湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次聯(lián)考（3月）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次聯(lián)考（3月）數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的.）1.復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】復(fù)數(shù)的實部為2，虛部為.故選：B.2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，又，．故選：B.3.在平行四邊形中，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖，.故選：B.4.已知，則（）A.1 B. C.5 D.【答案】A【解析】，則.故選：A.5.已知的面積為，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】∵的面積為，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：D.6.在中，角所對應(yīng)的邊分別是，下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則為銳角三角形【答案】B【解析】由，則，A錯；由，則，結(jié)合正弦邊角關(guān)系得，B對；由，若為鈍角、為銳角，則，C錯；由，則，故，所以為銳角，但不能確定為銳角三角形，D錯.故選：B.7.設(shè)均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，即，即，所以，即，所以充分性成立，若，則，此時，，所以，即，所以必要性成立，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C.8.已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，函數(shù)，令，則，由得，∴，即.∵，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∵定義域為，且，∴是上的奇函數(shù)，故.∴由得，，解得或，∴實數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多項選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若與的夾角為鈍角，則且D.若，則或【答案】ABD【解析】，則，故，A正確；若，則，故，B正確；若與的夾角為鈍角，則且與為不共線向量，即且，如取，C錯誤；，解方程得或，D正確.故選：ABD.10.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（）A.最小正周期為 B.最大值為3C.圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】的最小正周期為的最小正周期為，故的最小正周期為，A正確；易知的最大值不超過，當(dāng)且時，需同時滿足且，此時無解，故實際最大值小于，B錯誤；若的圖象關(guān)于對稱，則，而，與矛盾，故的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；由知，不滿足在上單調(diào)遞增的定義，D錯誤.故選：BCD.11.函數(shù)滿足對任意實數(shù)，有，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是偶函數(shù)C. D.存在實數(shù)使得【答案】CD【解析】令，得，故為任意值，A錯誤；令，得，結(jié)合，得，不滿足偶函數(shù)定義，B錯誤；通過構(gòu)造可令，可得，，即，C正確；函數(shù)滿足條件，即.當(dāng)時，有，存在非零實數(shù)解，D正確.故選：CD.三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分.）12.已知復(fù)數(shù)滿足：，則__________.【答案】2【解析】由已知，得，所以.13.在中，角所對的邊分別為.若，則__________.【答案】【解析】在中，由正弦定理，得，而，則，由余弦定理，得，再由余弦定理，得.14.已知函數(shù)，若存在兩個零點(diǎn)，且，則實數(shù)__________.【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象，再畫出直線，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線與函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點(diǎn)，此時滿足，即.不妨設(shè)，則，從而即設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以，又，解得，所以.四、解答題（本大題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知向量.（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，求與夾角的余弦值；（3）求的最大值.解：（1）因為，設(shè)，則，所以，即或.（2）因為，所以得到8=8×5-9×5×35（3）因為a≤5+60+180=245，所以，當(dāng)且僅當(dāng)同向時等號成立.16.在中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大小；（2）若為的中點(diǎn)，，求的面積.解：（1）由余弦定理知，，化簡為，化簡為，，，.（2）因為，所以，即，得，中，由余弦定理得，即，聯(lián)立,可得，.17.如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂場.游樂場的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為；邊界的中間部分為長1千米的直線段，且；游樂場的后一部分邊界是以為圓心的一段圓弧.（1）曲線段上的入口距海岸線的距離為1千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口修一條筆直的景觀路到，求景觀路的長度；（2）如圖，在扇形區(qū)域內(nèi)建一個矩形休閑區(qū)，矩形的一邊在海岸線上，一個頂點(diǎn)在半徑上，另外一個頂點(diǎn)在圓弧上，求矩形休閑區(qū)面積的最大值和此時點(diǎn)的位置.解：（1）由已知條件，得，又，又當(dāng)時，有，且，曲線段的解析式為.由，根據(jù)圖象得到，解得，又.景觀路的長為千米.（2）易知，又，，記，在中，.即，，又，中，.所以.故，，當(dāng)時，即時，矩形面積最大為平方千米，此時點(diǎn)在弧的中點(diǎn)上.18.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的值；（2）直接指出函數(shù)的單調(diào)性（不證明），并解不等式；（3）證明：方程在有唯一實根，且.解：（1）由函數(shù)為偶函數(shù)，得，即.即，要使恒成立，即需，所以.（2）.由于當(dāng)時，有，且顯然遞增，故遞增.而是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因此偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.結(jié)合單調(diào)性，可知不等式等價于，即或.解得或，所以原不等式的解集為.（3）設(shè)，則.從而在上單調(diào)遞減，而，，所以在上有唯一實根.又因為，從而，即.19.對非空整數(shù)集合及，定義，對于非空整數(shù)集合，定義.注：是指滿足且的最小自然數(shù).（1）設(shè)，請直接寫出集合；（2）設(shè)，求出非空整數(shù)集合的元素個數(shù)的最小值；（3）對三個非空整數(shù)集合，若且，求的所有可能取值.解：（1）若，由集合新定義知.（2）設(shè)有個元素，下證，一方面，，則，所以，即，而，這表明了滿足題意，此時，故；另一方面：若，不妨設(shè)且，由題意可知，而最多含有個元素，當(dāng)且僅當(dāng)兩兩不同且時，等號成立，但這與有80個元素矛盾，所以