克拉默法則課件

1、第七節(jié) 克拉默法則,第一章 行列式, 重要定理, 小結 思考題 作業(yè), 克拉默法則,目錄,上頁,下頁, 克拉默法則,上頁,下頁,目錄,【克拉默法則】,如果系數(shù)行列式 ，,上頁,下頁,目錄,則，線性方程組有唯一解,上頁,下頁,目錄,證,對 n 個方程的兩端，分別依次乘 A1j , A2j , , Anj (即D 的第 j 列元素的代數(shù)余子式)，,再把 n 個方程的兩端相加，得,上頁,下頁,目錄,根據(jù)代數(shù)余子式的性質，,于是 .,當 D 0 時，,上式右端， .,上式左端， xj 的系數(shù) ,其余 xi 的系數(shù) ；,上頁,下頁,目錄,例 1 用克拉默則解方程組,解, 方程組有唯一解.,上頁,下頁,目

2、錄,上頁,下頁,目錄,上頁,下頁,目錄,說明 克拉默法則揭示了線性方程組的解與方程組的系數(shù)、常數(shù)項之間的關系.,對于一般的線性方程組 (包括系數(shù)行列式等于零、以及方程個數(shù) 和未知量個數(shù)不同的線性方程組)，常規(guī)解法是后面第三章介紹的“高斯消元法”.,用克拉默法則解線性方程組的計算工作量很大，它主要是在理論上具有重要意義.,上頁,下頁, 重要定理,目錄,上頁,下頁,目錄,根據(jù)克拉默法則，有如下定理,【定理】對于非齊次線性方程組,如果系數(shù)行列式 D 0，則方程組有唯一解.,上頁,下頁,目錄,【定理】對于齊次線性方程組,注 容易驗證，齊次線性方程組總是有一組零解.,如果系數(shù)行列式 D 0，則方程組只有

3、零解：,上頁,下頁,目錄,例 2 問 取何值時，齊次線性方程組,有非零解？,分析,齊次線性方程組有非零解的充要條件是：,上頁,下頁,目錄,解,上頁,下頁,目錄,當 = 0, 2 或 3 時，D=0，齊次方程組有非零解.,上頁,下頁,目錄, 小結 思考題 作業(yè),上頁,下頁,目錄,小結,2. 對于非齊次線性方程組(方程個數(shù)=未知量個數(shù))，,3. 對于齊次線性方程組(方程個數(shù)=未知量個數(shù))，,上頁,下頁,目錄,問：齊次線性方程組,作業(yè),有非零解時，a, b 必須滿足什么條件？,上頁,下頁,目錄,思考題,設 n 次多項式 有n+1個互不相同的根.,用克拉默法則證明：f(x) 是零多項式.,注：零多項式是指 f(x)中 a0, a1, a2, an 全為0,上頁,下頁,目錄,思考題解答,上式可看作是以 a0, a1, , an 為未知量的齊次線性方程組，其系數(shù)行列式為,設 x1, x2, , xn+1 是 f(x)=0 的 n+1個互不相同的根，,即,上頁,下頁,目錄,DT 是 n+1 階范德蒙得行列式，且 x1, x2, , xn+1 互不相同，故,根據(jù)克拉默法則，齊次線性方程組只有零