高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 利用幾何畫板探索軌跡的教學(xué)（通用）

1、教學(xué)，利用幾何畫板探索軌跡，通過探究學(xué)習(xí)獲得研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，從學(xué)生的生活和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)中選擇和確定研究課題，模仿科學(xué)研究的方法和過程，積極獲取知識(shí)，運(yùn)用知識(shí)解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。研究性學(xué)習(xí)是一門探索性、實(shí)踐性和開放性的課程，它以主題或問題為中心，以小組學(xué)習(xí)為主要形式。研究性學(xué)習(xí)是以解決問題為主要形式的學(xué)習(xí)活動(dòng)，問題是其重要載體。整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)自然會(huì)形成一系列問題?；谘芯康膶W(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)實(shí)踐、經(jīng)驗(yàn)和結(jié)果。其特點(diǎn)是內(nèi)容強(qiáng)調(diào)開放性，學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)主體性，學(xué)生之間合作學(xué)習(xí)，體驗(yàn)和活動(dòng)。下面，通過對一道數(shù)學(xué)題的探索，我將談?wù)勎业捏w會(huì)。老師：求曲線的方程和通過方程研究曲線的性質(zhì)是解析幾何中的兩個(gè)主要問題。

2、今天，我將和同學(xué)們討論一個(gè)問題：如何探索點(diǎn)的軌跡。問題是數(shù)學(xué)的核心，思考從問題開始。讓我們先看一個(gè)具體的例子：如圖1所示，穿過橢圓()的左焦點(diǎn)F1是和弦AB?，F(xiàn)在讓我們學(xué)習(xí)焦點(diǎn)和弦中與AB相關(guān)的問題。軌跡1通過原點(diǎn)o，作為弦AB的垂直線，垂直的腳是m，所以找到點(diǎn)m的軌跡方程。圖1圖2幾何畫板演示：拖動(dòng)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)A在橢圓上旋轉(zhuǎn)，或者制作一個(gè)動(dòng)畫按鈕讓點(diǎn)A在橢圓上移動(dòng)，然后跟蹤點(diǎn)M，得到點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)小圓。圖2如何找到這個(gè)小圓的方程？學(xué)生：按照一般的思路，假設(shè)弦AB所在直線的斜率為k，那么弦AB的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，結(jié)合這兩個(gè)方程求解交點(diǎn)(即垂足)m的坐標(biāo)，最后通過去掉參數(shù)k得到m點(diǎn)

3、的軌跡方程。哇！這很復(fù)雜。學(xué)生們埋頭于復(fù)雜的計(jì)算中。一個(gè)學(xué)生看著投影屏幕，既不動(dòng)手也不說話。老師：“你為什么不自己做呢？”學(xué)生：“我想知道.這條軌道是一個(gè)直徑為1的圓。有什么簡單的方法嗎？”。哦，我明白了。解決問題的總體思路很容易想出來，但操作也很復(fù)雜。我有一個(gè)非常好且簡單的方法：因?yàn)镺MAB，|OM|2 |F1M|2=|OF1|2，如果點(diǎn)m的坐標(biāo)是(x，y ),點(diǎn)F1的坐標(biāo)是(c，0 ),那么X2y2 (x-c) 2y2=C2，即。這是軌跡方程?！鞍?！這么簡單？”學(xué)生們都很驚訝。立刻，另一個(gè)學(xué)生說：“每個(gè)人都被橢圓的外觀迷惑了。事實(shí)上，這個(gè)問題只與原點(diǎn)和F1點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，與橢圓的弦無關(guān)。也就

4、是說，“給定兩個(gè)點(diǎn)o和F1，通過這兩個(gè)點(diǎn)畫兩條垂直線，找到交點(diǎn)的軌跡方程?！边@當(dāng)然很容易解決。老師：“很好。學(xué)生們剛才進(jìn)行了一次很好的討論。在尋找點(diǎn)的軌跡時(shí)，必須注意找出移動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件以及移動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)之間的幾何關(guān)系。平面幾何的相關(guān)結(jié)論對尋找點(diǎn)的軌跡非常有用。讓我們改變下面的問題：軌跡2如圖3所示，找到弦AB中點(diǎn)p的軌跡方程。猜猜點(diǎn)P的軌跡是什么？許多學(xué)生已經(jīng)用幾何畫板證明了這一點(diǎn)：幾何畫板演示：拖動(dòng)活動(dòng)點(diǎn)a，得到點(diǎn)p的軌跡如下一個(gè)小橢圓，這個(gè)小橢圓的長軸是線段OF1，即半焦距。參見圖4?！八且粋€(gè)橢圓?！睂W(xué)生的興趣被激發(fā)了。如何求出這個(gè)小橢圓的方程？老師觀察了下面學(xué)生的答案，但是發(fā)現(xiàn)

5、很多學(xué)生圖3沒有辦法開始這種問題。老師：“根據(jù)解軌跡方程的一般步驟，我們應(yīng)該假設(shè)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，所以我們把點(diǎn)p的坐標(biāo)設(shè)為(x，y)。為了建立由點(diǎn)p的坐標(biāo)(x，y)所滿足的方程，觀察該圖，有四個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、P和F1，其中點(diǎn)F1是固定點(diǎn)，并且點(diǎn)A、B和P都是移動(dòng)點(diǎn)，但是點(diǎn)A是活動(dòng)點(diǎn)，這由于點(diǎn)A在橢圓上的移動(dòng)而導(dǎo)致點(diǎn)P的移動(dòng)。因此，有必要找出點(diǎn)p與點(diǎn)a、b和F的坐標(biāo)之間的關(guān)系.這是解決問題的關(guān)鍵。”點(diǎn)P與A和B的坐標(biāo)有什么關(guān)系？學(xué)生：“根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，”如何連接甲、乙、丙和F1的坐標(biāo)？利用直線的斜率.直線AB的斜率是如何表示的？“是的，有?！薄霸趺吹玫剿俊薄癮

6、、b兩點(diǎn)鐘？滿足什么方程？“圖4“在橢圓上。滿意?！薄澳阒涝趺磫枂?？”學(xué)生很快得到以下解決方案(完成后):設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，因?yàn)閍點(diǎn)和b點(diǎn)都在橢圓上，那么，減去這兩個(gè)公式，所以有，為了簡化，這是軌跡方程。老師：“以上解決方案是典型的。在這里，我們設(shè)置點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，但是我們不需要問它們，只需要用A和B的坐標(biāo)來轉(zhuǎn)換。這是解析幾何中求軌跡的常用方法。尋找運(yùn)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系是解決軌跡問題的關(guān)鍵。還有其他解決辦法嗎？”一名學(xué)生：“因?yàn)橹本€AB穿過點(diǎn)F1，所以可以將直線AB的方程設(shè)置為y=k(x，c)，然后將這些方程與橢圓方程一起求解，以獲得兩點(diǎn)A和B的坐標(biāo)”另一個(gè)學(xué)生

7、：“你不必解A和B的坐標(biāo)，直線AB的方程是y=k(x c)。把兩個(gè)二次方程代入橢圓方程得到的是點(diǎn)A和B的橫截x1和x2，它們可以用維埃塔定理得到。點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)表示為直線AB的斜率K的函數(shù)，參數(shù)K可以去掉?！崩蠋煟骸昂芎?。請寫出解決方案?！币韵率墙o學(xué)生的另一個(gè)解決方案(完成后):解2:假設(shè)直線AB的斜率為K，直線AB的方程為y=K(x c)，這是通過將其代入橢圓方程得到的設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，然后，=，從 中得到并替換y=k(x c)。完成后，這是等式。學(xué)生：“我改變了原來橢圓的長軸或短軸的長度，期望軌跡的形狀也改變了，但兩個(gè)橢圓的形狀仍然非常相似，我想知道是否

8、有什么必然的聯(lián)系？”學(xué)生：“和的比例正好等于，哇！我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)橢圓的偏心率是一樣的！所以它們的形狀是一樣的?！崩蠋煟骸昂芎谩Ｋ坪趺總€(gè)人都掌握了找到軌跡的鑰匙，。找出被動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系。我們剛剛探索的是弦AB上特殊點(diǎn)的軌跡。學(xué)生可以使用幾何畫板探索其他點(diǎn)的軌跡嗎？請根據(jù)這個(gè)橢圓和和弦AB自己發(fā)現(xiàn)、提問和解決問題。學(xué)生們立即投入探索。一個(gè)學(xué)生：軌道3”在弦AB上隨意取一個(gè)q點(diǎn)，跟蹤q點(diǎn)，動(dòng)畫哇！問的軌跡是怎樣的？”許多學(xué)生發(fā)現(xiàn)了同樣的問題。老師將學(xué)生電腦上的圖片切換到大屏幕，幾何畫板演示：在AB弦上取一個(gè)Q點(diǎn)，跟蹤Q點(diǎn)，拖動(dòng)活動(dòng)點(diǎn)A，得到如下幾何圖形(如圖5 7所示):圖5圖6圖7“??！這是

9、什么數(shù)字？”“怎么會(huì)有這樣的數(shù)字？”自從我學(xué)習(xí)解析幾何以來，從未見過這樣的人物.“我應(yīng)該給這條賽道取什么名字？”學(xué)生們很驚訝。拖動(dòng)點(diǎn)Q，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡也會(huì)改變。當(dāng)點(diǎn)Q靠近中點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡圖形靠近中點(diǎn)P的軌跡的小橢圓(如圖6所示)，而當(dāng)點(diǎn)Q靠近點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，軌跡圖形靠近大橢圓(如圖7所示)。軌道4“老師，我發(fā)現(xiàn)如果弦AB的兩端A和B與橢圓長軸的兩端A1和A2相連，這兩條直線A2A和A1B的交點(diǎn)C似乎在橢圓的準(zhǔn)直線上。”另一個(gè)學(xué)生哭了。“老師，q點(diǎn)的軌跡不是我們熟悉的圓、橢圓、雙曲線或拋物線，它的軌跡方程一定很復(fù)雜。點(diǎn)C的軌跡非常簡單，所以應(yīng)該可以找到它的方程?！崩蠋煟骸霸囈辉嚒！辈捎贸Ｒ?guī)方法

10、“交叉跟蹤法”解決問題：讓直線AA2和BA1的方程為y=k1(x-a)，y=k2(x-a)，將AA2方程代入橢圓方程，我們得到,這個(gè)方程的兩個(gè)根是橫坐標(biāo)x1和A2的，因此，點(diǎn)A(x1，y1)的坐標(biāo)可以如下獲得，圖8以同樣的方式，點(diǎn)B(x2，y2)的坐標(biāo)可以如下獲得。它可以通過三個(gè)點(diǎn)A、F1和B的共線性來獲得，即，將A和B的坐標(biāo)代入并排序a2(a c)k12k 2 a2(c-a)k1k 22 B2(a c)k1 B2(c-a)k2=0，代入上述公式,通過分解這些因素，因?yàn)橹本€AA2和BA1的交點(diǎn)在橢圓之外，因此，即。即直線AA2和BA1相交的軌跡方程，這是橢圓的準(zhǔn)線方程?！巴瑯樱本€A2B和A1

11、A的交點(diǎn)d也在準(zhǔn)線上?！袄蠋煟还蹸和D怎么在左邊對齊，樣本移動(dòng)，CF1D是一個(gè)固定值。如圖9所示表演?！绷硪粋€(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論。學(xué)生受益隨著最后一個(gè)問題的解決，它很快被證明。老師：“我很高興看到你能探索這么多數(shù)字9。”得出結(jié)論。使用幾何畫板你還能探索什么姚的結(jié)論呢？如果是圓、橢圓等常見軌跡，請課后嘗試給出證明。軌跡5“教師，如圖10所示，使重心G為OAB，其軌跡也是一個(gè)橢圓?！币粋€(gè)學(xué)生說。(以下是學(xué)生課后提供的答案流程：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB的中點(diǎn)是M(x0，y0)，那么，由，不得不，這是圖10中直線AB的斜率k再次，完成因此，OAB重心g的軌跡方程為：)

12、學(xué)生們得到了一些奇怪的曲線：軌跡6“OAB的內(nèi)部軌跡是一個(gè)蛋形曲線(如圖11所示)。”軌跡7“OAB的垂直軌跡是一條“”形曲線(如圖12所示)?！眻D11圖12軌跡8“OAB外中心的軌跡是一條倒形曲線(如圖13所示)。”在軌道9”O(jiān)AB中，交點(diǎn)A為OB的垂線，垂足的軌道為二葉花形(如圖14所示)圖13圖14軌跡10“教師，如圖15所示，使重心G為ABF2，其軌跡也是一個(gè)橢圓。”(以下是課后的答案：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中點(diǎn)m的坐標(biāo)可以從F2(c，0)和G(x，y)得到。因?yàn)椋?，整理一下，就是。這是ABF 2重心g的軌跡方程。)圖15有幾條美妙的曲線：軌道1

13、1“abf 2”的內(nèi)軌道是類似于橢圓的曲線(如圖16所示)。軌跡12“abf 2的垂直軌跡是形狀的曲線(如圖17所示)。”軌跡13“abf 2外中心的軌跡是一條倒形曲線(如圖18所示)。”在軌跡14”abf 2中，交點(diǎn)A為bf2的垂直線，垂足軌跡為二葉花狀(如圖19所示)圖16圖17圖18圖19軌跡15-18“將AF2的橢圓延伸至另一點(diǎn)C，BF2的重心、內(nèi)中心、垂直中心和外中心以及ABC的軌跡為未知曲線(如圖20 23所示)。”圖20圖21圖22圖23“老師，橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線行，它們有許多相似的性質(zhì)。上述問題存在于雙曲線中拋物線有類似的結(jié)論嗎？“這個(gè)問題問得好。學(xué)生討論這位同學(xué)

14、提出的問題問題。以下是學(xué)生在探索后得出的結(jié)論(僅限于長度，本文省略了問題解決過程):軌跡19是雙曲線，如圖24所示弦AB的右焦點(diǎn)F2，那么弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是24軌跡是以O(shè)F2為實(shí)軸的雙曲線，即實(shí)半軸長度。它的方程是，它的求解過程與省略號(hào)相似，這里省略。這條雙曲線和最初的雙曲線是一樣的螺紋的偏心率是一樣的。如果在弦AB上取點(diǎn)p，那么點(diǎn)p的軌跡圖如圖25-26所示，當(dāng)點(diǎn)p如圖25所示時(shí)，當(dāng)接近中點(diǎn)m時(shí)，點(diǎn)p的軌跡接近中點(diǎn)m的軌跡。雙曲線；當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P軌跡接近原始雙曲線。軌跡20是圖27中OAB的重心g的軌跡軌跡是雙曲線，它的方程是。軌跡21如圖28所示，ABF1重心的軌跡是雙曲線，其方程如圖26所示圖27圖28軌道21如圖28所示。ABF1的重心軌跡為雙曲線，其方程為。軌道22如圖29所示。如果拋物線的焦點(diǎn)f取為弦ab，弦AB中點(diǎn)m的軌跡是以f為頂點(diǎn)的拋物線，其方程為。圖29圖30圖31如圖30-31所示，如果在弦AB上的任何一點(diǎn)取點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P接近中點(diǎn)M時(shí)，