數(shù)形結合思想在小學數(shù)學中的運用

1、數(shù)形結合思想 在小學數(shù)學教學中的運用,四川省德陽市第一小學 張洪明,（一）基本理念的修訂,（二）設計思路、具體內容和表達方式的修訂,數(shù)學的解釋、核心理念、雙基變四基、兩能變四能、教師與生都為主、過程與結果同為重,主要是四個領域的刪、減、增、移， 以及在其中貫徹增加核心概念（比如運算能力、幾何直觀、模型思想等）,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,實驗稿： 數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。 修改稿：（簡潔、明了） 數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。,1、關于數(shù)學的解釋,2、關于核心理念中“面

2、向全體學生”,實驗稿： 人人學有價值的數(shù)學；人人都能獲得必需的數(shù)學；不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。 修改稿： 人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,實驗稿： 雙基：基礎知識、基本技能。 修改稿： 四基：基礎知識、基本技能、 基本思想、基本活動經(jīng)驗。,3、關于“雙基”教學變“四基”教學。,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,基本思想： 史寧中教授特別提到：抽象思想、推理思想、模型思想 核心思想：歸納和演繹（而演繹、化歸、轉化、類比都屬于推理思想） 常用的小學數(shù)學思想方法：對應思想方法、假設思想方法、比較思想方法、符號化思想方法

3、、類比思想方法、轉化思想方法、分類思想方法、集合思想方法、數(shù)形結合思想方法、統(tǒng)計思想方法、極限思想方法、代換思想方法、可逆思想方法、化歸思維方法、變中抓不變的思想方法、數(shù)學模型思想方法、整體思想方法等等。,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,基本活動經(jīng)驗：, ,一 種 方 法 是：1個5，2個5，3個5。 另一種方法是：1個3，2個3，3個3，4個3，5個 3。 這一系列數(shù)學思維活動，就為后邊學習53積累了相關的數(shù)學活動經(jīng)驗。,比如：讓學生很快數(shù)出有多少顆五星。,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,基本活動經(jīng)驗： 數(shù)學活動經(jīng)驗，不僅僅是解題經(jīng)驗，更多的是數(shù)學思維活動的經(jīng)驗，數(shù)學思考習慣

4、的經(jīng)驗。不斷積累！,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,實驗稿： 重點是分析問題和解決問題的能力 修改稿： 明確提出： 發(fā)現(xiàn)和提出問題能力 分析和解決問題能力,4、關于“兩能”到“四能”：,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,修訂稿中十大核心概念： 數(shù) 感、符號意識、運算能力、 模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數(shù)據(jù)分析觀念、 應用意識、創(chuàng)新意識,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,幾何直觀 （數(shù)形結合）,十大核心概念之一,一、修訂稿與實驗稿的區(qū)別基本理念的修訂,幾何直觀,修訂稿：幾何直觀利用圖形描述問題和分析問題。把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預

5、測結果。,簡單地說：就是指依托圖形進行數(shù)學思考、想象。,二、幾何直觀（數(shù)形結合）的基本概念。,數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？ 數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微， 數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休， 幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離。,華羅庚,二、幾何直觀（數(shù)形結合）的基本概念。,如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。 斯蒂恩（美國數(shù)學家）,二、幾何直觀（數(shù)形結合）的基本概念。,要看到圖形，借助數(shù)看圖形！ 要看到數(shù)，借助圖形看數(shù)！ 把數(shù)學畫出來！ 把事物量出來！ 促進了學生形象思維和抽象思維的協(xié)調發(fā)展 溝通了數(shù)學知識之間的聯(lián)系, 從復雜的數(shù)

6、量關系中凸顯最本質的特征,二、幾何直觀（數(shù)形結合）的基本概念。,運用于數(shù)學的各個領域,幾何直觀運用領域,我們不僅在幾何內容教學中要重視幾何直觀，在整個數(shù)學教學中都應該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應該貫穿于教學始終。,二、幾何直觀（數(shù)形結合）的基本概念。,幾何直觀的表現(xiàn)形式,借助圖形 展開想象 揭示規(guī)律,幾何圖形、線段圖、數(shù)軸、 方格紙、 坐標、方向標、 示意圖、 列表、動畫等一系列,圖形,二、幾何直觀（數(shù)形結合）的基本概念。,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 1 ）數(shù)的表示 用直線上的點表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質（有始無終，有序性等等）；,100以內數(shù)的認識,4,6,10枝,46

7、,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 1 ）數(shù)的表示 用直線上的點表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質（有始無終，有序性等等）；,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 1 ）數(shù)的表示 用直線上的點表示數(shù)，可以明確地表示出數(shù)的性質（有始無終，有序性等等）；,把陰影部分分別用分數(shù)和小數(shù)表示。,分數(shù)（ ） 小數(shù)（ ）,分數(shù)（ ） 小數(shù)（ ）,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 2 ）計算中的形 運算的實物化、圖形化和操作化，便于人們直觀理解數(shù)和計算（擺小棒、畫圖形等）。,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 3 ）解決問題中的形 畫線段圖表示數(shù)量關系。,甲比乙多1/4。 （鼓

8、勵學生畫）,乙：,甲：,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 3 ）解決問題中的形 畫線段圖表示數(shù)量關系。,甲比乙多 1/4 （鼓勵學生畫）,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 3 ）解決問題中的形 畫線段圖表示數(shù)量關系。,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 3 ）解決問題中的形 解決問題的直觀策略,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 3 ）統(tǒng)計中的圖形 條形統(tǒng)計圖直觀地反映出數(shù)量的多少。 折線統(tǒng)計圖形象地表示數(shù)量發(fā)展的趨勢。 扇形統(tǒng)計圖鮮明地說明部分數(shù)量與整體數(shù)量之間的關系。,三、數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 3 ）統(tǒng)計中的圖形,三、數(shù)形結合思想在小學

9、數(shù)學教材中的體現(xiàn),（ 4 ）函數(shù)的多重表示及坐標系,四、數(shù)形結合思想的培養(yǎng),1、在教學中使學生逐步養(yǎng)成畫圖的習慣 教學中應有這樣的導向：能畫圖的盡量畫將相對抽象的思考對象“圖形化”,2、重視變換讓圖形動起來 幾何變換或圖形的運動是幾何，也是整個教學中很重要的內容，它既是學習的對象，也是認識數(shù)學的思想和方法。 例如：平行四邊形、三角形、梯形、圓形等面積公式的推導，讓學生經(jīng)歷公式的形成過程； 圖形的平移和旋轉； 圖形的位置和方向變換、圖形的放大與縮?。?四、數(shù)形結合思想的培養(yǎng),3、學會從“數(shù)”與“形”兩個角度認識 數(shù)學 數(shù)學的許多教學內容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質特征。數(shù)形結合是認識數(shù)

10、學的基本方法，與其說是方法，不如說這是基本要求。從這一點看，不注重數(shù)形結合在數(shù)學教學中只能讓學生隔靴搔癢。,四、數(shù)形結合思想的培養(yǎng),4、掌握、運用一些基本圖形解決問題 利用基本圖形、表格、數(shù)軸、方格紙等。在教學中要有意識的強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結果，這應該成為教學中關注的目標。,四、數(shù)形結合思想的培養(yǎng),五、數(shù)形結合思想在解題問題中的運用舉例,用兩個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),用三個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不

11、同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),用四個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),用五個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),用六個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),用七個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),用八個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方

12、形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),用九個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),用十二個邊長為1的正方形，你能用它們拼出一個長方形嗎？你拼的長方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？,數(shù)形結合運用（一）質數(shù)合數(shù),1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,數(shù)形結合運用（二）計算,1,1+3=22,數(shù)形結合運用（二）計算,1,1+3,1+3+5,數(shù)形結合運用（二）計算,1,1+3,1+3+5=33,數(shù)形結合運用（二）計算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,數(shù)形結合運用（二）計

13、算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7=44,數(shù)形結合運用（二）計算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,數(shù)形結合運用（二）計算,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9=？,數(shù)形結合運用（二）計算,1+3+5+7+9+11,數(shù)形結合運用（二）計算,1+3+5+7+9+11,6 5 4 3 2 1,數(shù)形結合運用（二）計算,計算 ： ,數(shù)形結合運用（二）分數(shù)計算,計算 ： ,1 2,1 4,1 8,1 16,1 32,“1”,數(shù)形結合運用（二）分數(shù)計算,問題：全班有8個小組，每組6人。每位同學向西部兒童捐書3本，全班一共捐書多少本？,數(shù)形結合運用（二

14、）連乘問題,每人3本,每人3本,問題：全班有8個小組，每組6人。每位同學向西部兒童捐書3本，全班一共捐書多少本？,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每人3本,每組 6人,8個小組,？,用彩色涂出2/51/3=,數(shù)形結合運用（二）分數(shù)乘法,用彩色涂出2/51/3=,數(shù)形結合運用（二）分數(shù)乘法,三年級題目：學校有一段走廊長6米，寬3米。在走廊地面鋪上邊長是3分米的正方形地磚，需要鋪多少塊？,339（平方分米）,60301800（平方分米）,18009200（塊）,大面積小面積,？,數(shù)形結合運用（三）鋪地磚,120分米,60分米,120340(塊),60320(行),4020800(

15、塊),每行塊數(shù)行數(shù)總塊數(shù),五年級題目：在長寬高分別為40dm、30dm、20dm的長方體木塊切割成棱長為8dm的正方體，能切割成多少個？,“大體積小體積”。,數(shù)形結合運用（三）割長方體,六年級題目，如：用長1.1m，寬0.9m的長方形紙片剪成幾個直徑為2dm的圓，可以剪多少個？,“大面積小面積”,數(shù)形結合運用（三）剪圓,六年級題目：請用數(shù)學思維解決問題： 三人同時從工廠乘出租車回家，事先講好三人分擔車費，丙最后到達終點付車費90元，已知甲到了全程的1/3處下了車，乙在全程的2/3處下了車。問甲乙分別應付給丙多少錢？,數(shù)形結合運用（四）支付租車費,第一層次：90元3=30元；,第二層次：1/32

16、/31123，甲：90元1/6=15元； 乙：90元2/6=30元； 丙：90元3/6=45元；,1/3,2/3,“1”,甲：30元3=10元； 乙：30元330元2=25元； 丙：30元330元230元=55元。,30元,第三層次：,長,寬,面積,長方形的面積=長寬,數(shù)量,總價,總價=單價數(shù)量,單價,數(shù)形結合運用（五）矩形運用,（二）解決問題 問題：學校食堂買來一些大米。計劃吃8天，實際每天比計劃多吃5千克，結果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？,總千克數(shù) =每天吃的千克數(shù)天數(shù),長方形的面積= 長 寬,數(shù)形結合運用（五）矩形運用,（二）解決問題 問題：學校食堂買來一些大米。計

17、劃吃8天，實際每天比計劃多吃5千克，結果提前2天就吃完了。你能算出原計劃每天吃多少千克嗎？,總千克數(shù) =每天吃的千克數(shù)天數(shù),提前2天吃完,多吃 5千克,計劃吃8天,A,B,原計劃每天吃多少千克？,數(shù)形結合運用（五）矩形運用,一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米,數(shù)形結合運用（五）矩形運用,一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米,數(shù)形結合運用（五）矩形運用,一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米,減少20%,2米,數(shù)形結合運用（五）矩形運用

18、,一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米,減少20%,2米,減少1/5，把正方形的邊長平均分成五份，減少其中1份，還剩下4份,數(shù)形結合運用（五）矩形運用,一個正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來正方形的面積是多少平方米,1份,2米,4份,B,A,C,數(shù)形結合運用（五）矩形運用,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見下圖），奢靡之程度，可見一斑。 你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？,數(shù)形結合運用（六）解決問題,問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 借助幾何圖形之直觀性，引導學生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形。,數(shù)形結合運用（六）解決問題,A、B、C、D、E進行象棋比賽，每兩人之間都要賽一盤。到現(xiàn)在為止，A已經(jīng)賽了4盤，B賽了3盤，C賽了2盤，D賽了1盤，請問E已經(jīng)賽了幾盤？,數(shù)形結合運用（七）邏輯推理,A、B、C、D、E