)恰好等于一半的概率為0，因此，，選項A錯誤；對于選項B：設

（

為正整數(shù)），則成功次數(shù)超過一半的條件為

.由于

，二項分布對稱，因此：，此外，

為中間項的概率.因此，總概率滿足：，由于

，有：，即：，由于

，因此：，因此，選項B是正確的；對于選項C：取，，取，，當很小，比如時，很接近于4，于是，所以，故C是錯誤的；對于選項D：當

為偶數(shù)時，設

，其中

為正整數(shù)，事件

發(fā)生的次數(shù)超過一半意味著

，設..由于

，且

，我們有：.由于

，則：.因此，

對于所有

成立.由于

且

，每一項的導數(shù)都是正的，因此

，即

隨著

的增大而增大，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為冪函數(shù)，目，則__________.【答案】【解析】依題意，設，由可得，解得，則，于是.故答案為：.13.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與雙曲線交于兩點，其中點在軸上方，設與的面積分別為，則__________.【答案】【解析】已知，則直線，即，將其代入雙曲線方程中得，設，則，故.故答案為：14.已知方程有且僅有兩個不相等的正實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】（1）當時，方程化為：，此時無解，舍去；（2）當時，考慮方程正實數(shù)根情況，只需研究當時方程解的情況，即此時方程化為，若此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則需（3）當時，因為，所以方程化為，若此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則需（4）當時，函數(shù)與軸有兩個零點函數(shù)與軸有兩個零點因為，所以即作出函數(shù)與函數(shù)圖象，由圖可知兩圖象有兩個不同交點，且交點橫坐標大于零，從而方程有兩個不相等的正實數(shù)根，綜上，滿足條件的取值范圍為或，即故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.在中，角的對邊分別為.（1）求證：；（2）若，求的面積.（1）證明：由題意得：，由余弦定理得，，所以，由于，所以或，因為，所以.（2）解：由正弦定理可得，即，得，由余弦定理可得，代入得，解得舍去），所以，故.16.已知函數(shù).（1）討論的極值點個數(shù)；（2）若存在實數(shù)使得軸為的切線，求的最大值.解：（1）由題意得若，則在上單調遞增，無極值點若，令，得，由于是增函數(shù).所以時，單調遞減，時，單調遞增，故是的唯一極小值點.綜上，當時，無極值點；時，有唯一極小值點，無極大值點.（2）設切點，由（1）知，因為軸為的切線，則解得，令，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故是的唯一極大值點.，所以的最大值為1.17.在三棱柱中，，點為的延長線上一點，且滿足.（1）從這5個點中任取4個點，可以構成多少個不同的三棱錐？并列舉所有符合條件的三棱錐；（2）證明：：（3）求直線與平面所成的角.（1）解：構成4個不同的三棱錐，分別是三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐；（2）證明：連接，因為，所以同理，取中點，連接，由等腰三角形三線合一,得,又平面平面，所以平面,平面，所以,（3）解法1：依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面為平面的一個法向量.直線與平面所成的角即直線與直線夾角的余角因為由（2）知，，所以為正三角形，故,故直線與平面所成的角為;解法2：依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，也就是點到平面的距離的，點到平面的距離為1，由（2）知為正三角形，，直線與平面所成角的正弦值是，所以直線與平面所成角為解法3：由（2）知平面，又平面，可得平面平面，在平面內，過作，垂足為因為平面平面，平面與平面，則平面，過作，可知平面，由此可知兩兩垂直，所以，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示.在等邊和等邊中，可求得，則在中，，，可知依題意，可知點在以為直徑的圓上，所以，由（2），所以，又平面平面，所以平面，為平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，，直線與平面所成角為18.已知橢圓的一個焦點短軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）連線與軸交于點，過焦點的直線與橢圓交于兩點.（i）證明：點在以為直徑的圓外：（ii）在上是否存在點使得是等邊三角形.若存在，求出直線方程，若不存在，請說明理由.解：（1）由題意得，所以，則橢圓的標準方程為，（2）（i）由題意得，，當直線斜率為0時，此時以為直徑的圓的方程為，顯然在此圓外；當直線斜率不為0時，設直線的方程為，由可得，，恒成立，設，則故在以為直徑的圓外.（ii）當斜率不存在時，，此時到距離為1，故不存在等邊三角形，當斜率為0時，易得不存在等邊三角形，當斜率存在且不為0時，設直線的方程為，設中點為，又，由（i）得，，由于在直線上，所以直線的斜率為，所以.，因為是等邊三角形，所以，則解得，即，故直線的方程為或.19.已知數(shù)列，其中.（1）若，集合表示集合的非空子集個數(shù).集合的第個非空子集中的所有元素之和記為，設.（i）直接寫出；（ii）計算的前項相和；（2）取，在數(shù)列中至少有一項為負值，且，將數(shù)列各項依次放在正五邊形各頂點上，每個頂點一項.任意相鄰三個頂點的三項為，若中間項，則進行如下交換，將變換為，直到正五邊形各頂點上的數(shù)均為非負時變換終止.求證：對任何符合條件的，上述變換終止只需進行有限多次.（1）解：（i）由則，，因此可得；由則，，因此可得；由則，，因此可得；故；（ii）由題意得集合，所以，解法1：（利用子集構成特點）由于集合的每個元素在其子集中出現(xiàn)的次數(shù)均為，故，所