安徽省蚌埠市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次教學(xué)質(zhì)量檢查考試試題 理（含解析）（通用）

1、蚌埠市2020屆高三年級第三次教學(xué)質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)（理工類）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（ ）A. 1B. C. -1D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的除法運(yùn)算法則，分子分母同乘以，進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】,故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵.本題還有一種巧解方法是.2.已知集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通過解不等式，把集合化簡，然后求出.【詳解】因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以，因此，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算、正

2、確求解不等式是本題的關(guān)鍵.3.函數(shù)的圖像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)值f(0)=1排除選項(xiàng)C,D;再根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)可得f(x)0恒成立，即可得到答案.【詳解】，可得f(0)=1,排除選項(xiàng)C,D;由指數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)可得函數(shù)f(x)0恒成立，排除選項(xiàng)B，故選：A【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.4.我市高三年級第二次質(zhì)量檢測的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分

3、布，且.已知我市某校有800人參加此次考試，據(jù)此估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績不低于90分的人數(shù)為（ ）A. 64B. 81C. 100D. 121【答案】A【解析】【分析】通過數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，可以看出數(shù)學(xué)成績關(guān)于對稱，通過，可以計(jì)算出，這樣可以求出，這樣就可以估計(jì)出我市某校有800人參加此次考試，該校數(shù)學(xué)成績不低于90分的人數(shù).【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，所以數(shù)學(xué)成績關(guān)于對稱，已知，所以 ， ，所以我市某校有800人參加此次考試，據(jù)此估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績不低于90分的人數(shù)為，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的應(yīng)用、重點(diǎn)掌握的是當(dāng)時，關(guān)于對稱這個重要性質(zhì).5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別

4、為，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè) ，由題意可知：點(diǎn)在上，這樣得到一個等式；因?yàn)橐詾橹睆降膱A與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以有,這樣又得到一個等式，再結(jié)合，可以求出的值.【詳解】設(shè) ，由題意可知：點(diǎn)在上，所以，由題意可知在以為直徑的圓上，所以有，即，而，解得，所以雙曲線方程為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用向量構(gòu)造等式.6.執(zhí)行如圖程序框圖所示的程序，若輸出的的值為9，則輸入的為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】模擬程序的運(yùn)

5、行，依次寫出每次循環(huán)得到的x值，當(dāng)i=4時退出循環(huán)，即可得到答案.【詳解】執(zhí)行程序框圖，輸入x,當(dāng)i=1時，得到2x-1；當(dāng)i=2時，得到2（2x-1）-1=4x-3,當(dāng)i=3時，得到4（2x-1）-3=8x-7,當(dāng)i=4時，退出循環(huán),輸出8x-7=9,解得x=2,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的輸出結(jié)果的計(jì)算問題，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通過三視圖可知，該幾何體是由一個球和一個三棱柱組合而成，分別求出它們的體積相加即可.【詳解

6、】通過三視圖可知，該幾何體是由一個球和一個三棱柱組合而成，因此，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了通過三視圖求幾何體的體積問題，關(guān)鍵是識別出幾何體的形狀.8.若二項(xiàng)式的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的值可以是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】【分析】寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，化簡，令的指數(shù)為零，對照選項(xiàng)，求出答案.【詳解】二項(xiàng)式的第項(xiàng)為：，由題意可知含有常數(shù)項(xiàng)，所以只需，對照選項(xiàng)當(dāng)時，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式.9.已知函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖像.若函數(shù)為偶函數(shù)

7、，則函數(shù)在區(qū)間上的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通過函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可以求出周期，進(jìn)而可以求出的值，函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖像，因此，函數(shù)為偶函數(shù)，有，結(jié)合已知，求出，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以,而，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖像，所以，由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，而，所以，因此，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域是，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正弦型函數(shù)的圖象和單調(diào)性.解決本題的關(guān)鍵是對函數(shù)為偶函數(shù)的理解，寫出等式.10.如圖，在四棱錐

8、中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，設(shè)，則（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】與平面交于點(diǎn)，設(shè)，所以到平面的距離是到平面的距離的倍，利用等積性質(zhì)，可得出，根據(jù)，可得，最后求得.【詳解】與平面交于點(diǎn)，設(shè)，所以有:,因?yàn)?，所以，因此，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三棱錐體積公式，求點(diǎn)分線段的比問題.11.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若以為直徑的圓過點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為（ ）A. 2B. 2或4C. 8D. 8或16【答案】A【解析】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)為，由拋物線的定義，根據(jù)可得到，再由以為直徑的圓過點(diǎn)，可以得到，進(jìn)而可以求出的值，代入，求出，而就是拋物線的

9、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，,拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線的定義可知： ，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以有，代入中得，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義以及的幾何意義.重點(diǎn)是由以為直徑的圓過點(diǎn)，想到這個向量等式.12.已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，其中.若在區(qū)間中存在唯一整數(shù)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出過點(diǎn)作曲線的兩條切線，把，代入兩條切線方程，得到，所以可以把看成的兩個根，因?yàn)?，所以?，解出的取值范圍，可以證明出，在區(qū)間中存在唯一整數(shù)，必須要滿足，解出的取值范圍，結(jié)

10、合，最后求出的取值范圍.【詳解】，切點(diǎn)為的切線的斜率為，所以切點(diǎn)為的切線方程為：，同理可求得切點(diǎn)為的切線方程為：，兩條切線過點(diǎn)，把，代入兩條切線方程得：，所以可以把看成的兩個根，因?yàn)?，所以?，即，因?yàn)?，所以，在區(qū)間中存在唯一整數(shù)必須滿足：，結(jié)合，的取值范圍是，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求曲線方程的切線.本題重點(diǎn)考查了在區(qū)間上方程有唯一整數(shù)解問題，考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知向量，若，則的值為_【答案】2【解析】【分析】運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，分別求出，再求出它們的模，根據(jù)已知，得到一個方程，解方程，求得的值.【

11、詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)椋杂?【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、求模.本題也可從向量的加減法的幾何意義上入手，設(shè)，以鄰邊作平行四邊形,顯然,所以平行四邊形是矩形，因此有：.14.在中，角所對的邊分別為，若，且的面積.則角_【答案】【解析】【分析】的面積,結(jié)合面積公式，可得，代入已知等式中，得到，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角的值.【詳解】，代入中，得，由正弦定理,可將上式化簡為，由余弦定理可知：,所以有，又因?yàn)?，所以?.【點(diǎn)睛】本題考查了面積公式、正弦定理、余弦定理.解題的關(guān)鍵在于對公式的模型特征十分熟悉.15.回收1噸廢紙可以生產(chǎn)出0.8噸再生紙，可能節(jié)約用水約100噸，節(jié)約用煤約

12、1.2噸，回收1噸廢鉛蓄電池可再生鉛約0.6噸，可節(jié)約用煤約0.8噸，節(jié)約用水約120噸，回收每噸廢鉛蓄電池的費(fèi)用約0.9萬元，回收1噸廢紙的費(fèi)用約為0.2萬元.現(xiàn)用于回收廢紙和廢鉛蓄電池的費(fèi)用不超過18萬元，在保證節(jié)約用煤不少于12噸的前提下，最多可節(jié)約用水約_噸【答案】9000【解析】【分析】設(shè)回收廢紙x噸，回收廢鉛蓄電池y噸，由題意列出不等式組及目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求目標(biāo)函數(shù)的最值問題.【詳解】設(shè)回收廢紙x噸，回收廢鉛蓄電池y噸，可節(jié)約用水z噸，由已知條件可得 ，即 ，z=100x+120y,作出不等式組表示的可行域，如圖所示，,平移直線可得當(dāng)直線過點(diǎn)A時，在y軸的截距最大，即z最大， 由圖

13、可得點(diǎn)A(90,0)，此時z取得最大值為9000.故答案為：9000【點(diǎn)睛】本題考查簡單線性規(guī)劃應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時，其一般步驟為：分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件；由約束條件畫出可行域；分析目標(biāo)函數(shù)與直線截距之間的關(guān)系；使用平移直線法求出最優(yōu)解；還原到現(xiàn)實(shí)問題中16.已知球的半徑為3，圓與圓為該球的兩個小圓，為圓與圓的公共弦，若點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為_【答案】2【解析】【分析】利用球的性質(zhì)可以推出，這樣可以得到,同理，這樣求出四邊形的面積的最大值.【詳解】如下圖所示：點(diǎn)是弦的中點(diǎn)， ，又因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，同理當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因

14、此四邊形的面積的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了球的性質(zhì).重點(diǎn)考查了重要不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，得到兩線段長度的平方和是定值.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分17.已知數(shù)列中，且，其中.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）方法一：由，可以變形為，應(yīng)用累和公式，進(jìn)行求和，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法二：由，可以變形為：，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）方法一：根據(jù)（1）可以求出，根

15、據(jù)錯位相減法，求出數(shù)列的前項(xiàng)和；方法二：根據(jù)（1）可以求出是 ，應(yīng)用裂相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：（方法一）由題意知，相加得：，其中.又，而符合上式，故，.（方法二）由題意知，進(jìn)而，.（2）（方法一）由（1），于是，相減得： 故.（方法二）由（1），于是 ， .【點(diǎn)睛】本題考查了用累和法和遞推公式求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.重點(diǎn)考查了裂相相消法和錯位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖，在以為頂點(diǎn)，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為2，是圓所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且是圓的切線，連接交圓于點(diǎn)，連接，.（1）求證：平面平面；（2）若是的中點(diǎn)，連接，當(dāng)二面角的大小為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答

16、案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由是圓的直徑，與圓切于點(diǎn)，可得,由底面圓，可得，利用線面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，可推出，利用線面垂直的判定定理可證平面，從而利用面面垂直的判定定理可證出平面平面.（2）由，可知為二面角的平面角，即，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，求得點(diǎn)的坐標(biāo)如下；，由（1）知為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，通過，可求出平面的一個法向量為，. 平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【詳解】解：（1）是圓的直徑，與圓切于點(diǎn)，底面圓，平面，.又在中，平面，從而平面平面.（2） ，為二面角的平面角， ，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知，則，由（1）知為平面

17、的一個法向量，設(shè)平面的法向量為， ， ，即故平面的一個法向量為，. 平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了通過線面垂直證明面面垂直.重點(diǎn)考查了利用空間向量法求二面角的問題.19.已知點(diǎn)，是平面內(nèi)一動點(diǎn)，可以與點(diǎn)重合.當(dāng)不與重合時，直線與的斜率之積為.（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）一個矩形的四條邊與動點(diǎn)的軌跡均相切，求該矩形面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)與點(diǎn)不重合時，根據(jù)直線與的斜率之積為，直接可求出動點(diǎn)的軌跡方程；當(dāng)與點(diǎn)重合時，或，最后寫出動點(diǎn)的軌跡方程；（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時，易知.當(dāng)矩形各邊均不與坐標(biāo)軸平行時，根據(jù)對稱性，

18、設(shè)其中一邊所在直線方程為，則對邊方程為另一邊所在的直線為，則對邊方程為，聯(lián)立：，得，則，即.矩形的一邊長為，同理：，矩形的另一邊長為， ，綜上：.【詳解】解：（1）當(dāng)與點(diǎn)不重合時，得，即，當(dāng)與點(diǎn)重合時，或.綜上，動點(diǎn)的軌跡方程為.（2）記矩形面積為，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時，易知.當(dāng)矩形各邊均不與坐標(biāo)軸平行時，根據(jù)對稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為，則對邊方程為另一邊所在的直線為，則對邊方程為，聯(lián)立：，得，則，即.矩形的一邊長為，同理：，矩形的另一邊長為， ，綜上：.【點(diǎn)睛】本題考查了直譯法求曲線的軌跡方程.重點(diǎn)考查了求橢圓外切矩形的面積的取值問題，考查了基本不等式的應(yīng)用.20.某地種植常規(guī)稻和

19、雜交稻，常規(guī)稻的畝產(chǎn)穩(wěn)定為485公斤，今年單價為3.70元/公斤，估計(jì)明年單價不變的可能性為，變?yōu)?.90元/公斤的可能性為，變?yōu)?.00的可能性為.統(tǒng)計(jì)雜交稻的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)，得到畝產(chǎn)的頻率分布直方圖如圖.統(tǒng)計(jì)近10年雜交稻的單價（單位：元/公斤）與種植畝數(shù)（單位：萬畝）的關(guān)系，得到的10組數(shù)據(jù)記為，并得到散點(diǎn)圖如圖.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)明年常規(guī)稻的單價平均值；（2）在頻率分布直方圖中，各組的取值按中間值來計(jì)算，求雜交稻的畝產(chǎn)平均值；以頻率作為概率，預(yù)計(jì)將來三年中至少有二年，雜交稻的畝產(chǎn)超過795公斤的概率；（3）判斷雜交稻的單價（單位：元/公斤）與種植畝數(shù)（單位：萬畝）是否線性相關(guān)？若相關(guān)，試

20、根據(jù)以下的參考數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；調(diào)查得知明年此地雜交稻的種植畝數(shù)預(yù)計(jì)為2萬畝.若在常規(guī)稻和雜交稻中選擇，明年種植哪種水稻收入更高？統(tǒng)計(jì)參考數(shù)據(jù)：，附：線性回歸方程，.【答案】（1）3.9；（2）0.104；（3）；選擇種雜交稻收入更高.【解析】【分析】（1）設(shè)明年常規(guī)稻的單價為，列出的分布列，計(jì)算;（2）根據(jù)頻率分布直方圖中，各組的取值按中間值來計(jì)算，所以可以求出雜交稻的畝產(chǎn)平均值；根據(jù)以頻率作為概率，可以預(yù)計(jì)出將來三年中至少有二年，雜交稻的畝產(chǎn)超過795公斤的概率；（3） 根據(jù)題中給的數(shù)據(jù)和分式，可以求出線性回歸方程；估計(jì)明年雜交稻的單價，進(jìn)而可以估計(jì)明年雜交稻的每畝平均收入，估計(jì)

21、明年常規(guī)稻的每畝平均收入，兩者進(jìn)行比較，可以得出明年選擇種雜交稻收入更高.【詳解】解：（1）設(shè)明年常規(guī)稻的單價為，則的分布列為3.703.904.000.10.70.2，估計(jì)明年常規(guī)稻的單價平均值為3.9（元/公斤）；（2）雜交稻的畝產(chǎn)平均值為： .依題意知雜交稻的畝產(chǎn)超過795公斤的概率，則將來三年中至少二年，雜交稻的畝產(chǎn)超過795公斤的概率為：.（3）散點(diǎn)圖中各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，可以判斷雜交稻的單價與種植畝數(shù)線性相關(guān)，由題中提供的數(shù)據(jù)得：，由得，線性回歸方程為， 估計(jì)明年雜交稻的單價元/公斤；估計(jì)明年雜交稻每畝平均收入為元/畝，估計(jì)明年常規(guī)稻的每畝平均收入為元/畝，明年選擇種雜交稻

22、收入更高.【點(diǎn)睛】本題考查了求離散型隨機(jī)變量的分布列及均值、求線性回歸方程并依據(jù)線性回歸方程做出預(yù)測.21.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，讓導(dǎo)函數(shù)為零，解出方程，根據(jù)根之間的大小關(guān)系，進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，可以判斷有一個零點(diǎn)；（）當(dāng)或時，,結(jié)合（1）中的結(jié)論，對作如下分類，利用單調(diào)性，判斷零點(diǎn)的個數(shù). 當(dāng)時，可以判斷有二個零點(diǎn)； 當(dāng)時，可以判斷有一個零點(diǎn)； 當(dāng)時，當(dāng)時，可以判斷有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，可以判斷有2個零點(diǎn)；當(dāng)時，可以判斷有3個零點(diǎn)；【詳解】解：（1），令得，當(dāng)，即時，恒成立，在上增；當(dāng)，即時，令，得或，令，得，在上增，在上減，在上增；當(dāng)即時，令，得或，令，得，在上增，在上減，在上增；綜上，當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）（方法一）（）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，故1個零點(diǎn)；（）當(dāng)或時， 當(dāng)時，在上增，在上減，在上增，此時2個零點(diǎn)； 當(dāng)時，在上增，在