微積分C第3章習(xí)題

1、習(xí)3.12（2），求圓的面積為1時(shí)，面積變量相對于周長的變化率。解 此時(shí)是的函數(shù) 。于是對周長的變化率為 。當(dāng)時(shí)，此時(shí)。5(2). 設(shè)，在點(diǎn)可導(dǎo)，求的取值范圍。解 設(shè)。當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的間斷點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)不可導(dǎo)。只討論?？紤]左導(dǎo)數(shù) ， 考慮右導(dǎo)數(shù) ， 因此該函數(shù)當(dāng)時(shí)在點(diǎn)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為0.6. 設(shè)。求使得在可導(dǎo)。解法1 因可導(dǎo)必連續(xù)，則 ，則。這樣在處也連續(xù)。此時(shí) ，。，。若存在，則應(yīng)有。此時(shí)。解法2 同理可得。，則。，。若存在，則應(yīng)有。此時(shí)。7. 設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，且。（1）求，（2）問在點(diǎn)處是否可導(dǎo)。解 （1）由連續(xù)性可知 。若，則，與題設(shè)矛盾。必有，即。 （2），由導(dǎo)數(shù)定義可知在點(diǎn)處可導(dǎo)，。8. 設(shè)在點(diǎn)

2、連續(xù)，求在處的導(dǎo)數(shù)。解 由導(dǎo)數(shù)的定義注：不能，故。9. 設(shè)，。求 （1）， （2）， （3）解 （1）原極限（2）原極限 （3）原極限10. 設(shè)，求極限 。解 原極限 。習(xí)3.21. 3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（3）解 。這里用到導(dǎo)數(shù)公式。（8）解 此時(shí)。由公式，則 。用對數(shù)求導(dǎo)法 兩邊求導(dǎo)數(shù) 。則 習(xí)3.31.設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(3)解 （5）解 2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（4）解 （5）解 。（6）解 。（7）解 。（8）解 （9）解法一 解法二 對數(shù)求導(dǎo)法 ，。（10）解 3. 設(shè) （全解有誤）（1）若在內(nèi)可導(dǎo)，求的取值范圍；（2）若在內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)（即連續(xù)），求的取值范圍。解 （1）顯然左導(dǎo)數(shù)

3、。右導(dǎo)數(shù) ，只有在時(shí)才有極限值0. 則此時(shí)有導(dǎo)數(shù)。于是當(dāng)時(shí)，處處可導(dǎo)，且。（2）顯然在時(shí)連續(xù)（初等函數(shù)）。在處，。只有在時(shí)，這個(gè)極限存在且為0.4.已知與在點(diǎn)相切，求的值。（若兩條曲線在點(diǎn)相交，且在這個(gè)交點(diǎn)處兩條曲線的切線相同，則稱兩曲線在該點(diǎn)相切）解 在處兩曲線切線的斜率分別為 ，。相切時(shí)應(yīng)有。根據(jù)相切的定義，在處應(yīng)有，則。于是。5. 設(shè)在上可導(dǎo)。證明（1）若是奇函數(shù)，則是偶函數(shù)；（2）若是偶函數(shù)，則是奇函數(shù)；（3）若是周期函數(shù)，則也是周期函數(shù)且周期不變。證 （1）若是奇函數(shù)，。左邊求導(dǎo)數(shù)，右邊求導(dǎo)數(shù)，于是，即。故是偶函數(shù)。（2）若是偶函數(shù)，。左邊求導(dǎo)數(shù)，右邊求導(dǎo)數(shù)，于是，即。故是奇函數(shù)。（

4、3）若以為周期，。左邊求導(dǎo)數(shù)，右邊求導(dǎo)數(shù)，于是。故以為周期。6. 設(shè)的反函數(shù)為，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則證明：若可導(dǎo)且，則。解 此時(shí)，兩邊對求導(dǎo)可得，于是，即。7. 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求及該函數(shù)在點(diǎn)處的法線方程。解 方程兩端對求導(dǎo) 。則 ，因此 。該函數(shù)所確定的曲線在原點(diǎn)的切線斜率為 。因此法線在該點(diǎn)的斜率為。由點(diǎn)斜式可知法線的方程為。8. 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)。（1）求曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求曲線在交點(diǎn)處的切線方程。解 （1）解方程組。第二個(gè)方程代入第一個(gè)方程。可得出交點(diǎn)。（2）隱函數(shù)求導(dǎo) ，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入 ，則。切線為，。習(xí)3.44. 求下列函數(shù)的微分（4），可微解法1

5、。解法2. 因，則 。6. 給定方程，求以及。解 9. 找原函數(shù)（1） 解 。因此。習(xí)3.51. 設(shè)，求使得的點(diǎn)。解 ，。令，因，則只有。使得的點(diǎn)為。2. 設(shè)，求出使得的的取值范圍。解 函數(shù)的定義域是。，。令，則。4. 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求及。解 在方程兩端求導(dǎo)數(shù) ，可得 。于是 。再求二階導(dǎo)數(shù)，注意都是的函數(shù)，。2. 設(shè)，求使得的的取值范圍。解 。，。當(dāng)時(shí)，此時(shí)。4. 設(shè)是由所確定的隱函數(shù)，求和。解 方程兩端對求導(dǎo) ，解得。則。再求導(dǎo) 。則 。省略。5. 設(shè)二階可導(dǎo)，。求參數(shù)方程 的導(dǎo)數(shù)。解 8. 證明。解法一 用數(shù)學(xué)歸納法。時(shí)，結(jié)論成立。假定結(jié)論對于成立，即。當(dāng)時(shí)，則 由屬性歸納法

6、原理可知結(jié)論成立。解法二 用高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式 。令，則。令，則。習(xí)3.61. 是某商品的需求價(jià)格函數(shù)為，其中和是正的常數(shù)。證明需求價(jià)格彈性。解 ，則。2.假設(shè)某產(chǎn)品的成本關(guān)于產(chǎn)量的彈性定義為。證明，其中分別表示邊際成本和平均成本。證 。3. 將旅店的租房價(jià)格從每天75元提高到每天80元，會(huì)使出租量從每天100套降到每天90套。（1）求房租為每天75元時(shí)的需求價(jià)格彈性。（2）求房租為每天75元和80元時(shí)旅店的總收益。（3）問該旅店是否應(yīng)該提價(jià)。解（1）由彈性的定義（P81）。因此，這里，。則。（2）收益，。（3）不應(yīng)該提價(jià)。習(xí)題三1. 設(shè)在的某去心鄰域內(nèi)滿足（1）（2）存在常數(shù)，使得（3）

7、證明 若在可導(dǎo)，則 。并求極限 證 因在可導(dǎo)，則在該點(diǎn)必可微。由可微的定義可知，兩式相減可得，只需證明時(shí) 即可。因 則 都有界。 顯然 ，于是 。故 。2. 設(shè)，在點(diǎn)可導(dǎo)，且。若函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)滿足。證明：在點(diǎn)可導(dǎo)并且。證 此時(shí)必有。因此如果，則。當(dāng)時(shí)，由夾逼準(zhǔn)則可得到在點(diǎn)右導(dǎo)數(shù)存在并且如果，則。當(dāng)時(shí)，由夾逼準(zhǔn)則可得到在點(diǎn)左導(dǎo)數(shù)存在并且。因此在點(diǎn)可導(dǎo)并且。3. 設(shè)的定義域?yàn)?，且它們在點(diǎn)可導(dǎo)，證明 在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是。證 由于在點(diǎn)可導(dǎo)，則它們在點(diǎn)必連續(xù)。必要性。若在點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)，從而左連續(xù)且右連續(xù)即 。此時(shí)在點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。，。因此。充分性。若 。由上面的推導(dǎo)反推回去可知可導(dǎo)。4. 設(shè)，求。解 是一個(gè)次多項(xiàng)