82一元線性回歸模型及其應用第2課時教學設計-高二下學期數學人教A版選擇性

8.2《一元線性回歸模型及其應用》教學設計第2課時一、教學目標（一）新課標要求理解一元線性回歸模型的概念，掌握參數估計的最小二乘法。會利用一元線性回歸模型進行預測，了解模型的適用范圍和局限性。能夠通過殘差分析判斷模型的擬合效果，理解決定系數的意義。（二）核心素養(yǎng)數學抽象：從實際問題中抽象出一元線性回歸模型，理解模型中參數的意義。數學運算：運用最小二乘法計算回歸方程的參數，計算殘差和決定系數。數據分析：通過對數據的分析，建立合適的回歸模型，并對模型的擬合效果進行評價。邏輯推理：根據殘差分析和決定系數判斷模型的合理性，對模型進行改進。二、教學重難點（一）教學重點一元線性回歸模型的建立和參數估計。利用回歸方程進行預測和殘差分析。（二）教學難點理解最小二乘法的原理。通過殘差分析和決定系數評價模型的擬合效果。三、教學方法講授法、案例分析法、小組討論法四、教學過程（一）導入（5分鐘）展示教材中關于樹高與胸徑關系的數據表，并引導學生觀察散點圖.提問：從圖中可以看出樹高和胸徑之間存在怎樣的關系？能否用一個數學模型來描述這種關系？從而引出本節(jié)課的主題——一元線性回歸模型.（二）新課講授（20分鐘）一元線性回歸模型的概念首先，在黑板上或通過多媒體展示一元線性回歸模型的一般形式：然后，詳細解釋各個符號的含義：是響應變量，也就是我們想要研究和預測的變量，比如在樹高與胸徑的例子中，樹高就是響應變量；是解釋變量，它是用來解釋響應變量變化的因素，這里胸徑就是解釋變量.和是模型的參數，表示回歸直線的斜率，反映了每變動一個單位時，的平均變動量；表示回歸直線在軸上的截距.是隨機誤差項，它包含了除之外其他所有影響的因素，這些因素是我們無法控制或未考慮到的，并且滿足（即隨機誤差的均值為0，意味著從平均意義上，這些隨機因素的影響相互抵消）和（表示隨機誤差的方差為，衡量了隨機誤差的離散程度）.通過上面教材中樹高與胸徑關系的圖表（圖8.23、圖8.29），結合圖表強調在實際問題中，我們通過觀察散點圖（如圖8.29中散點大致分布在一條直線附近），判斷兩個變量可能存在線性關系，從而考慮使用一元線性回歸模型來描述它們之間的關系。明確指出在這個例子里，胸徑是解釋變量，樹高是響應變量.在平面直角坐標系中，每個樣本點，這里是樣本數量，對于表8.23中數據(=12)都對應一個實際觀測到的胸徑和樹高的組合.根據表8.23中的數據，實際計算樹高與胸徑的經驗回歸方程利用回歸方程進行預測和殘差分析計算樹高的預測值：例如，當胸徑=18.1時，19.4，將計算結果填入類似表8.24的表格中.引入殘差的概念：對比樹高的實際觀測值和預測值，定義殘差.在樹高的例子中，當胸徑=18.1時，實際樹高=18.8，預測樹高19.4，則殘差=18.819.4=0.6，依次計算出表8.24中所有的殘差.以胸徑為橫坐標，殘差為縱坐標，殘差圖（圖8.211）如下：引導學生觀察殘差圖的特點：觀察殘差是否均勻地分布在橫軸兩側。如果是，說明模型能夠較好地擬合數據，因為這意味著隨機誤差是隨機分布的，模型能夠捕捉到數據中的主要線性關系；如果殘差呈現明顯的規(guī)律，比如大部分殘差在某一段集中在橫軸上方或下方，或者呈現周期性變化等，這就說明模型可能存在問題，可能變量之間不是簡單的線性關系，或者還有其他重要因素沒有被納入模型.觀察殘差的絕對值大小。殘差的絕對值越小，說明預測值越接近實際值，模型的預測效果越好；如果殘差的絕對值較大，說明模型的預測存在較大誤差，需要對模型進行改進.決定系數給出決定系數公式，并詳細解釋其意義：首先解釋分子是殘差平方和，它衡量了模型預測值與實際值之間的差異程度，這個值越小，說明模型的擬合效果越好.分母是總離差平方和，它反映了響應變量自身的離散程度.越接近1，說明殘差平方和相對于總離差平方和越小，即模型能夠解釋的的變化部分越多，模型的擬合效果就越好；越接近0，說明模型能夠解釋的的變化部分越少，模型的擬合效果越差.當=1時，說明所有樣本點都在回歸直線上，模型完全擬合數據；當=0時，說明回歸直線完全不能解釋的變化，相當于用均值來預測.結合男子短跑100m世界紀錄的案例（表8.25至表8.27），對比兩個經驗回歸方程的值：展示一元線性回歸方程和非線性回歸方程.根據表8.27中計算出的殘差，分別計算兩個方程的值（詳細展示計算過程）.通過對比發(fā)現，非線性回歸方程的值更接近1，說明非線性回歸模型對于原始數據的擬合效果遠遠好于一元線性回歸模型。同時，結合圖8.216和圖8.217，從直觀上讓學生看到非線性回歸曲線對散點的擬合程度更好，進一步理解值與模型擬合效果的關系.（三）例題講解（10分鐘）例：參考教材中關于20032012年我國國內生產總值GDP的練習（P120練習2）作GDP和年份的散點圖（根據表中數據），引導學生觀察散點圖，猜想它們之間的關系可以用一元線性回歸模型描述.設年份為，GDP為，設=10（20032012共10年）進而得到經驗回歸方程計算殘差：根據，依次計算每個數據對應的殘差.預測2023年的GDP：將=2023代入回歸方程得到預測值，與實際的GDP對比，計算誤差.分析模型：引導學生根據殘差和決定系數（可補充計算）判斷模型能否較好地刻畫GDP和年份的關系.（四）課堂練習（10分鐘）讓學生完成教材P120練習1：在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決哪些問題？引導學生從判斷模型擬合效果、發(fā)現異常點等方面思考.繼續(xù)完成教材P120練習2中關于20132022年GDP數據的部分：建立年份為解釋變量，GDP為響應變量的經驗回歸方程，并預測2023年的GDP，與實際的GDP誤差是多少？組織學生小組討論，分析模型的優(yōu)缺點.（五）課堂小結（3分鐘）與學生一起回顧一元線性回歸模型的主要內容，包括模型的概念、參數估計方法（最小二乘法）、預測和殘差分析以及決定系數的應用.強調在