高中數(shù)學(xué) 《合情推理與演繹推理》素材1 蘇教版選修2-2（通用）

1、合情推理與演繹推理歸納推理是從個(gè)別事實(shí)推演出一般性結(jié)論的推理由于歸納推的特點(diǎn)，導(dǎo)致了歸納推理問題的產(chǎn)生情境也比較特別，很多情況下，歸納推理總是與圖形聯(lián)系在一起請(qǐng)看：1分辨圖形出現(xiàn)的歸納推理例1定義的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的（1）、（2）、（3）、（4）那么，上圖中（5）、（6）可能是下列_中運(yùn)算的結(jié)果（）（A）， （B）， （C）， （D），分析：根據(jù)（1）、（2）、（3）、（4）可知：對(duì)應(yīng)；對(duì)應(yīng)；對(duì)應(yīng)|；對(duì)應(yīng)由此可知選（B）點(diǎn)評(píng)：善于觀察是處理此類問題的重要一環(huán)本題中第一個(gè)圖是哪兩個(gè)幾何圖形構(gòu)成？第二個(gè)圖又是哪兩個(gè)幾何圖形構(gòu)成？于是，很快便發(fā)現(xiàn)A，可能對(duì)應(yīng)的圖形，從而使問題獲解2運(yùn)動(dòng)圖形出現(xiàn)的歸

2、納推理例2如圖：一個(gè)粒子在第一象限及邊界運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，然后它接著按圖示在x軸、y軸的平行方向向右、向上來回運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，求2020秒時(shí)，這個(gè)粒子所處的位置；分析：第一層有三個(gè)整點(diǎn)（除原點(diǎn)）共用3秒；第二層有五個(gè)整點(diǎn)共用5秒；第三層有七個(gè)整點(diǎn)共用7秒，第n層共有個(gè)整點(diǎn)，共用秒；假設(shè)第2020秒時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)在第層那么前n層共用秒數(shù)，由此得最大，且當(dāng)時(shí)，于是，第2020秒時(shí)，粒子在第44層，且在第71個(gè)出現(xiàn)，根據(jù)規(guī)律我們知道第44層將從點(diǎn)（44，0）開始，那么（44，0），（44，1），（44，43），（44，44），（43，44），（42，44），（41，44），（

3、18，44）共71個(gè)因此，第2020秒時(shí)，這個(gè)粒子所處的位置為（18，44）點(diǎn)評(píng)：要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，必須認(rèn)真研究問題的初始階段，它是“退一步”思考問題策略的具體體現(xiàn)本題就是通過認(rèn)真分析前三層才發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用規(guī)律促使問題獲解的3圖形游戲出現(xiàn)的歸納推理例3用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)與所搭三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系式可以是_分析：第一個(gè)圖有三根火柴，以后每一個(gè)圖總比前一個(gè)圖多一個(gè)三角形，其實(shí)，就多了兩根火柴，于是答案為：點(diǎn)評(píng)：善于從游戲中抓住本質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵本題求火柴棒數(shù)與所搭三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，只要細(xì)心一點(diǎn)獲解就沒問題4打印圖形出現(xiàn)的歸納推理例4一同學(xué)在電腦中

4、打出如下圖形（表示空心圓，表示實(shí)心圓）若將此若干個(gè)圓依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么前2020個(gè)圓中實(shí)心圓的個(gè)數(shù)為_分析：將這些圓分段處理，第一段兩個(gè)圓、第二段三個(gè)圓、第三段四個(gè)圓、，可以看出每一段的最后一個(gè)圓都是實(shí)心圓，由于本題是求前2020個(gè)圓中有多少個(gè)實(shí)心圓，因此，找到第2020個(gè)圓所在的段數(shù)很重要由，而，因此，共有個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)評(píng)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵所在而“分段”正中下懷，它使規(guī)律很清楚的顯現(xiàn)出來，讓我們操作“輕松”，求解“愉快”推理與證明中的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，也是解決問題的思維策略，有著廣泛的應(yīng)用有關(guān)推理

5、與證明中的問題蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想方法，若根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，靈活地運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，往往能迅速找到解題思路，從而使問題簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解一、類比思想所謂類比思想就是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間一部分屬性相同或相似，從而推斷出這兩個(gè)對(duì)象之間的另外一些屬性也可能相同或相似的一種思維形式“由特殊到一般”是解決這類問題的思維主線例1在中，兩直角邊，斜邊上的高為，則該結(jié)論的證明很簡(jiǎn)單類比它，在立體幾何中有何發(fā)現(xiàn)？我們猜想，在立體幾何中，也有類似的一個(gè)公式：在三棱錐中，若三條側(cè)棱、兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為，頂點(diǎn)到底面的距離，則注意：這只是由類比得到的一個(gè)猜想，是否成立還須證明證明：如右圖，延長(zhǎng)交于，連結(jié)，平面，平面，平面

6、，在中，在中，即結(jié)論中的三條側(cè)棱兩兩垂直，可等價(jià)變?yōu)槿齻€(gè)側(cè)面兩兩垂直點(diǎn)評(píng)：在本題求解中，我們根據(jù)平面幾何中的一個(gè)結(jié)論，運(yùn)用類比思想，在四面體中猜想出具有類似數(shù)學(xué)特點(diǎn)的結(jié)論，并用演繹推理的方法給出了簡(jiǎn)要證明作為一種創(chuàng)新題型，類比推理已成為近幾年高考命題中一道亮麗的風(fēng)景二、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將有待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，并通過對(duì)這一問題的解答返回去求得原問題的解答分析法是證明命題的一種方法，當(dāng)問題直接證明思路不明顯時(shí)，常?？紤]運(yùn)用分析法而運(yùn)用分析法解題的關(guān)鍵是將結(jié)論適當(dāng)轉(zhuǎn)化例2設(shè)實(shí)數(shù)滿足，若，求證：分析：直接證明思路不明顯，因此可以

7、先結(jié)合條件將結(jié)論適當(dāng)轉(zhuǎn)化由，只需轉(zhuǎn)化為證又，因此只需轉(zhuǎn)化為證明再由轉(zhuǎn)化為證明因此運(yùn)用分析法即可簡(jiǎn)捷得證證明：要證，因?yàn)?，所以只需證，又，因此只需證，只需證，即證式顯然成立 故原不等式成立點(diǎn)評(píng)：本題在尋找使結(jié)論成立的條件時(shí)，是先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將對(duì)數(shù)不等式、指數(shù)不等式逐步轉(zhuǎn)化為式，從而把問題化難為易三、正難則反思想有些問題當(dāng)從正面求解繁瑣或無法求解時(shí)，可從其反面進(jìn)行思考，通過否定結(jié)論的反面來肯定結(jié)論正確，這就是正難則反的思想運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想解決問題，往往能收到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的奇效反證法就是“正難則反”的一種證明方法，它不是直接證明命題結(jié)論正確，而是通過證明結(jié)論反面不正確來說明結(jié)論的正確性因

8、而對(duì)于那些“結(jié)論的反面”比結(jié)論本身更具體、更明確、更簡(jiǎn)單的命題，則適宜用反證法來證例3設(shè)函數(shù)的定義域是區(qū)間，且對(duì)、，均有，求證：對(duì)、，均有分析：若直接證明，需分類討論，于是考慮使用反證法證明：假設(shè)、，使得不妨設(shè)，則所以故由條件可得這與假設(shè)矛盾，故原命題成立點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用反證法證題時(shí)，須注意三點(diǎn)：（1）必須周密考察原結(jié)論，防止否定有所遺漏；（2）推理過程必須完全正確，否則不能肯定非命題是錯(cuò)誤的；（3）在推理過程中，可以使用已知條件，推出的矛盾必須很明確、毫不含糊四、歸納遞推思想歸納遞推思想就是在解決問題時(shí)，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法予以證明（文科學(xué)生不作

9、要求）這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想例4已知點(diǎn)的序列，其中，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，（1）寫出與、之間的關(guān)系式；（2）設(shè)，計(jì)算，由此推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分析：利用遞推公式及歸納猜想是解題的關(guān)鍵解：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）；由此推測(cè)：五、綜合法綜合法是從已知出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后導(dǎo)出所要達(dá)到的結(jié)論可以看出，若使用綜合法求解問題，一定要將條件與結(jié)論結(jié)合起來，看看條件，再看看結(jié)論，如何架好從條件通往結(jié)論的橋梁例5設(shè)，求證：證明：由于時(shí)，得，那么，上述第一個(gè)不等式中等號(hào)成立的條件為：故原不等式成立點(diǎn)評(píng)：在證明題中，產(chǎn)生證明方法的思維過程很重要你知道本題的證明方法是怎么產(chǎn)生的嗎？是綜合法的“功勞”請(qǐng)看：欲從左邊證到右邊，必須消去x，如何消？只有經(jīng)過平方，才能將x從根號(hào)中“解救”出來，“解救”出來后才有消去的可能于是在基本不等式中開始“搜索”與平方有關(guān)的不等式，慢慢地就“浮出水面”，解法自然也就產(chǎn)生了六、分析法分析法是從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，直到找到一個(gè)明顯成立的條件，這個(gè)條件可以是已知條件、公理、定理、定義等可以看出，若使用分析法求解問題，對(duì)結(jié)論的簡(jiǎn)化與轉(zhuǎn)化很重要，它是向條件靠攏的重要措施例6設(shè)為任意三角形的三邊長(zhǎng)，試證