模糊數(shù)學方法

1、模糊數(shù)學方法,一模糊數(shù)學的基本概念 二模糊關系與模糊矩陣 三模糊聚類分析方法 四模糊模式識別方法 五模糊綜合評判方法,一. 模糊數(shù)學的基本概念（1）模糊集與隸屬函數(shù)的概念,論域：論及到的對象全體構成的集合，記為U。 Def. 設U為一論域，如果給定了一個映射: 則該映射確定了一個模糊集合A，其映射 稱 為模糊集A 的隸屬函數(shù)， 稱為 對模糊集A 的 隸屬度，使 的點 稱為模糊集A 的過渡 點，即是模糊性最大的點。,對一個確定的論域U 可以有多個不同的模糊集合。 模糊冪集：論域U上的模糊集合的全體 注： 是一個普通集合.,（2） 模糊集的表示方法：,對于有限論域,，設,（1）Zadeh表示法：,

2、這里“,”不是分數(shù)，“”也不表示求和，只是符號，,它表示點 對模糊集A的隸屬度是,（3）向量表示法：,（2）序偶表示法：,如果U為無限論域，設,這里“,”不是積分號，“,”也不是分數(shù)。,則,（3）模糊集的運算,模糊集與普通集有相同的運算和相應的運算規(guī)律。 設模糊集 ，其隸屬函數(shù)為 . （1）若對任意 ，有 ，則稱A包含 B，記 （2）若 且 ，則稱A與B相等，記為B A。 設模糊集 ，其隸屬函數(shù)為 則其相應的并、交、補及隸屬函數(shù)為,并：交：補：其中“ ”和“ ”分別表示取大算子和取小算子，并且并和交運算可以直接推廣到任意有限及無限的情況，同時也滿足普通集的交換律、結合律、分配律等運算規(guī)律。,隸

3、屬函數(shù)的確定方法 模糊數(shù)學的基本思想是隸屬程度的思想。應用模糊數(shù)學方法建立數(shù)學模型的關鍵是建立符合實際的隸屬函數(shù)。1. 模糊統(tǒng)計方法 模糊統(tǒng)計方法是一種客觀方法，主要是基于模糊統(tǒng)計試驗的基礎上根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定的.,模糊統(tǒng)計實驗包含下面四個基本要素（1）論域U；（2）U中的一個固定元素 ；（3）U中的一個隨機變動的集合 （普通集） ；（4）U中的一個以 作為彈性邊界的模糊集A ，對 的變動起著制約作用，其中 ，或 ， 致使 對A 的隸屬關系是不確定的。,假設作n次模糊統(tǒng)計試驗，可以算出 對A的隸屬頻率 事實上，當n不斷增大時，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，其穩(wěn)定值稱為 對A的隸屬度，即2. 指派

4、方法 指派方法是一種主觀的方法，它主要是依據(jù)人們,的實踐經(jīng)驗來確定某些模糊集隸屬函數(shù)的方法。如果模糊集定義在實數(shù)集R上，則稱模糊集的隸屬函數(shù)為模糊分布。所謂的指派方法就是根據(jù)問題的性質(zhì)和經(jīng)驗主觀的選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)實際測量數(shù)據(jù)確定其中所包含的參數(shù)。3. 其它方法 實際中，用來確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是很多的，主要根據(jù)問題的實際意義,具體問題具體分析.,二. 模糊關系與模糊矩陣模糊關系：設U，V為論域，則稱乘積空間 上 的一個模糊子集 為從U到V的模糊關系。 如果 的隸屬函數(shù)為 ，則稱隸屬度 為 關于模糊關系 的相關程度。注：由于模糊關系就是乘積空間 上的一個模糊子集，因此，模糊關

5、系同樣具有模糊集的運算及性質(zhì)。,模糊矩陣：設矩陣 ，且 則稱R為模糊矩陣。比較特殊的情況有下邊兩種：(1) 如果 ，則稱R為布 爾（Bool）矩陣。(2) 當m=1,或n=1時，則相應的模糊矩陣為 或 ，分別稱為模糊行向量和模糊列向量。,Def. 若模糊關系 ,且滿足 （1）自反性： （2）對稱性： （3）傳遞性： （或 ） 則稱 是U上的一個模糊等價關系，其隸屬度 表示 的相關程度。 注：當 為有限論域時，U上的模糊等價關系可表示為 階的模糊等價矩陣 。,模糊等價矩陣：設論域為 ， 為單位矩陣，如果模糊矩陣 滿足：（1）自反性： ；（2）對稱性： ；（3）傳遞性： （或 ） 則稱R為模糊等價

6、矩陣。注：對于滿足自反性和對稱性的模糊關系 與模糊矩陣R，則分別稱為模糊相似關系與模糊相似矩陣。,截矩陣：設 為模糊矩陣，對任意的 （1）如果令 則稱 為R的 截矩陣. （2）如果令 則稱 為R的 強截矩陣. 注：對任意的 ， 截矩陣都是布爾矩陣.,模糊傳遞矩陣：設R是 階的模糊矩陣，如果滿足:則稱R為模糊傳遞矩陣。稱包含R的最小的模糊傳遞矩陣為傳遞閉包，記為Th. 對于任意的模糊矩陣 ，則 特別地，當R為模糊相似矩陣時，必存在一個最小的自然數(shù) ，使得 ，對任意自然數(shù) 都有 此時 一定為模糊等價矩陣。,三. 模糊聚類分析方法,對所研究的事物按一定標準進行分類的數(shù)學方法稱為 聚類分析，它是多元統(tǒng)

7、計“物以類聚”的一種分類方法 。然 而，在科學技術、經(jīng)濟管理中有很多事物的類與類之間并 無清晰的劃分，邊界具有模糊性，它們之間的關系更多的是 模糊關系，比如植物、微生物、動物之間，溫飽型家庭與小 康型家庭之間等。對上述事物的分類就應該用模糊數(shù)學方 法。根據(jù)事物的某些模糊性質(zhì)進行分類的數(shù)學方法稱為模糊 聚類分析 。,第一步. 數(shù)據(jù)標準化（1）獲取數(shù)據(jù): 設論域U 為所需分類研究的對象，每個對象又由m個指標表示其性態(tài)，即于是得到問題的原始數(shù)據(jù)矩陣為 （2）數(shù)據(jù)的標準化處理：實際中的數(shù)據(jù)通常具有不同的性質(zhì)和量綱，為了使原始數(shù)據(jù)能夠適合模糊聚類的要求，需要將原始數(shù)據(jù)矩陣做標準化處理，即通過適當?shù)臄?shù)據(jù)變

8、換和壓縮，將其轉化為模糊矩陣。現(xiàn)介紹以下兩種常用方法：,(i) 平移標準差變換. 當原始數(shù)據(jù)之間具有不同量綱時，應用該方法可以使每個變量的均值為0，標準差化為1，從而消除了量綱的差異影響，即令 其中(ii) 平移極差變換. 如果經(jīng)過平移標準差變換后還有某些 ，則還需對其進行平移極差變換，即令,第二步. 建立模糊相似矩陣 設論域U= 即數(shù)據(jù)矩陣為 .如果 與 的相似程度為 ，則稱之為相似系數(shù)。 下邊為確定相似系數(shù) 的多種方法： （1）數(shù)量積法. 對于 ,令 ，則取 ，顯然 . 注：若出現(xiàn)某些 ，可令 ，則有 。也可以 用平移極差變換將其壓縮到0,1上，從而得到模糊相似矩陣,（2）絕對值指數(shù)法.

9、令 則（3）海明距離法. 令 其中H為使所有 的確定常數(shù).則 （4）歐氏距離法. 令 其中E為使得所有 的確定常數(shù).則,（5）切比雪夫距離法. 令 其中Q為使所有 的確定常數(shù).則 （6）主觀評分法：設有N個專家組成專家組,讓每一位專家對所研究的對象 與 相似程度給出評價，并對自己的自信度作出評估。如果第k位專家 關于對象 與 的相似度評價為 ，對自己的自信度評估為 ，則相關系數(shù)定義為 ，則,（7） 夾角余弦法. （8） 相關系數(shù)法. （9） 指數(shù)相似系數(shù)法.（10）最大最小值法.（11）算術平均值法.（12）幾何平均值法.（13）絕對值倒數(shù)法.,第三步. 聚類 所謂模糊聚類方法是根據(jù)模糊等價矩

10、陣將所研究的對象進 行分類的方法。對于不同的置信水平 ，可以得到不同 的分類結果，從而形成動態(tài)聚類圖。 （一）傳遞閉包法 通常所建立的模糊矩陣R 只是一個模糊相似矩陣，即R 不 一定是模糊等價矩陣。為此，首先需要由R 來構造一個模糊等 價矩陣 。根據(jù)傳遞閉包的性質(zhì)，可以用平方法求出R 的傳遞 閉包 ，即為一模糊等價矩陣。然后，由大到小取一組 值 ，確定相應的 截矩陣 ，從而可以將其分類，同時 形成動態(tài)聚類圖。,（二）布爾矩陣法 （三）直接聚類法,四. 模糊模式識別方法,將事物的整體劃分為若干類型而得到一組標準模式，對于一個確定的對象識別它屬于哪一類的問題稱為模式識別。如果整體被劃分的類型與被識

11、別的對象之中至少有一個是用模糊集表示的模式識別問題，則稱為模糊模式識別。 下面介紹兩種最基本的模糊模式識別方法最大隸屬原則和擇近原則。,（）最大隸屬原則 設在論域 中有m個模糊子集 （即m個模式）構成一個標準模式庫，若對任意一個 ，存在 使得 ，則可視 相對隸屬于 。 （）最大隸屬原則 設在論域 上確定一個標準模式 ， 對于n個待識別的對象 ，如果有某個 滿足 ，則 優(yōu)先隸屬于 .,模式識別中的擇近原則 設論域 上有m個模糊子集 （即m個模式）構成一個標準模式庫，對U上的另一個模糊子集 ，試問 與 中的哪一個最貼近？Def. 設論域U上的模糊子集 ，則稱為 的內(nèi)積；稱為 與 的外積。,Def.

12、 設論域U 上的模糊子集 ，則稱 為 與 的貼近度。 說明：如果兩個模糊子集的貼近度越大，則說明 其越貼近。 貼近度的有關性質(zhì)： （1） （2） ，其中 分別為 的高和底 ；,單個特性的擇近原則 設論域U上的m個模糊子集 （m個模式）構成一個標準模式庫 ，模糊子集 為待識別的模式，若存在 使得，則 與 最貼近，或者說把 可歸并到 類。,根據(jù)實際問題的需要，依據(jù)對象的多個特性的模式識別問題，即要研究兩個模糊向量集合族的貼近度問題。 對于論域U上的兩個模糊向量集合族 則A與B的貼近度可定義為 （1） （2） （3） （4） （5）,多個特性的擇近原則 設論域U上有n個模糊子集 構成一個標準模式庫

13、，每個模式 都可用m個特性描述，即 待識別的模式為 ，如果兩個模糊向量集合族的貼近度為 ，并有自然數(shù) 使得 則模式 隸屬于 。,五. 模糊綜合評判方法綜合評判：對受多個因素影響的事物（或對象）做出全面的評價。 模糊綜合評判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策。傳統(tǒng)的評判方法有總評分法和加權平分法。1. 總評分法 根據(jù)評判對象的評價項目 ，首先對每個項目確定出評價的等級和相應的評分數(shù) ，并將所有項目的分數(shù)求和 ；然后按總分大小排序，從而確定出方案的優(yōu)劣。,2. 加權平分法 根據(jù)評判對象的諸多因素（指標） 所處的地位或所起的作用不同，引入權重的概念，求其諸多因素（指標）評分 的加權和 ，其中 為第 個

14、因素（指標）的權值。,模糊綜合評判的一般步驟：（1）確定因素集 . 因素集為研究對象的所有因素的集合。（2）確定評判集 . 評判集為所有因素的諸多評判等級構成的集合。,（3）確定模糊評判矩陣 . 首先，對每一個因素 做一個評判 ，則可以得到從U 到的一個模糊映射 ，即 然后，由模糊映射 可以誘導出模糊關系,即從而可以確定出模糊評判矩陣 ，而且稱（U，V，R）為模糊綜合評判模型，U，V，R 稱為該模型的三要素。（）綜合評判. 對于權重 ，用模型 取最大最小合成運算，可以得到綜合評判,模糊綜合評判的構成 如果模糊綜合評判模型為（U，V，R），對于權重 ，模糊評判矩陣為 ，則用模型 運算得綜合評判為 ，其中 .因此，綜合評判的結果 是V 上的一個模糊子集，其中 反映了第 種評判 在綜合評判中所占的地位。,模型的改進方法（