第7章 應力狀態(tài).ppt

1、第7章 應力狀態(tài)及應變狀態(tài)分析,材 料 力 學,姓名：魯曉俊 單位：武昌理工學院,第7章 應力狀態(tài)及應變狀態(tài)分析,7.1 概述 7.2 二向應力狀態(tài)下的應力分析解析法 7.3 二向應力狀態(tài)下的應力分析解析法 7.4 梁的應力狀態(tài)分析及應力軌跡線 7.5 三向應力狀態(tài)下應力分析簡介 7.6 應力與應變的關(guān)系,7.1 概述,一、工程實例,微體A,三、受力構(gòu)件內(nèi)應力特征：,（1）構(gòu)件不同截面上的應力狀況一般是不同的； （2）構(gòu)件同一截面上不同點處的應力狀況一般是不同的； （3）構(gòu)件同一點處，在不同方位截面上應力狀況一般是不同的。,二、一點處的應力狀態(tài): 受力構(gòu)件內(nèi)一點處不同方位的截面上應力的集合,

2、稱為一點處的應力狀態(tài)。,四、單元體法,圍繞該點取出一個一個微小的六面體單元體。單元體三個方向的邊長很小且趨于零，則該單元體代表一點，即a點，互相平行的平面上的正應力相等，剪應力也相等。,z,（2）平面應力狀態(tài)：,（3）空間應力狀態(tài) ：,（4）純剪切應力狀態(tài)：,五、應力狀態(tài)分類,（1）單向應力狀態(tài)：,三個主應力中若有兩個等于零一個一等于零,三個主應力中有一個等于零，兩個不等于零,三個主應力均不等于零,問題：建立 sa , ta 與 sx , tx , sy , ty 間的關(guān)系,問題,符號規(guī)定：, 方位角 a 以 x 軸為始邊、 者為正, 切應力 t 以企圖使微體沿 旋轉(zhuǎn)者為正,方位用 a 表示；

3、應力為 sa , ta,斜截面：/ z 軸；,7.2 二向應力狀態(tài)下的應力分析(解析法),7.2.1 a 斜截面上的應力,斜截面應力公式,由于tx 與 ty 數(shù)值相等,并利用三角函數(shù)的變換關(guān)系,得,上述關(guān)系建立在靜力學基礎上，故所得結(jié)論既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題,例 計算截面 m-m 上的應力,解：,主應力: 主平面上的正應力稱為主應力,主平面: 一點處剪應力等于零的平面稱為主平面,說明: 一點處必定存在這樣的一個單元體, 三個相互垂直 的面均為主平面, 三個互相垂直的主應力分別記為 1 ,2 , 3 且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列, 即1 2 3,7

4、.2.2 主應力smax、smin及作用平面方向,確定正應力極值,設aa0 時，上式值為零，即,即aa0 時，切應力為零,由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力所在平面。,所以，最大和最小正應力分別為：,主應力按代數(shù)值排序：1 2 3,說明在與同一主平面垂直的所有截面中，任意二互相垂直的截面上的正應力之和為常數(shù)。,確定主應力方向的具體規(guī)則如下：,試求（1） 斜面上的應力； （2）主應力、主平面； （3）繪出主應力單元體。,例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。,已知,解：,（1） 斜面上的應力,（2）主應力、主平面,主平面的方位：,代入 表達式可知,主應力 方向：,主

5、應力 方向：,（3）主單元體：,，,將最大剪應力及最小剪應力稱為主剪應力。,比較,可知,代入,可得,比較,可知,當單元體的三個主應力按代數(shù)值排列是1 2 3時，最大、最小剪應力的計算公式應為,單元體上最大、最小剪應力的數(shù)值等于最大主應力與最小主應力之差的一半。,7.2.4 二向應力狀態(tài)的兩個特例,（1）單向應力狀態(tài),（2）純剪應力狀態(tài),應力圓,應力圓原理,圓心位于s 軸,7.3 二向應力狀態(tài)下的應力分析圖解法,應力圓的繪制,滿足上述二條件確為所求應力圓,根據(jù)：,問題：已知sx , tx , sy , 畫相應應力圓,圖解法求斜截面應力,同理可證：,點、面對應關(guān)系, 轉(zhuǎn)向相同，轉(zhuǎn)角加倍 互垂截面，

6、對應同一直徑兩端,例 利用應力圓求截面 m-m 上的應力,2. 由應力圓求,A點對應截面 x, B點對應截面 y,由A點（截面 x ）順時針轉(zhuǎn)60。至D點（截面 y ）,極值應力數(shù)值,極值應力方位, 最大正應力方位：, smax與smin所在截面正交, s 極值與t 極值所在截面, 成 夾角,主平面切應力為零的截面,主應力主平面上的正應力,主應力符號與規(guī)定,相鄰主平面相互垂直，構(gòu)成一正六面形微體 主平面微體,（按代數(shù)值）,主平面與主應力,應力狀態(tài)分類, 單向應力狀態(tài)：僅一個主應力不為零的應力狀態(tài), 二向應力狀態(tài)：兩個主應力不為零的應力狀態(tài), 三向應力狀態(tài)：三個主應力均不為零的應力狀態(tài),二向與三

7、向應力狀態(tài)，統(tǒng)稱復雜應力狀態(tài),純剪切狀態(tài)的最大應力,主平面微體位于 方位,圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析,滑移與剪斷發(fā)生在tmax的作用面,斷裂發(fā)生在smax 作用面,解：1. 解析法,例 用解析法與圖解法，確定主應力的大小與方位,2. 圖解法,主應力的大小與方位 ？,下圖 表示一受任意橫向力作用的矩形截面梁, 在橫截面 mm上, 分別圍繞 1、 2、 3、 4,、5 五點各取出一單元體。 假設該橫截面上的剪力和彎矩都是正值。,7.4 梁的應力狀態(tài)分析及主應力軌跡線,2,3,x,3,x,4,4,5,將相應的x , x 和 y=0 , y = -x 代入主應力的計算公式得梁內(nèi)任一點的主應力計算公式,一、梁的主

8、應力計算公式,可見,梁內(nèi)任一點處的兩個主應力必然一個為拉應力, 一個為壓應力,兩者的方向互相垂直。,在梁的 xy 平面內(nèi)可以繪制兩組正交的曲線。一組 曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力 1 的方向， 而另一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力 3 的方向,這樣的曲線稱為梁的主應力跡線 。,二、主應力跡線的概念,(2) 從1-1上任一點 a 開始,求出該點 處主應力 1 的方向,將這一方向線延長 至 2-2 截面線, 相交于 b 點 , 再求出 b 點處主應力 1 的方向, 延長至 c點。,(1) 按一定的比例畫出梁在xy平面的 平面圖,畫出代表一些橫截面位置的等間 距直線 1-1, 2

9、-2 等等,三、主應力跡線的繪制 (跡線),(4) 按同樣的方法可繪得主應力 3 跡線,(3) 依此類推, 就可以畫出一條折線, 作一條與此折線相切的曲線, 這一曲線 就是主應力 1 的跡線,上圖繪出的是受均布線荷載作用的簡支梁的兩組主應力跡線實線表示主應力1的跡線, 虛線表示主應力3的跡線, 所有的跡線與梁軸線(代表梁的中性層位置)間的夾角都是45, 在梁的橫截面上=0的各點處, 跡線的切線則與梁的軸線平行或正交。,與任一截面相對應的點，或位于應力圓上，或位于由應力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi),7.5 三向應力狀態(tài)下應力分析簡介,最大切應力位于與 s1 及 s3 均成45的截面上,最大應力,例 已知

10、 sx = 80 MPa，tx = 35 MPa，sy = 20 MPa，sz =40 MPa， 求主應力、最大正應力與最大切應力,解：,畫三向應力圓,sz,sz,7.6.1單向應力狀態(tài)下應力與應變的關(guān)系,橫向線應變 與縱向線應變 成正比，比值為泊松比v，而符號相反。,E 為材料的彈性模量，單位為N/m2.,7.6 應力與應變間的關(guān)系,7.6.2 純剪切應力狀態(tài)下應力與應變的關(guān)系,或,G 為剪切彈性模量，單位為N/m2.,（1）符號規(guī)定,x y z x y y z z x,x y z x y y z z x,1、各向同性材料的廣義胡克定律,(a)三個正應力分量：拉應力為正 壓應力為負。,7.6

11、.3 復雜應力狀態(tài)下應力與應變的關(guān)系,(b)三個剪應力分量: 若正面(外法線與坐標軸 正向一致的平面)上剪應力矢 的指向與坐標軸正向一致, 或 負面(外法線與坐標軸負向一 致的平面)上剪應力矢的指向 與坐標軸負向一致，則該剪 應力為正, 反之為負。,圖中表示的均為正方向,線應變: 以伸長為正, 縮短為負。 剪應變: 使直角減小者為正, 增大者為負。, xOy yOz zox 。,在x y z 分別單獨存在時, x 方向的線應變 x 依次為:,2、各向同性材料的廣義胡克定律,(1)線應變的推導,在x y z同時存在時, x方向的線應變x為,在x y z同時存在時, y,z方向的線應變?yōu)?剪應變

12、xy , yz ,zx與剪應力xy ,yz ,zx之間的關(guān)系為,3、 特例 （1）平面應力狀態(tài)下(假設 Z = 0 ),（2） 廣義胡克定律用主應力和主應變表示時 三向應力狀態(tài)下：,(7-7-6),平面應力狀態(tài)下 設 3 = 0, 則,材料的三個彈性常數(shù)E, G, 間存在如下關(guān)系:,7.6.4 體積應變,（2）各向同性材料在空間應力狀態(tài)下的 體積應變,（1）概念:構(gòu)件每單位體積的體積變化, 稱為體積應變 用表示。,設單元體的三對平面為主平面, 其 三個邊長為d x, d y, d z 變形后的邊 長分別為 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此變形后單元體的體 積為:,體積應變?yōu)?將廣義胡克定律,代入得,在最一般的空間應力狀態(tài)下，材料的體積應變只與三個線應變x ，y， z有關(guān)。仿照上述推導有,在平面純剪切應力狀態(tài)下：,代入得,