行云卻在行舟下,疑是湖中別有天

1、行云卻在行舟下,疑是湖中別有天 由換元法感悟高三二輪復(fù)習(xí)嘉興三中 王嬋瓊【摘要】以換元法這節(jié)課為切入點(diǎn)，淺談對高考第二輪復(fù)習(xí)如何開展、如何幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想與方法的提煉和升華以及如何落實(shí)復(fù)習(xí)課的實(shí)效性等幾方面的想法在進(jìn)入新課程改革第一年高考的倒計(jì)時(shí)時(shí)，我們高三的復(fù)習(xí)也進(jìn)入了第二輪。第二輪復(fù)習(xí)，我們開展的形式以傳統(tǒng)的專題復(fù)習(xí)為主。我就自己的一節(jié)關(guān)于數(shù)學(xué)方法方面的課換元法為切入點(diǎn)，談一下我對高考第二輪復(fù)習(xí)如何開展、如何幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想與方法的提煉和升華以及如何落實(shí)復(fù)習(xí)課的實(shí)效性等幾方面的想法。如有不足之處，敬請各位專家進(jìn)行批評指正，也希望與同僚們進(jìn)行共同探索。一關(guān)于換元法這節(jié)課（一）課前設(shè)計(jì)

2、。引例：1.求函數(shù)的值域。 2.求函數(shù)的值域。例題：已知,且滿足，求的取值范圍。引申變形：已知,且滿足，求的取值范圍。對換元法進(jìn)行總結(jié)：v 換元法：引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量代替原來的某些變量（或代數(shù)式），對新變量求得結(jié)果后，返回再求得原變量的結(jié)果。v 換元法的目的：變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中研究，從而使復(fù)雜問題簡單化。v 換元法的實(shí)質(zhì)：轉(zhuǎn)化依據(jù)等量代換。v 換元法要注意的問題：新變量的取值范圍。練習(xí)：（如課堂內(nèi)不能完成，則作為課后練習(xí)）1.求函數(shù)的值域。2.已知函數(shù)，求函數(shù)的解析式。3.求關(guān)于的不等式的解集。4.求函數(shù)的值域。（二）課堂活動(dòng)和體會(huì)。第一階段忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹

3、梨花開。引例：1.求函數(shù)的值域。給學(xué)生一定時(shí)間思考，挑選他們中兩位的解題過程用實(shí)物投影儀展示。解（一）：（觀察得）和都為增函數(shù)。為增函數(shù)。函數(shù)的定義域?yàn)榈闹涤驗(yàn)榻猓ǘ┦菍猓ㄒ唬┑母倪M(jìn)版：函數(shù)的定義域?yàn)闉樵龊瘮?shù)。的值域?yàn)樵趯W(xué)生之中幾乎沒有學(xué)生想到用換元法。因?yàn)檫@個(gè)例題用函數(shù)的單調(diào)性來解決可能更加方便。將例題中的“+”改成“-”求函數(shù)的值域。此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用函數(shù)的單調(diào)性不能很迅速的將問題解決。于是我進(jìn)行板演，對求函數(shù)的值域用換元法進(jìn)行解題。解（三）令，則（）時(shí)的值域?yàn)樵谥v解此題的同時(shí)，提出換元法的概念，并在講完后一并將“求函數(shù)的值域”的問題解決。體現(xiàn)出換元法的重要性和必要性。v 換元法：引入一個(gè)

4、或幾個(gè)新的變量代替原來的某些變量（或代數(shù)式），對新變量求得結(jié)果后，返回再求得原變量的結(jié)果。v 換元法的目的：變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中研究，從而使復(fù)雜問題簡單化。v 換元法的實(shí)質(zhì)：轉(zhuǎn)化依據(jù)等量代換。第二階段一語天然萬古新，豪華落盡見真淳。例題：已知,且滿足，求的取值范圍。圖1在經(jīng)過大約5分鐘的思考時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)能夠完成此題的學(xué)生，基本用了兩種解法。解（一）（利用數(shù)形結(jié)合，分析得到的幾何意義是過定點(diǎn)的直線的斜率，且點(diǎn)在圓上。由于點(diǎn)和半徑的特殊性，利用直角三角形和傾斜角的計(jì)算，求出切線斜率，將問題解決。見圖1）由已知，直線過定點(diǎn)，解（二）（分析同解一，利用圓心到直線的距離小于

5、等于半徑來解決點(diǎn)在圓上問題。）令直線方程為即根據(jù)學(xué)生的分析，教師提出通性通法，即利用直線與二次曲線交點(diǎn)問題來解決問題，并進(jìn)行板演。解（三）令直線方程為解得：即將例題引申變形：已知,且滿足，求的取值范圍。此時(shí)圓變成了橢圓，解一與解二，都是能夠解釋出的幾何意義，也可以知道是直線與橢圓的切線斜率，可是落實(shí)到計(jì)算，就難度很大，幾乎不可能完成。所以，學(xué)生都選擇了解三，用來解決引申問題。于是教師從換元法的視角提出全新的解題思路利用三角函數(shù)進(jìn)行解題，并進(jìn)行板演。解（四） ，令，即即=即學(xué)生根據(jù)解四的思路，能夠利用橢圓的參數(shù)方程，解決引申問題。經(jīng)過這樣的過程，使得學(xué)生對于換元法有了更加深刻的認(rèn)識，并能在過程中

6、體會(huì)換元法要注意的問題：新變量的取值范圍。第三階段不是一番寒徹骨，怎得梅花撲鼻香。例題只是對換元法的一種詮釋，經(jīng)過練習(xí)，學(xué)生可以從一開始的模仿，過渡到理解，最后做到融會(huì)貫通，也就是我們認(rèn)為的把數(shù)學(xué)的技巧變成自己的數(shù)學(xué)思維。練習(xí)：1.求函數(shù)的值域。2.已知函數(shù)，求函數(shù)的解析式。3.求關(guān)于的不等式的解集。4.求函數(shù)的值域。由于練習(xí)1、2比較簡單，而且基本是模仿，所以學(xué)生能夠很快的自己解決問題。而且上課的時(shí)間有限，所以，在課堂上，只是解決了這兩個(gè)練習(xí)。練習(xí)3、4是布置回家作業(yè)。由回家作業(yè)的反饋，練習(xí)4還是有一定難度，需要講解。二我的感悟（一）隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲如何開展高考第二輪復(fù)習(xí)。1.教學(xué)目標(biāo)

7、需要設(shè)計(jì)多維性。由于數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)在教學(xué)和學(xué)習(xí)中起著重要的作用，因此教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)首先要對教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)定位。在定位的時(shí)候，尤其要注意三個(gè)方面：a.基本知識維度；b.方法技巧維度（特別是通性通法）；c.思維能力維度。當(dāng)然，設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)立足的基礎(chǔ)就是充分認(rèn)識自己所教學(xué)生的能力。根據(jù)他們的能力，設(shè)計(jì)好教學(xué)目標(biāo)，將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成層層深入、漸漸遞進(jìn)、循序漸進(jìn)，使得教學(xué)過程流暢、課堂結(jié)構(gòu)均衡，才能更好發(fā)揮教學(xué)選材的功能。2.教學(xué)涉及面要力求面向全體學(xué)生。學(xué)生在生理發(fā)展和心理特征上的差異是客觀存在的；對數(shù)學(xué)的興趣和愛好，對數(shù)學(xué)知識的接受能力的差異也是客觀存在的。教師在進(jìn)行教學(xué)過程，特別是高考復(fù)習(xí)階段

8、，一定要設(shè)置好課堂選材（例題）的層次，即要保證多元化，也要保證全面性。所以，進(jìn)行必要的一題多解，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，而且可以讓不同程度的學(xué)生有更大的選擇范圍。3.數(shù)學(xué)教學(xué)要對傳統(tǒng)教學(xué)方法的繼承、發(fā)展和創(chuàng)新。章建躍教授曾經(jīng)在一篇文章中提到：盡管新的教學(xué)方法層出不窮，傳統(tǒng)教學(xué)方法受到打擊和質(zhì)疑，但傳統(tǒng)教學(xué)方法并不能被完全取代要使講授法稱為積極的、能動(dòng)的、有意義的，就要做到：a.要讓學(xué)生在接觸典型、豐富的具體例證的基礎(chǔ)上。再歸納概括出概念與原理；b.所講的材料要符合學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平；c.定義要明白而正確，要區(qū)別有關(guān)概念之間的類似點(diǎn)和差別；d.要求學(xué)生能運(yùn)用自己的語言復(fù)述學(xué)會(huì)的概念與理

9、論。在高考復(fù)習(xí)階段，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平對講授法的合理運(yùn)用，可以獲得事半功倍的效果。4.教學(xué)過程要重視非智力因素的作用。學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)是智力因素和非智力因素的綜合效益，它們之間的作用是相互的。教學(xué)方法一旦觸及學(xué)生的情感和意志領(lǐng)域，學(xué)生的精神需要，就能發(fā)揮高度有效的作用。合理運(yùn)用激勵(lì)機(jī)制，是重視非智力因素的一個(gè)重要組成部分。a.一句：“你回答的很好！”“這位同學(xué)的回答非常精確”“你太厲害了，這么復(fù)雜的問題，你能夠一眼看到實(shí)質(zhì)”等等表揚(yáng)的話，機(jī)智的教師一定不應(yīng)該吝嗇。同時(shí)，也要讓表揚(yáng)有度不廉價(jià)，夸獎(jiǎng)有理讓人服。b.當(dāng)學(xué)生回答的問題不夠圓滿時(shí)，教師絕對不能不理不睬，或者當(dāng)頭一棒，而應(yīng)該給予鼓勵(lì)，并加以

10、引導(dǎo)。教師的一句誠摯的鼓勵(lì)，能給學(xué)生無窮的學(xué)習(xí)動(dòng)力。c.教師也應(yīng)該恰當(dāng)運(yùn)用語氣、語調(diào)和肢體語言，低調(diào)和高歌相結(jié)合，委婉和激情相穿插，切實(shí)地讓學(xué)生感受到老師的微笑、點(diǎn)頭、贊許，吸引著學(xué)生的注意力從而提高課堂效率。（二）欲窮千里目，更上一層樓如何幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想與方法的提煉和升華。浙江省普通高?？荚囌f明中對能力要求明確的說明是：能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。考察要求是：以數(shù)學(xué)知識為載體，從問題入手把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情

11、境中去的能力對推理論證能力和抽象概括能力的考查貫穿于全卷，是考察 的重點(diǎn)；對空間想象能力的考查，主要體現(xiàn)在對文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化；對運(yùn)算求解能力的考查主要是算法和推理的考查，以代數(shù)運(yùn)算為主；對數(shù)據(jù)處理能力的考查主要是運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的基本方法和思想解決實(shí)際問題的能力。因此，教師在充分理解考試說明的基礎(chǔ)上，利用本身的經(jīng)驗(yàn)積累和對數(shù)學(xué)能力的理解，幫助學(xué)生一步步揭開這些思想、方法的神秘面紗，進(jìn)而理解本質(zhì)。同時(shí)必須注意的是，一位真正的教師所扮演的角色是學(xué)生的引路人、指導(dǎo)者，而并非是代步工具、告訴者。當(dāng)不同的學(xué)生提出不同的解決方案時(shí)，要求同存異，慧眼識珠，開拓學(xué)生的思維空間和視野；不失時(shí)機(jī)

12、的進(jìn)行“煽動(dòng)”和“拋給”問題，即保證學(xué)生探究方向的正確性，又要使學(xué)生在相互爭辯的過程中，變得思維更加嚴(yán)密和邏輯；在學(xué)生處于瓶頸境地難以提高的時(shí)候，要睿智的點(diǎn)撥學(xué)生，讓學(xué)生平穩(wěn)順利的走向更高的平臺。在這樣的過程中，學(xué)生透過對一個(gè)個(gè)“行星”的研究，發(fā)現(xiàn)“宇宙”的真正奧秘，而我們教師就是他們手中的“望遠(yuǎn)鏡”。（三）春花無數(shù)，畢竟何為秋實(shí)如何落實(shí)復(fù)習(xí)課的實(shí)效性。課堂的教學(xué)實(shí)效，我認(rèn)為需要三位一體：a.課前設(shè)計(jì)；b.課堂發(fā)揮；c.課后作業(yè)。一般我們平時(shí)對a,b的關(guān)注程度都比較大，如果我們僅僅關(guān)注了a,b，而忽視或者輕視c，那么就虎頭蛇尾。我認(rèn)為要真正落實(shí)復(fù)習(xí)課的實(shí)效性，就是要設(shè)計(jì)好課后作業(yè)。首先，要設(shè)計(jì)

13、分層作業(yè)。讓層次不同的學(xué)生都能夠在經(jīng)歷作業(yè)過程中對課堂內(nèi)容進(jìn)行回顧，同時(shí)加以思考。其次，要讓學(xué)生在作業(yè)的過程中，尋找、歸納、概括屬于自我的知識體系、技巧和方法。比如說，我們在教學(xué)過程中，會(huì)提倡學(xué)生應(yīng)用巧取特殊值，可以減少計(jì)算量、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，可以更直觀的發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑等等，其實(shí)這些對于學(xué)生而言都是空洞的理論，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”，作業(yè)提供了這樣的實(shí)踐機(jī)會(huì)。再有，要讓學(xué)生在完成作業(yè)的過程中，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。有意義學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)自我發(fā)現(xiàn)、自我調(diào)節(jié)的過程，是通過個(gè)人真實(shí)的體驗(yàn)來調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)?！皩W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”從狹義的角度，是自我對數(shù)學(xué)方法、技巧和思想的領(lǐng)會(huì)和應(yīng)用的過程，從廣義的角度，是一項(xiàng)讓學(xué)生終身受

14、用的學(xué)習(xí)能力。高三的第二輪復(fù)習(xí)課，一貫以來都是以復(fù)習(xí)專題形式進(jìn)行，這是一個(gè)傳統(tǒng)的高考復(fù)習(xí)方法。我對此的理解是，學(xué)生經(jīng)過高一高二兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了高中數(shù)學(xué)的全部知識點(diǎn)，在學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)的很多思想方法，比如說數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸和轉(zhuǎn)化思想等；和很多的解題技巧，比如說配方法、待定系數(shù)法、換元法、構(gòu)造法等已經(jīng)存在于學(xué)生的潛意識中，我認(rèn)為這個(gè)階段是原始積累。專題復(fù)習(xí)是學(xué)生在教師的幫助下將這些思想方法和技巧的本質(zhì)提煉出來并以全新的面貌呈現(xiàn)在學(xué)生面前，我認(rèn)為這個(gè)階段是歸納總結(jié)。當(dāng)學(xué)生清晰的認(rèn)識到這些數(shù)學(xué)思想方法和技巧的本質(zhì)面貌，使之成為其自身數(shù)學(xué)思維或者思考事物方式的一個(gè)組成部分后，學(xué)生就會(huì)對它們進(jìn)行融會(huì)貫通地運(yùn)用，并從中學(xué)會(huì)了自我學(xué)習(xí)的能力，我認(rèn)為這個(gè)階段是質(zhì)的飛躍。也是我們進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的終極目標(biāo)。高三的復(fù)習(xí)課，一定要讓我們的學(xué)生有一種別有洞天的感覺行云卻在行舟下，疑是湖中別有天。希望我們