32雙曲線單元教學(xué)設(shè)計-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

單元教學(xué)設(shè)計單元基本信息課程標(biāo)準(zhǔn)模塊選擇性必修第一冊使用教材版本2019人民教育出版社A版單元名稱3.2雙曲線單元課時數(shù)3一、單元學(xué)習(xí)主題分析（體現(xiàn)學(xué)習(xí)主題的育人價值）主題名稱3.2雙曲線主題概述在學(xué)習(xí)了平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上，在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)雙曲線方程，了解雙曲線與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握雙曲線的基本幾何性質(zhì)，感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。主題學(xué)情分析學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與方程，圓與方程，橢圓與方程等平面解析幾何基礎(chǔ)內(nèi)容的情況下，利用研究橢圓所用的坐標(biāo)法來研究雙曲線。學(xué)習(xí)條件支持定長細(xì)繩、圖釘，黑板、多媒體設(shè)備、三角尺重難點(diǎn)了解雙曲線的實(shí)際背景，感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線的過程，掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。二、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計（基于標(biāo)準(zhǔn)、分析教材、結(jié)合學(xué)情，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向）單元學(xué)習(xí)目標(biāo)了解雙曲線的實(shí)際背景，感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線的過程，掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。3.通過雙曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。三、各課時學(xué)習(xí)目標(biāo)（聚焦課時內(nèi)容，具體、可操作、可檢測，學(xué)習(xí)符合學(xué)科要求）學(xué)習(xí)目標(biāo)解析（明確各學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成之后，學(xué)生的具體表現(xiàn)和評價方式。）第1課時3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.知識目標(biāo)：掌握雙曲線的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程,并會根據(jù)已知條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.能力目標(biāo)：教材通過具體實(shí)例類比橢圓的定義,引出雙曲線的定義,通過類比推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.情感目標(biāo)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),可以培養(yǎng)我們類比推理的能力,激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題、解決問題的能力.第2課時3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（第一課）1.知識目標(biāo)：（1）掌握雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、實(shí)軸、虛軸、離心率；（2）掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c、e之間的關(guān)系。2.能力目標(biāo)：通過跟橢圓的幾何性質(zhì)的類比得到雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比分析、邏輯推理、理性思維、數(shù)形結(jié)合的能力。3.情感目標(biāo)：通過本節(jié)課的探究培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題、解決問題的能力.第3課時3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（第二課）１．熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)；2．了解雙曲線的簡單應(yīng)用．四、各課時任務(wù)設(shè)計及學(xué)習(xí)活動（指向?qū)W習(xí)目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的活動與體驗(yàn)）第1課時3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、問題情境：做下面一個實(shí)驗(yàn)．(1)取一條拉鏈，拉開一部分．(2)在拉開的兩邊各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上．(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．試觀察這是一條什么樣的曲線？點(diǎn)M在運(yùn)動過程中滿足什么幾何條件？二、探究新知識：1．雙曲線的定義文字語言平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡.符號語言||PF1|－|PF2||＝常數(shù)(常數(shù)＜|F1F2|)焦點(diǎn)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2焦距兩焦點(diǎn)間的距離思考：(1)雙曲線定義中，將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？(2)雙曲線的定義中，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|MF1|－|MF2|＝2a(常數(shù))，且2a<|F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡是什么？[提示](1)當(dāng)距離之差的絕對值等于|F1F2|時，動點(diǎn)的軌跡是兩條射線，端點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，當(dāng)距離之差的絕對值大于|F1F2|時，動點(diǎn)的軌跡不存在．(2)點(diǎn)M在雙曲線的右支上．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2三、例題探析：【例1】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a＝4，經(jīng)過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(3eq\r(2)，2)；(3)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．[思路探究](1)結(jié)合a的值設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求解．(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)相同，所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系數(shù)法求解，或設(shè)出統(tǒng)一方程求解．(3)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定，可設(shè)出一般方程求解．[解](1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)<0，不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b>0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2＝9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)法一：∵焦點(diǎn)相同，∴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ①∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,b2)＝1. ②由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.法二：設(shè)所求雙曲線的方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．∵雙曲線過點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(3)設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.∵點(diǎn)P，Q在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.1．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式．(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解．2．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可．提醒：若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標(biāo)明條件mn＜0.四、課堂練習(xí)：1．動點(diǎn)P到點(diǎn)M(1,0)的距離與點(diǎn)N(3,0)的距離之差為2，則點(diǎn)P的軌跡是()A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．兩條射線 D．一條射線D[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以點(diǎn)P的軌跡是一條以N為端點(diǎn)的射線．]2．已知m，n∈R，則“mn＜0”是“方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線，必有mn＜0；當(dāng)mn＜0時，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線，所以“mn＜0”是“方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示雙曲線”的充要條件．]3．已知雙曲線方程為2x2－y2＝k，焦距為6，則k的值為________．±6[若焦點(diǎn)在x軸上，則方程可化為eq\f(x2,\f(k,2))－eq\f(y2,k)＝1，所以eq\f(k,2)＋k＝32，解得k＝6；若焦點(diǎn)在y軸上，則方程可化為eq\f(y2,－k)－eq\f(x2,\f(－k,2))＝1，所以－k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))＝32，即k＝－6.綜上所述，k的值為6或－6.]4．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于________．4[在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2eq\r(2))2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.]5．已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線方程．[解]因?yàn)闄E圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦點(diǎn)為(0，－3)，(0,3)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(15)，4)或(－eq\r(15)，4)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5，))所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.五、課堂小結(jié)：讓學(xué)生做總結(jié)。六、作業(yè)：P127習(xí)題3.2第1、2題七、課后反思：第2課時3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（第一課）一、問題情境：(1)復(fù)習(xí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、長軸、短軸、離心率等性質(zhì)．(2)用多媒體展示幾組焦點(diǎn)在x軸、y軸上開口大小各不相同的雙曲線，觀察雙曲線形狀的美．(3)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，那么雙曲線有哪些幾何性質(zhì)呢？二、探究新知識：1．雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)軸長實(shí)軸長＝2a，虛軸長＝2b離心率e＝eq\f(c,a)>1漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x思考：漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎？[提示]漸近線相同的雙曲線有無數(shù)條，但它們實(shí)軸與虛軸的長的比值相同．2．雙曲線的中心和等軸雙曲線(1)雙曲線的中心雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心．(2)等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率e＝eq\r(2).三、例題探析：【例1】求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．[解]雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq\r(13).又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)，(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\r(13)，0)，(eq\r(13)，0)，實(shí)軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x.四、課堂練習(xí)：求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長為8，離心率為eq\f(5,3)；(2)兩頂點(diǎn)間的距離是6，兩焦點(diǎn)的連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分；(3)與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(－3，2eq\r(3))．[思路探究]由幾何性質(zhì)求雙曲線方程，多是根據(jù)題設(shè)信息尋找a，b，c，e之間的關(guān)系，并通過構(gòu)造方程獲得問題的解(解出a，b或a2，b2的值)．[解](1)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則2b＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，從而b＝4，c＝eq\f(5,3)a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)由兩頂點(diǎn)間的距離是6得2a＝6，即a＝3.由兩焦點(diǎn)的連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1.(3)法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f((－3)2,a2)－\f((2\r(3))2,b2)＝1，))解得a2＝eq\f(9,4)，b2＝4，所以雙曲線的方程為eq\f(4x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1.由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝\f(4,3)，,\f((2\r(3))2,a2)－\f((－3)2,b2)＝1，))解得a2＝－4，b2＝－eq\f(9,4)(舍去)綜上所得，雙曲線的方程為eq\f(4x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.法二：設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(－3,2eq\r(3))代入得λ＝eq\f(1,4)，所以雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝eq\f(1,4)，即eq\f(4x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.五、方法總結(jié)：1．由幾何性質(zhì)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的解題思路由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)不明確時，方程可能有兩種形式，此時應(yīng)注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)．2．常見雙曲線方程的設(shè)法(1)漸近線為y＝±eq\f(n,m)x的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．(2)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ≠0)．(3)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)離心率相等的雙曲線系方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0)，這是因?yàn)橛呻x心率不能確定焦點(diǎn)位置．(4)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦點(diǎn)的雙曲線系方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)．六、課堂小結(jié)：讓學(xué)生做總結(jié)。七、作業(yè)：P127習(xí)題3.2第3,4題。八、課后反思：第3課時3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（第二課）一、復(fù)習(xí)回顧：師生回顧上一節(jié)內(nèi)容。二、探究1：1．雙曲線的離心率的范圍怎樣？對雙曲線的形狀有什么影響？[提示]在雙曲線方程中，因?yàn)閍＜c，所以離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)，它的大小決定了雙曲線的開口大小，e越大，開口就越大．2．雙曲線的離心率與其漸近線斜率有什么關(guān)系？[提示]e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，漸近線斜率為k，則e＝eq\r(1＋k2)，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，漸近線斜率為k，則e＝eq\r(1＋\f(1,k2)).三、例題探析：【例3】(1)已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，則其離心率為________．(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為eq\f(\r(3),2)c，求其離心率的值．[思路探究](1)利用離心率eq\f(c,a)與eq\f(b,a)的關(guān)系，注意要分類討論焦點(diǎn)的位置．(2)利用條件建立齊次方程求解．(1)eq\r(5)或eq\f(\r(5),2)[當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，eq\f(b,a)＝2，這時離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋22)＝eq\r(5).當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，eq\f(a,b)＝2，即eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，這時離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2).](2)[解]因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0的距離為eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b，所以b＝eq\f(\r(3),2)c，因此a2＝c2－b2＝c2－eq\f(3,4)c2＝eq\f(1,4)c2，a＝eq\f(1,2)c，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝2.四、方法歸納：求雙曲線離心率的方法(1)若可求得a，c，則直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)若已知a，b，可直接利用e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))得解．(3)若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．五、課堂練習(xí)：2．過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為________．2＋eq\r(3)[如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2a代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，得y2＝3b2，不妨令點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a，－eq\r(3)b)，此時kPF2＝eq\f(\r(3)b,c－2a)＝eq\f(b,a)，得到c＝(2＋eq\r(3))a，即雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝2＋eq\r(3).]六、探究2：1．直線和雙曲線只有一個公共點(diǎn)，那么直線和雙曲線一定相切嗎？[提示]可能相切，也可能相交，當(dāng)直線和漸近線平行時，直線和雙曲線相交且只有一個交點(diǎn)．2．過點(diǎn)(0,2)和雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1只有一個公共點(diǎn)的直線有幾條？[提示]四條，其中兩條切線，兩條和漸近線平行的直線．【例4】已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1.(1)若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為eq\r(2)，求實(shí)數(shù)k的值．[思路探究]直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組?判斷“Δ”與“0”的關(guān)系?直線與雙曲線的位置關(guān)系．[解](1)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直線與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋8(1－k2)＞0，))解得－eq\r(2)＜k＜eq\r(2)，且k≠±1.∴若l與C有兩個不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－eq\r(2)，－1)∪(－1,1)∪(1，eq\r(2))．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，對于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－eq\f(2k,1－k2)，x1x2＝－eq\f(2,1－k2)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2k,1－k2)))\s\up12(2)＋\f(8,1－k2))＝eq\r(\f((1＋k2)(8－4k2),(1－k2)2)).又∵點(diǎn)O(0,0)到直線y＝kx－1的距離d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(\f(8－4k2,(1－k2)2))＝eq\r(2)，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±eq\f(\r(6),2).∴實(shí)數(shù)k的值為±eq\f(\r(6),2)或0.七、方法歸納：直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)方程思想的應(yīng)用把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．①Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點(diǎn)．②Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)．③Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用①直線過定點(diǎn)時，根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系．②直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系．提醒：利用判別式來判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個數(shù)問題的前提是通過消元化為一元二次方程．八、課堂練習(xí)：3．已知雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1，求過點(diǎn)A(3，－1)且被點(diǎn)A平分的弦MN所在直線的方程．[解]法一：由題意知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3k－1，,\f(x2,4)－y2＝1，))消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(8k(3k＋1),4k2－1).∵A(3，－1)為MN的中點(diǎn)，∴eq\f(x1＋x2,2)＝3，即eq\f(8k(3k＋1),2(4k2－1))＝3，解得k＝－eq\f(3,4).當(dāng)k＝－eq\f(3,4)時，滿足Δ>0，符合題意，∴所求直線MN的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.法二：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M(jìn)，N均在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)－y\o\al(2,1)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)－y\o\al(2,2)＝1，))兩式相減，得eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),4)＝y(tǒng)eq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4(y2＋y1)).∵點(diǎn)A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4(y2＋y1))＝－eq\f(3,4).經(jīng)驗(yàn)證，該直線MN存在．∴所求直線MN的方程為y＋1＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－5＝0.九、課堂小結(jié)：1．漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)．兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)右邊的常數(shù)1換為0，就是漸近線方程．反之由漸近線方程ax±by＝0變?yōu)閍2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再結(jié)合其他條件求得λ，可得雙曲線方程．2．與雙曲線有關(guān)的其他幾何性質(zhì)(1)通徑：過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝1))(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)作垂直于焦點(diǎn)所在對稱軸的直線，該直線被雙曲線截得的弦叫做通徑，其長度為eq\f(2b2,a).(2)焦點(diǎn)三角形：雙曲線上的點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．設(shè)∠F1PF2＝θ，則焦點(diǎn)三角形的面積S＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).(3)距離：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)右支上任意一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的最小距離為a＋c，到右焦點(diǎn)的最小距離為c－a.(4)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率相等的雙曲線系方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0)．(5)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為eq\f(x2,a2＋k)－eq\f(y2,b2－k)＝1(－a2＜k＜b2)．十、作業(yè)：1．已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，在平面內(nèi)滿足下列條件的動點(diǎn)P的軌跡中為雙曲線的是()A．|PF1|－|PF2|＝±3B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|