江蘇南京湖濱高級(jí)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第四次模擬考試試題（通用）

1、高淳縣湖濱高級(jí)中學(xué)2020屆高三年級(jí)第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷1(滿分160分,時(shí)間120分鐘)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1. 已知集合，則 .2. 若復(fù)數(shù)的實(shí)部為，模為，則復(fù)數(shù)的虛部是 .3. 有紅心1，2，3和黑桃4，5這5張撲克牌，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的牌為紅心的概率是 .4. 已知，則 .5. 根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為 .6. 如圖，是某班一次競(jìng)賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖，利用組中值可估計(jì)其的平均分為 .I1While I8 IEnd WhilePrint S(第5題)（第6題）O 20 40 60 80 100

2、成績(jī) 6 42 108 人數(shù)7. 設(shè)向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)的值為 .8. 已知點(diǎn)，若直線在軸與軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)= .9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，第項(xiàng)滿足，則 .10. 已知為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .11. 已知存在實(shí)數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線都不是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .12. 已知的周長(zhǎng)為16，面積為6，且，則 13. 在平面直角坐標(biāo)系中，以橢圓上的一點(diǎn)為圓心的圓與軸相切于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與軸相交于兩點(diǎn)，若ABC是銳角三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .14. 設(shè)函數(shù)對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)= .二、解答題：本大題共6小題，共90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫

3、出文字說明、證明過程或演算步驟15（本題滿分14分）已知且（1）求的值；（2）證明：16（本題滿分14分）（第16題圖）如圖，正方形所在的平面與三角形所在的平面交于，平面，且（1）求證：平面；（2）求證：平面平面； 17（本題滿分15分） 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)紙盒如圖所示，ABCDEF是邊長(zhǎng)為30cm的正六邊形硬紙片，切去陰影部分所示的六個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，正好形成一個(gè)無蓋的正六棱柱形狀的紙盒G、H分別在AB、AF上，是被切去的一個(gè)四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)AGAHx(cm)（1）若要求紙盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？（2）若要求紙盒的的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？ABCD

4、EFGH（第17題圖）并求此時(shí)紙盒的高與底面邊長(zhǎng)的比 18（本題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為，直線過原點(diǎn)，且點(diǎn)在x軸上方，直線與分別交直線：于點(diǎn)、.（1）若點(diǎn)，求ABC的面積；（2）若點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為、.EFCxyABO（第18題） 試探究：是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出；若不為定值，請(qǐng)說明理由； 求AEF的面積的最小值. 19（本題滿分16分） 設(shè),其中()為常數(shù)數(shù)列an的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為對(duì)于任意的正整數(shù)n，都成立（1）若，求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；（2）試確定所有的自然數(shù)k，使得數(shù)列an能成等差數(shù)列20（本題滿分16分） 已知函數(shù)，其中為常數(shù)（1）求

5、證：函數(shù)的圖象必過定點(diǎn)；（2）若在上為單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使得的解集恰好為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由第2巻（附加題 共40分）【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講OABPEC如圖，AB為O的直徑，BC切O于B，AC交O于P，CE=BE，E在BC上求證：PE是O的切線B選修4-2：矩陣與變換在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程.C選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，A為曲線上的動(dòng)點(diǎn)， B為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求AB的

6、最小值。D選修45：不等式選講設(shè)x，y，z為正數(shù)，證明：【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且（1）求文娛隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)；（2）寫出的概率分布列并計(jì)算23. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是拋物線的準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為，直線,與拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，求證：動(dòng)直線恒過一個(gè)定點(diǎn)高淳縣湖濱高級(jí)中學(xué)2020屆高三年級(jí)

7、第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷1答案1 2 3 4 5 6 7 8-391或8 10 11 12. 13. 14. 1 15、（1）將代入得（4分） 所以又， 解得（6分） （2）易得，又 所以，（8分） 由（1）可得，（10分） 所以（14分）（第16題圖）16、（1）正方形ABCD中， 又平面CDE， 平面CDE， 所以平面CDE（6分） （2）因?yàn)椋?且， 所以，（8分） 又 且， ， 所以，（12分） 又， 所以（14分）ABCDEFGH（第17題圖）17、（本小題15分）（1）易得正六棱柱的底面正六邊形的邊長(zhǎng)為，正六棱柱的高為， 所以紙盒的側(cè)面積S，（5分） 因?yàn)樵摱魏瘮?shù)開口向下，且對(duì)稱軸

8、方程為， 所以當(dāng)cm時(shí)，側(cè)面積S最大 （7分）（2）紙盒的容積V，（10分） 由得，或（舍去），（12分）x5+0極大值9000 列表： 所以當(dāng)cm時(shí)，容積V最大，此時(shí)紙盒的高與底面邊長(zhǎng)的比為（15分）EFCxyABO（第18題）18、（1）由題意得解得， （3分）則ABC的面積；（5分）（2） 為定值，下證之： 證明：設(shè)，則，且， （7分） 而 由（1）得， 所以； （10分） 易得直線的方程為， 直線的方程為， 令得， 則AEF的面積， （13分） 因?yàn)辄c(diǎn)在x軸上方，所以， 由得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） 所以，AEF的面積的最小值為.（15分）19、（1）若，則即為常數(shù)，不妨設(shè)（c為常數(shù)）

9、因?yàn)楹愠闪?，所以，?而且當(dāng)時(shí)， ， 得 若an=0，則，a1=0，與已知矛盾，所以 故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列（6分） （2）(i) 若k=0，由（1）知，不符題意，舍去（8分） (ii) 若k=1，設(shè)（b，c為常數(shù)）， 當(dāng)時(shí)， ， 得 要使數(shù)列an是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有（常數(shù)）， 而a1=1，故an只能是常數(shù)數(shù)列，通項(xiàng)公式為an =1， 故當(dāng)k=1時(shí)，數(shù)列an能成等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an =1，此時(shí)（11分） (iii) 若k=2，設(shè)（，a，b，c是常數(shù)）， 當(dāng)時(shí)， ， 得 ， 要使數(shù)列an是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有，且 d=2a， 考慮到a1

10、=1，所以 故當(dāng)k=2時(shí)，數(shù)列an能成等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為， 此時(shí)（a為非零常數(shù)）（14分） (iv) 當(dāng)時(shí)，若數(shù)列an能成等差數(shù)列，則的表達(dá)式中n的最高次數(shù)為2， 故數(shù)列an不能成等差數(shù)列（14分） 綜上得，當(dāng)且僅當(dāng)k=1或2時(shí)，數(shù)列an能成等差數(shù)列（16分）20、（1）易得，即 所以yO-1（圖1）解得 故的圖象必過定點(diǎn)；（4分）x （2）判別式， 當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 函數(shù)0恒成立， 所以， 對(duì)稱軸方程為，所以當(dāng)時(shí)符合題意（如圖1）， 此時(shí)；（7分） 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根為， yO-1x1（圖2）x不妨設(shè)，由題意及圖象得 或 即（如圖2） xO-1x1x2（圖3）y或 （如圖3） 解得，

11、此時(shí)， 綜上得m的取值范圍是（10分） （3）由題意得（12分） 所以a，b是方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 由根與系數(shù)的關(guān)系得 消去m得，即 當(dāng)時(shí)，上式顯然不可能成立，故，所以， 因?yàn)椋允?的約數(shù)即a的所有可能值分別為0，2，-1，2，對(duì)應(yīng)的b的所有可能值依次為0，4，1，3， 因?yàn)?，所以（舍）?對(duì)應(yīng)的m的值為8， 經(jīng)檢驗(yàn)，滿足， 所以即為所求（16分）高淳縣湖濱高級(jí)中學(xué)2020屆高三年級(jí)第四次模擬考試數(shù)學(xué)附加題答題卷B.是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn) 則有 ，即，所以， 又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，從而， 所以，曲線的方程是 C.方程為，圓心，直線方程為，圓心到直線的距離，所以22：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有人，則文娛隊(duì)中共有（）人，只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（）人 (2分) (1