球面正弦,余弦定理證明

1、4球面余弦定理和正弦定理 平面幾何中的三角形全等判定條件說明了平面三角形的唯一性，到了平面三角學，把這種唯一性定理提升到有效能算的角邊函數(shù)關(guān)系。其中最基本的就是三角形的余弦定理：設(shè)三角形 ABC 的三條邊分別是 a 、 b 、 c ，它們的對角分別是 、 、 ，則 其中， 分別表示 的余弦。 三角形的正弦定理：設(shè)三角形 ABC 的三條邊分別是 a 、 b 、 c ，它們的對角分別是 、 、 ，則 。 類似地，球面三角形也有有效能算的邊角函數(shù)關(guān)系，其中最主要的結(jié)果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。為證明球面三角余弦定理，我們介紹有關(guān)向量的另一種乘積外積。兩向量a與b的外積是一個矢量，記做ab，它

2、的模是|ab|=|a|b|(a,b),它的方向與a,b都垂直，并且按a,b,ab這個順序構(gòu)成右手標架。對于向量的外積，有拉格朗日恒等式成立。ab）(ab)=(aa)(bb)(ab)(ba)定理4.1（球面三角余弦定理）在單位球面上，對于任給球面三角形，其三邊和三角恒滿足下述函數(shù)關(guān)系（證法一）證明：如圖4-1所示，圖4-1是單位球面上的三點，以a,b,c分別表示單位長向量,則球面三角形的三角角度和三邊邊長分別可以用空間向量a,b,c表達如下：是b,c之間夾角的弧度，所以cos=bc,同理有cos=ac, cos=ab。是“a,b所張的平面”和“a,c所張的平面”之間的夾角，所以也等于ab和ac之

3、間的夾角，即（ab）(ac)=| ab|ac|cosA=同理亦有（bc）(ba)=（ca）(cb)=由（ab）(ac)=cos所以同理可證當單位球面上的球面三角形三邊都小于時，可以用平面三角余弦定理證明球面三角余弦定理。證明如下：取球面三角形，將各頂點與球心O連接，過頂點A作b,c邊的切線，分別交OC,OB的延長線于N,M,由此得到兩個平面直角三角形和兩個平面三角形。在中，根據(jù)平面三角形的余弦定理，有。同理在中因此即即即得同理可證（證法2）證明：設(shè)球心為O，連接OA、OB、OC，則。圖4-2過點A做的切線交直線OB于D，過點A做的切線，交直線OC于E，連接DE（如圖4-2所示）。顯然，ADAO

4、，AEAO，在直角三角形OAD中， AO=1，AD=，OD=。在直角三角形OAE中，AE=，OE=。注意。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理（定理3.1），（1）在三角形ADE中， （2）因為（1）式與（2）式左端相等，所以右端也相等，經(jīng)化簡整理，即得。類似地可以得到另外兩式。當三角形有一個內(nèi)角為直角時，比如，則由球面三角余弦定理有 。這恰好是平面幾何中的勾股定理在球面幾何中的對應(yīng)物，但形式上有了很大差別。我們稱之為球面勾股定理。定理4.2（球面三角正弦定理）在單位球面上，對于任給球面三角形，其三邊和三角恒滿足下述函數(shù)關(guān)系證明：因為上述三個比值都是正的，所以我們只要證明恒成立。由球面三角余弦定理，得同理可證，所以。一般地，易證在半徑為r的球面上，對于任給球面三角形，其三邊和三角恒滿足下述函數(shù)關(guān)系和當時，上述關(guān)系式會變成什么形式呢？如圖，當時，球面三角形的三邊可以看作直線段，所以,所以,代入上述關(guān)系式，當時對式子取極限，整理得：這恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。在實際使用時，考慮到所給條件的不同及計算的方便，我們常常需要不同形式的球面三角公式，這些公式本質(zhì)上都能以球面正弦定理和余弦定理加以變換而得到。前面通過研究極對偶三角形的關(guān)系我們證明了球面幾何中特有的全等條件AAA,在球面三角中有反映這一特有全等條件的三角公式。定理4.3（角的余弦公式）在單位球面上，對